Cómo resolver ecuaciones de congruencia de orden superior cuyo módulo es un número primo

Pregunta: Además del método de prueba de sustitución, ¿existe algún método simple para ecuaciones de congruencia de orden superior de módulo de números primos? Como X^4+3X^3-X^2+X+1==0 (mod7)

Solución:

Idea uno:

Usar un elemento Las propiedades de la ecuación, combinadas con las propiedades de congruencia, también se pueden cambiar. Simplificar la ecuación primero para reducir el proceso de cálculo puede considerarse una simplificación.

Por ejemplo, X^4+3X^3-X^2+X+1=x(x+1)^3-4xx+1=...

Idea 2:

Además, al sustituir, primero establezca una tabla de resto modular de potencia cuadrada (matriz de Vandermond o su transpuesta), que se puede combinar con la combinación cerebro-ojo para una aritmética mental rápida. La realización de una investigación de módulos en la totalidad o parte de esta matriz puede conducir a soluciones o algoritmos nuevos y buenos.

La matriz relevante de esta pregunta es la siguiente: elemento de matriz a(i,j)=j^i mod 7

1 2 3 4 5 6

1 4 2 2 4 1

1 1 6 1 6 6

1 2 4 4 2 1

Por ejemplo, X^4+3X^3 -X^2+X +1=x(x+1)^3-4xx+1=...

Referencia del material:

Para restos de orden superior, Ke Zhao · "Notas de la conferencia sobre teoría de números II" de Sun Qi 》Hay contenido relevante en . Encuentra información en la biblioteca. Tengo el libro electrónico.

Debe haber otros materiales relacionados en la biblioteca, así que estúdialos cuando tengas tiempo.

Existen otros métodos y hay muchos artículos profesionales que no se han hecho públicos. Tengo algunas experiencias personales que es necesario aclarar, así que las omitiré por ahora.

Te deseo:

Te deseo éxito en tu estudio e investigación de la teoría de números.