Programación poco divertida
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Solución La clave del problema es el "número de superposiciones". En esta lección y en la siguiente, aprenderemos sobre la matriz cuadrada de tercer orden, que consiste en organizar nueve números en tres filas y tres columnas de acuerdo con ciertos requisitos. La clave para resolver el problema es el "número de superposiciones". Hablemos primero de un ejemplo típico.
Ejemplo 1: Completa los nueve cuadrados del cuadrado derecho con nueve números del 1 al 9, de modo que la suma de los tres números en cada fila, cada columna y cada diagonal sea igual.
Análisis y solución: Primero debemos averiguar cuál es la suma de los tres números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal. Podemos pensarlo de esta manera: debido a que la suma de los nueve números 1 ~ 9 es 45, que es exactamente la suma de tres números horizontales, la suma de cada número horizontal es igual a 45÷3=15. En otras palabras, la suma de los tres números de cada fila, columna y diagonal es igual a 15.
Entre los nueve números 1 ~ 9, la suma de tres números diferentes es 15:
9+5+1,9+4+2,8+6+1, 8 +5+2,
8+4+3,7+6+2,7+5+3,6+5+4.
Por tanto, los tres números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal pueden ser los tres números de cualquier fórmula.
Debido a que los números en el cuadrado central están en una fila horizontal, una columna vertical y dos diagonales, deberían aparecer en las cuatro fórmulas anteriores al mismo tiempo, y solo hay 5 que cumplen las condiciones. entonces deberían llenar el cuadrado central con 5. De manera similar, los números en las cuatro esquinas están en una fila horizontal, una columna vertical y una línea diagonal, por lo que deben aparecer en las tres fórmulas anteriores al mismo tiempo. Los que cumplen las condiciones son 2, 4, 6,. y 8. Por tanto, rellena las cuatro esquinas del cuadrado con 2, 4, 6 y 8 respectivamente, asegurándote de que la suma de los dos números diagonales sea igual. Después de la prueba, existen ocho métodos de llenado diferentes, de la siguiente manera:
Los ocho gráficos anteriores se pueden obtener girando y volteando un gráfico. Por ejemplo, los últimos tres números de la primera fila se obtienen girando el primer número en el sentido de las agujas del reloj 90°, 180° y 270°. Para otro ejemplo, todas las imágenes de la segunda fila se obtienen volteando las imágenes de arriba a lo largo del eje vertical. Entonces, este diagrama de Bagua es esencialmente el mismo y puede verse como un método de llenado.
El diagrama de matriz del ejemplo 1 se llamaba "diagrama vertical y horizontal" y "cálculo de los nueve palacios" en la antigua China. En términos generales, si completa nueve números diferentes en una cuadrícula de 3 × 3 (tres filas y tres columnas), si la suma de los tres números en cada fila, cada columna y cada diagonal es igual, entonces así El gráfico es llamado cuadrado mágico de tercer orden.
En el ejemplo 1, si solo se requiere que la suma de los tres números en cualquier fila horizontal y cualquier columna vertical sea igual, pero no la suma de los tres números en las dos diagonales, entonces la solución no es único, porque en la solución del Ejemplo 1, las posiciones de las dos filas o dos columnas se pueden intercambiar arbitrariamente, lo que no afecta la suma de los tres números en cada fila o columna, por lo que sigue siendo una solución.
El ejemplo 2 usa 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 para formar un cuadrado mágico de tercer orden.
Solución analítica: Los nueve números dados constituyen una secuencia aritmética. Los ejemplos comparativos 1 y 1 ~ 9 también son una secuencia aritmética. No es difícil encontrar que el número en el cuadro del medio debe ser el quinto número de la secuencia aritmética, es decir, 19, los números llenos en los cuatro cuadrados de las esquinas son números pares, es decir, 13, 17, 21, 25; , y las dos diagonales La suma de los números es igual, es decir, 13+25 = 17+21 los números restantes no son difíciles de completar (ver la imagen de la derecha);
El problema opuesto al Cubo de Rubik es el cubo anti-Rubik. Rellena 9 números en 9 cuadrados de 3×3 (tres filas y tres columnas) de modo que la suma de los 3 números en cualquier fila, cualquier columna y dos diagonales sea diferente entre sí. La figura rellena se llama cuadrado antimágico de tercer orden.
Ejemplo 3: Rellena los primeros nueve números naturales en los nueve cuadrados de la derecha, de modo que las sumas de los tres números en cualquier fila, cualquier columna y dos diagonales sean diferentes entre sí. en la imagen Las posiciones de los números naturales adyacentes también son adyacentes.
Análisis y solución: la pregunta requiere que las posiciones de dos números naturales adyacentes en el gráfico también sean adyacentes, por lo que los nueve números naturales en el gráfico deben conectarse en orden de tamaño para formar un número que no se interseca. polilínea.
Después de la prueba, hay tres situaciones como se muestra en la siguiente figura:
Marque estas tres situaciones una por una del 1 al 9 y del 9 al 1. Solo la segunda situación puede obtener las dos situaciones que se muestran a continuación. . desatar. Debido a que el segundo caso es una espiral, la solución a este problema se llama cuadrado antimágico en espiral.
Ejemplo 4: Rellena los nueve espacios de la siguiente figura con nueve números, de modo que cualquier fila, cualquier columna y dos.
Demostración: Debido a que la suma de tres números en cada fila es igual a K, * * * tiene tres filas, por lo que la suma de nueve números es igual a 3k. Como se muestra en la imagen de la parte superior derecha, hay cuatro líneas de puntos que pasan por el cuadrado central. La suma de los tres números en cada línea de puntos es igual a k. La suma de todos los números en las cuatro líneas de puntos es igual a. 4k Sólo los números del cuadrado central son "números superpuestos". Después de contar cada uno de los nueve números una vez, cuéntalos tres veces. Entonces hay
La suma de los nueve números + el número en el cuadrado central × 3 = 4k,
3k + el número en el cuadrado central × 3 es 4k,
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Nota: En el ejemplo 4, no hay requisitos especiales para el número de 9 y el número fijo k. Esta conclusión es muy práctica para resolver problemas de secuencia en una cuadrícula de 3×3.
En una cuadrícula de 3×3, si debe completar 9 números primos diferentes y la suma de los tres números en cualquier fila, cualquier columna y dos diagonales debe ser igual, entonces complete La gráfica resultante se llama cuadrado mágico de un número primo de tercer orden.
Ejemplo 5: Encuentra el cuadrado mágico de un número primo de tercer orden cuya suma en cualquier columna, cualquier fila y dos diagonales es igual a 267.
Análisis y solución: Según el ejemplo 4, el número del cuadrado del medio es 267 ÷ 3 = 89. Porque entre los cuatro grupos de números en las dos diagonales, una fila del medio y una columna del medio, los tres números de cada grupo tienen 89, por lo que la suma de los dos números restantes de cada grupo debe ser 267-89 = 178. Hay seis grupos de * * * y la suma de dos números primos es 178:
5+173=11+167
=29+149=41+137
=47+131=71+107.
A través de experimentos se puede obtener el cuadrado mágico del número primo de tercer orden que se muestra a la derecha.