Cómo encontrar el equilibrio de Nash de una estrategia mixta
Supongamos que se trata de un juego para dos jugadores.
El jugador a tiene dos estrategias puras a y b, que no pueden dominarse entre sí.
El jugador b tiene 2 estrategias puras c y d, que no pueden dominarse entre sí.
Supongamos que la probabilidad de que a elija a es p, y la probabilidad de elegir b es 1-p; sea q la probabilidad de que b elija c, y la probabilidad de elegir d sea 1-q
p>Cuando a elige un cierto p=p0, la utilidad total obtenida por b no cambiará debido a su elección de q cuando b elige un cierto q=q0, la utilidad total obtenida por a no cambiará debido; a su elección de p. En este momento decimos que (p0, 1-p0) y (q0, 1-q0) son equilibrios de Nash bajo un par de estrategias mixtas.
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Equilibrio de Nash bajo estrategias mixtas: En un juego de n personas G = {S1, ... sn; u1, ... un}, bajo equilibrios de Nash de estrategias mixtas son (p0, 1 - p0) y (q0, 1 - q0). .un}, si todas las combinaciones de estrategias mixtas de i = 1, 2..., n constituyen un equilibrio de Nash, entonces se cumple la siguiente ecuación: Es decir, cuando i = 1, 2..., n, se cumple la siguiente ecuación : Es decir, si una combinación de estrategias puede hacer que la estrategia de cualquier jugador sea la mejor estrategia en relación con las estrategias de otros jugadores, entonces la combinación de estrategias constituye un equilibrio de Nash, independientemente de si la estrategia es mixta o pura. El equilibrio de Nash de una estrategia mixta es una respuesta racional a la incertidumbre de las elecciones de otros jugadores. Su característica principal es que cada estrategia pura que forma parte de la estrategia mixta tiene el mismo valor esperado, de lo contrario, el jugador elegirá aquella; con la estrategia de mayor valor esperado, con exclusión de todas las demás estrategias, lo que significa que el estado original no es un equilibrio.
Equilibrio de estrategia estrictamente dominante, equilibrio de estrategia dominante de eliminación repetida, equilibrio de Nash de estrategia pura y equilibrio de Nash de estrategia mixta. Los cuatro equilibrios anteriores se denominan generalmente equilibrio de Nash. En el juego G = {S1, S2Sn; U1, U2Un}, en el espacio de estrategia del i-ésimo jugador con Si = {Si1Sik}, entonces el juego con distribución de probabilidad Pi = (PiPik) se selecciona aleatoriamente entre k estrategias opcionales. . se llama equilibrio de Nash de estrategias mixtas.
En estos cuatro conceptos de equilibrio, cada equilibrio es una extensión del equilibrio anterior. El primer equilibrio es un caso especial del último equilibrio. El equilibrio de estrategia estrictamente dominante es un caso especial de eliminación repetida del equilibrio de estrategia dominante; la eliminación repetida del equilibrio de estrategia dominante es un caso especial de equilibrio de Nash de estrategia pura. El equilibrio de Nash de estrategia pura es un caso especial de equilibrio de Nash de estrategia mixta.
Si todos los juegos en los que hay algún equilibrio en un juego estático de información completa se definen como un conjunto, entonces existe un conjunto de juegos en los que el primer equilibrio es un subconjunto del último equilibrio, y el último equilibrio es este subconjunto del conjunto del juego.
Implementación
1. Método de maximización de ingresos: maximizar la función de utilidad de cada participante.
2. Método de retorno igual: según el pensamiento estratégico de cada participante en el juego de adivinanzas de monedas analizado anteriormente, la estrategia mixta de cada participante hace que el retorno esperado de cualquier estrategia pura de los demás participantes sea igual. Resolver el equilibrio de Nash de estrategias mixtas puede igualar las recompensas de varias estrategias puras de los participantes, formando un sistema de ecuaciones para resolver.