¿Es n-1 elevado a la enésima potencia una serie convergente? ¿No se conservan los números de series convergentes?

Es una serie convergente, pero su límite es 0. Debido a que 0 no tiene signo (o es positivo y negativo), tanto números positivos como negativos son posibles, sin importar qué tan cerca esté de 0.

Si el límite de una secuencia es a, y agt; 0 (o alt; 0), para cualquier a' perteneciente a (0, a), entonces existe un entero positivo Ngt; xngt; un'(o El segundo paso es demostrar que \(r_n \) se puede dividir por cualquier número aproximado de estos dos números.

Teorema de Bezu: Para números naturales \(a, b\) que no son todos 0, debe haber un número entero \(x, y) que satisfaga la ecuación \(ax by = mcd(a, b)\) ＼) (no único).

Esto se puede demostrar utilizando el algoritmo euclidiano extendido. Además, si \(a, b\) es un número coprimo, entonces hay un número entero \(x, y\) que satisface la ecuación \(ax by = 1\). Además, si \(a, b\) es un número primo, siempre puedes encontrar un número no negativo \(x\) que sea menor que \(b\), de modo que \(ax = 1 (\bmodb )\) se mantiene.

Extensión

Convierte la secuencia en un número que conserva el signo

Supongamos que limXn=Agt; 0, demuestre que existe N, y cuando ngt; hay Xngt; 0

Prueba: Tome ε=A/2, hay N, y cuando ngt;N, hay |Xn-A|

Si la secuencia converge a un número positivo, entonces debe haber un término. Todos los términos posteriores (infinitos) son mayores que 0. La convergencia a números negativos es similar.

También se puede concluir que una secuencia que converge a un número positivo sólo puede tener un número limitado de números no positivos (0 o números negativos, sólo un número limitado de términos, que pueden ser miles o decenas de miles de términos, pero siempre hay un número finito de términos).