Urgente. . . . . Matemáticas de secundaria (sobre combinación y disposición)
Una vez que los domines, estarás bien~
1. Problemas adyacentes: método de agrupación
Ejemplo 1. 7 estudiantes se colocaron en fila, ¿cómo? ¿Cuántos arreglos diferentes existen para que A y B estén juntos?
Solución: El problema de dos elementos dispuestos juntos se puede resolver mediante el método de "agrupación". Primero, trate a A y B como un elemento, organícelos con las otras cinco personas y considere el orden de A. y B, entonces* **Hay una semilla.
Comentarios: Generalmente: los individuos están en una fila y uno de ellos está adyacente. Esto se puede resolver mediante el método de "agrupación".
2. Problemas no adyacentes: método de inserción en blanco
Ejemplo 2. 7 estudiantes están parados en fila. ¿Cuántas disposiciones diferentes son posibles para que A y B no estén uno al lado del otro?
Respuesta: Generalmente, el método de "inserción en blanco" se utiliza para organizar los arreglos no adyacentes de A y B, por lo que el número total de arreglos no adyacentes de A y B debe ser: especie <. /p>
Comentario: Si los individuos están en una fila y no están uno al lado del otro, se puede utilizar el método de "inserción en blanco" para resolver el problema ***Hay una manera de organizarlos.
3. Problemas complejos: método de eliminación general
Cuando es difícil considerar el método directo, o la clasificación no es clara o es múltiple, puede considerar utilizar el "método de eliminación" para resolver problemas geométricos Se debe prestar atención a las limitaciones que impone la propia geometría a sus elementos constitutivos.
Ejemplo 3. (Pregunta del Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 1996) El centro y los vértices de un hexágono regular tienen 7 puntos. ¿Cuántos triángulos hay con 3 de los puntos como vértices? Solución: Hay una manera de seleccionar 3 puntos de 7 puntos, pero las líneas del centro y del vértice contenidas en las líneas diagonales del hexágono regular no pueden formar un triángulo. Hay 3 puntos, por lo que hay -3 = 32 triángulos que se encuentran. condiciones.
IV. Elementos especiales - método de prioridad
Para problemas verbales de permutación y combinación con condiciones limitadas, se puede dar prioridad Organizar ubicaciones especiales y luego considerar arreglos para otras ubicaciones.
Ejemplo 4. (Pregunta del examen de ingreso a la Universidad de Shanghai de 1995) Un maestro y 4 estudiantes galardonados se alinearon en fila para tomar fotografías. Si los maestros no están alineados en ambos extremos, hay diferentes formas de organizarlos.
Solución: Primero considere la disposición del elemento especial (maestro) Dado que el maestro no está dispuesto en ambos extremos, puede elegir cualquiera de las tres posiciones en el medio y la disposición del resto. estudiantes Hay tipos, entonces *** hay = 72 formas diferentes de disposición
Ejemplo 5. (Pregunta del examen de ingreso a la universidad nacional de 2000) Hay 3 jugadores principales entre los 10 miembros del equipo de tenis de mesa. Se envían 5 jugadores a participar en la competencia. Los 3 jugadores principales deben ubicarse en la primera, tercera y quinta posición. 2 de los 7 jugadores restantes son seleccionados en la segunda y cuarta posición, luego hay diferentes arreglos para diferentes apariciones.
Explicación: Debido a las posiciones especiales del primero, tercero y quinto, solo los. Los jugadores principales se pueden organizar. Hay diferentes arreglos, y los 7 jugadores restantes seleccionan a 2 jugadores y los colocan en la segunda y cuarta posición. Hay diferentes arreglos, por lo que hay = 252 arreglos diferentes. Problemas multidimensionales: método de discusión de clasificación
Para muchos elementos y muchas situaciones de selección, la clasificación y discusión se pueden llevar a cabo según sea necesario y finalmente sumar.
Ejemplo 6. (Reclutamiento de primavera de Beijing de 2003) Los cinco programas originalmente programados para la fiesta de Año Nuevo de una determinada clase se han organizado en la lista de programas y se han agregado dos nuevos programas antes de la presentación. Si estos dos programas se insertan en la lista de programas original, el. los métodos de inserción son diferentes. El número de especies es (A)
A. 42b. 30C. 20D. 12
Explicación: Los dos nuevos programas agregados se pueden dividir en dos situaciones: unirse y no unirse: 1. No unirse: ***Hay tipos A62 2. Unirse:** *Existen tipos A22A61. Por lo tanto, el número de métodos de interpolación diferentes es: A62 A22A61 = 42, por lo que se selecciona A.
Ejemplo 7. (Preguntas del examen nacional de ingreso a la universidad de 2003) Como se muestra en la imagen, una región está dividida en 5 regiones administrativas. El mapa ahora está coloreado. Se requiere que las áreas adyacentes no puedan usar el mismo color. elegir y diferentes métodos de coloración*** ¿Cuántos tipos hay? (Respuesta con números)
Solución: El área 1 está adyacente a otras cuatro áreas, y cada una de las otras áreas está adyacente a tres áreas, por lo tanto, se puede pintar con tres o cuatro colores. Hay = 24 formas de colorear con tres colores y = 48 formas de colorear con cuatro colores, por lo que hay 24 48 = 72 formas y se deben completar 72.
6. Seleccionar primero y luego organizar.
Para problemas escritos mixtos de permutación y combinación, se puede adoptar la estrategia de seleccionar elementos primero y luego organizarlos.
Ejemplo 8. (Examen de ingreso a la universidad de Beijing en 2002) 12 estudiantes fueron a tres intersecciones diferentes para realizar encuestas sobre el flujo de tráfico. Si hay 4 personas en cada intersección, los diferentes planes de asignación son ( )
A. Especie B. especie
C. especie d.
Solución: Esta pregunta es un problema de agrupación igualitaria. Luego, 12 estudiantes se dividen equitativamente en 3 grupos. ***Hay tres formas de asignarlos a tres intersecciones diferentes. ***Hay: tres, así que elija A.
Ejemplo 9. (Preguntas del examen de ingreso a la Universidad de Beijing en 2003) Seleccione 3 variedades de vegetales de 4 variedades de vegetales: pepino, repollo, colza y lentejas, y plántelas en tres terrenos con diferente calidad de suelo. Entre ellos, se deben plantar pepinos. Los métodos de siembra son: ( )
A. 24 especies B. 18 especies C. 12 tipos D. 6 tipos
Solución: seleccionar primero y luego organizar, implementar paso a paso. Según el significado de la pregunta, los diferentes métodos de selección son: C32, los diferentes métodos de disposición son: A31?A22, por lo que son diferentes. métodos de plantación** *Hay A31?C32?A22=12, por lo que se debe seleccionar C
Siete. Distribución de los mismos elementos - método de separación por deflectores
Ejemplo 10. Envíe 10 libros idénticos a tres salas de lectura de estudiantes numeradas 1, 2 y 3. La cantidad de libros asignados a cada sala de lectura no es menor que la cantidad de sus números. Intente encontrar la cantidad de diferentes métodos de división. Utilice tantos métodos como sea posible para resolverlo y piense si estos métodos son adecuados para casos más generales.
Esta pregunta evalúa problemas de combinación.
Explicación: Primero, deje que las salas de lectura 2 y 3 obtengan 1 libro y 2 libros por turno; luego asigne los 7 libros restantes para asegurarse de que cada sala de lectura obtenga al menos un libro. insertar dos "yoes" idénticos (generalmente considerados "particiones") en 6 "espacios" entre 7 libros idénticos ***Hay una forma de inserción, es decir, hay 15 formas de dividir.
En resumen, las ideas para resolver problemas verbales de permutación y combinación se pueden resumir de la siguiente manera: disposición clara de grupos, suma y multiplicación clara; disposición ordenada, combinación desordenada para la suma y paso a paso; multiplicación de pasos.
Específicamente, generalmente existen las siguientes formas de resolver problemas verbales de permutación y combinación:
(1) Tome elementos como el cuerpo principal, es decir, primero cumpla con los requisitos de elementos especiales y luego considerar otros elementos.
(2) Tomar la ubicación como tema principal, es decir, primero cumplir con los requisitos de la ubicación especial y luego considerar otras ubicaciones.
(3) Calcule el número de permutaciones o combinaciones sin considerar condiciones adicionales y luego reste el número de permutaciones y combinaciones que no cumplen con los requisitos.
Estrategias de resolución de problemas de permutación y combinación
Zhang Zhenghong, escuela secundaria número 2 de la ciudad de Anlu, provincia de Hubei
Conocimiento de permutación y combinación se usa ampliamente en la práctica y dominar bien la permutación. La combinación de conocimientos puede ayudarnos a resolver muchos problemas de aplicaciones prácticas en la producción y la vida. El problema de la permutación y combinación simultáneas siempre ha sido un problema difícil. Por lo tanto, es necesario resumir y resumir las reglas y métodos de resolución de problemas de permutación y combinación para dominar completamente el conocimiento de permutación y combinación.
En primer lugar, hablemos de las reglas generales de resolución de problemas integrales de permutación y combinación:
1) Si se debe utilizar el “principio de conteo categórico” o el “principio de conteo por pasos”. El principio de conteo paso a paso depende de cómo completamos algo. Depende del método adoptado. Cuando se puede realizar mediante clasificación, se utiliza el "principio de conteo de clasificación". Cuando es necesario hacerlo paso a paso, se utiliza el "conteo de pasos". Se utiliza "principio". Entonces, ¿cómo determinar si se trata de clasificación o paso a paso? "Clasificación" significa que cualquiera de las categorías puede completar de forma independiente el evento dado, mientras que "paso a paso" debe completar cada paso para completar el evento dado, por lo que una comprensión precisa de los dos principios enfatiza varios tipos de formas de completar Una cosa. No interfieren entre sí y son independientes entre sí. La intersección entre ellos es el conjunto vacío y la unión es el conjunto completo. No importa qué método se utilice, las cosas se pueden completar de forma independiente. El conteo de pasos enfatiza que cada paso es indispensable. Todos los pasos deben completarse para completar la tarea y las cosas no se afectan entre sí, es decir, el método utilizado en el paso anterior no afecta el método utilizado en los siguientes pasos.
2) Las definiciones de permutación y combinación son similares. La diferencia radica en si están relacionadas con el orden.
3) Los problemas de disposición complejos a menudo se visualizan mediante experimentos, dibujando "diagramas de árbol", "diagramas de bloques" y otros medios para encontrar formas de resolver el problema. Dado que la exactitud de los resultados es difícil de probar, A menudo es necesario resolver utilizando diferentes métodos para obtener la prueba.
4) La clasificación según la naturaleza de los elementos y paso a paso según la continuidad de los eventos son los métodos de pensamiento básicos para abordar problemas de permutación y combinación. Preste atención al significado de palabras restrictivas como. como "al menos, como máximo".
5) Cuando se tratan cuestiones integrales de disposición y combinación, la idea general es seleccionar elementos (combinar) primero, luego ordenarlos, "clasificar" según la naturaleza de los elementos y "paso a paso "De acuerdo con el proceso del evento, que siempre es el procesamiento de los principios y métodos básicos para organizar y combinar problemas. A través del entrenamiento en resolución de problemas, debemos prestar atención a acumular y dominar las habilidades básicas de clasificación y paso a paso. , asegurando que cada paso sea independiente, logrando estándares de clasificación claros, niveles claros paso a paso y sin duplicaciones ni omisiones.
6) Al resolver problemas integrales de permutación y combinación, debes tener un conocimiento profundo del concepto de permutación y combinación, ser capaz de clasificar el problema hábilmente y tener en cuenta las fórmulas de números de permutación y combinación. Números y propiedades de los números combinados. Los errores que son fáciles de cometer son: Duplicación y omisión de conteo.
En resumen, las reglas básicas para resolver problemas de permutación y combinación son: suma por clasificación, multiplicación paso a paso, disposición clara de grupos, suma y multiplicación clara, disposición ordenada, combinación positiva y difícil; Exclusión indirecta, etc.
En segundo lugar, si bien comprendemos las características y leyes esenciales del problema y utilizamos de manera flexible principios y fórmulas básicos para analizar y responder, también debemos prestar atención a algunas estrategias de resolución de problemas y técnicas metodológicas para hacer que algunos aparentemente Problemas complicados El problema está resuelto. A continuación se muestran algunos métodos y estrategias de resolución de problemas de uso común.
1. "Método de disposición prioritaria" de elementos especiales (posiciones): Para la disposición y combinación de elementos especiales (posiciones), generalmente se consideran primero los elementos especiales y luego los demás.
Ejemplo 1. Usa cinco números, 0, 2, 3, 4, 5, para formar un número de tres dígitos sin números repetidos.
A. 24 B. 30 C. 40 D. 60
[Análisis] Dado que el número de tres dígitos es un número par, el último número debe ser un número par y, como 0 no puede clasificarse en primer lugar, 0 es entre ellos. Los elementos "especiales" deben ordenarse primero, divididos en dos categorías: 0 al final y 0 no al final: 1) cuando 0 está al final, hay A42, 2) cuando 0 no está al final. Al final, hay C21 A31A31, según el principio de conteo de fracciones, hay un número par de A42 C21 A31A31 = 30, elija B.
2. Método de eliminación general: para las preguntas que contengan negación, también puede eliminar las que no sean satisfactorias del total. Como en el Ejemplo 1, este método también se puede utilizar para responder: Hay A53 arreglos completos de números de tres dígitos compuestos por cinco números. Después de ordenar, se encuentra que el 0 no se puede clasificar en primer lugar y los números 3 y 5 no se pueden clasificar. clasificados en último lugar, estos dos arreglos requieren Excluido, por lo que hay A53--3A42 C21A31=30 números pares.
3. La clasificación razonable y los problemas precisos de disposición y combinación paso a paso con restricciones deben clasificarse de acuerdo con la naturaleza de los elementos y paso a paso de acuerdo con el proceso continuo de las cosas que suceden, de modo que los estándares de clasificación sean claros, el paso La jerarquía paso a paso es clara y no hay duplicaciones ni omisiones.
Cuatro. Los problemas adyacentes utilizan el método de agrupación: al resolver problemas que requieren que ciertos elementos sean adyacentes, primero considérelos como un todo, "agrupe" los elementos adyacentes y trátelos como un elemento "grande" organizado con el resto de los elementos, y luego considere La estrategia de resolución de problemas para el orden de los elementos dentro de un elemento grande es el método de agrupación.
Ejemplo 2. Hay 8 libros diferentes; incluidos 3 libros de matemáticas, 2 libros de idiomas extranjeros y 3 libros de otras materias. Si estos libros se organizan en una fila en una estantería y los libros de matemáticas se organizan juntos, los libros de idiomas extranjeros también se organizarán juntos. Hay () formas de organizarlos. (Los resultados se expresan como valores numéricos)
Solución: 3 libros de matemáticas se "agrupan" en un libro grande, 2 libros de idiomas extranjeros también se "agrupan" en un libro grande y los otros 3 los libros también están "agrupados" en un libro grande. Este libro se considera como 5 elementos juntos, y hay 55 métodos de clasificación; 3 libros de matemáticas tienen 33 métodos de clasificación y 2 libros de idiomas extranjeros tienen 22 métodos de clasificación; Para el conteo de pasos, hay 4 métodos de clasificación. A55 A33 A22=1440 (tipos).
Nota: cuando utilice el método de agrupación para resolver problemas de permutación y combinación, debe prestar atención al orden interno. Elementos grandes "agrupados".
5. Los problemas no adyacentes utilizan el "método de interpolación": los problemas no adyacentes requieren que ciertos elementos no puedan ser adyacentes y deban estar separados por otros elementos. Para resolver este tipo de problema, primero puede organizar otros elementos y luego insertar los elementos no adyacentes especificados en sus espacios y en ambos extremos, por lo que se denomina método de inserción.
Ejemplo 3: Usa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 para formar un número de ocho dígitos sin números repetidos. Se requiere que 1 y 2 sean adyacentes, 2 y 4. son adyacentes, y 5 y 6 son adyacentes, pero 7 y 8 no son adyacentes. Existen () números de ocho dígitos. (Respuesta con números)
Solución: Dado que se requiere que 1 y 2 sean adyacentes y 2 y 4 son adyacentes, los tres números 1, 2 y 4 se pueden agrupar para formar un elemento grande. elemento grande Solo se pueden organizar 2 en el medio, y 1 y 4 se pueden organizar en ambos lados. Por lo tanto, hay A22 formas de disposición dentro del elemento grande. Luego, 5 y 6 también se agrupan en un elemento grande. A22 formas de disposición en su interior, que es lo mismo que el número 3. ***Calcule tres elementos primero. Organice estos tres elementos. Hay A33 formas de organizarlos. Luego puede elegir entre las cuatro posiciones en el espacio formado por. los tres elementos dispuestos al frente y en ambos extremos. Dos, simplemente inserte los números no adyacentes 7 y 8. Hay tipos de métodos de inserción A42, por lo que los números de ocho dígitos que cumplen las condiciones son A22 A22 A33 A42 = 288 (. tipos).
Nota: Cuando utilice el "método de inserción vacía" para resolver problemas no adyacentes, preste atención a si la posición a insertar incluye ambos extremos.
6. Para arreglar el orden, use "división": para el problema de organizar ciertos elementos en un orden determinado, primero puede ordenar completamente estos elementos junto con otros elementos y luego dividir el número total de arreglos por el número total de arreglos de estos. elementos.
Ejemplo 4. Seis personas hacen cola ¿Cuántas formas hay de hacer cola a tres personas A, B y C en el orden "A---B---C"?
Análisis: independientemente de las condiciones adicionales, existen métodos de cola A66 y solo uno de los métodos de cola A33 para A, B y C cumple las condiciones. Por tanto, existen 120 disposiciones admisibles: A66÷A33=120. (o tipo A63)
Ejemplo 5, 4 niños y 3 niñas, las alturas no son iguales. Ahora colóquelos en una fila y pida a las niñas que los ordenen de bajo a alto de izquierda a derecha. ¿Cuantos arreglos hay?
Explicación: Primero, se eligen 4 de las 7 posiciones para los niños, y hay 74 formas de disposición. Las 3 posiciones restantes se dan a las niñas, y solo hay una forma de disposición, por lo que hay. son A74 formas de disposición. (También puede ser A77÷A33)
Siete. El problema de clasificación se puede resolver mediante el "método de clasificación directa": el problema de organizar varios elementos en varias filas se puede resolver mediante el método de organizarlos uniformemente en una fila.
Ejemplo 6: 7 personas se sientan en dos filas de asientos, con 3 personas en la primera fila y 4 personas en la segunda fila ¿Cuántas formas diferentes de sentarse hay?
Análisis: 7 personas pueden sentarse en cualquier lugar de las dos primeras filas sin ninguna otra condición, por lo que las dos filas pueden considerarse como una sola. Hay 77 formas diferentes de sentarse.
8. Método prueba por prueba: cuando hay más condiciones adicionales en las preguntas y la dificultad se resuelve directamente, se utilizan experimentos para encontrar las reglas gradualmente.
Ejemplo 7. Complete los números 1, 2, 3 y 4 en los cuadrados etiquetados 1, 2, 3 y 4. Complete 1 número en cada cuadrado Las etiquetas de los cuadrados y los números completados. son consistentes. El número de métodos de llenado diferentes es ( )
A. 6 B.9 C.11 D.23
Respuesta: El primer cuadrado se puede llenar con 2, 3 o 4. Si el primer cuadrado se llena con 2, entonces el segundo cuadrado se puede llenar con 1 , 3 o 4. , si el segundo cuadrado se llena con 1, solo hay una manera de llenar los dos últimos cuadrados; si el segundo cuadrado se llena con 3 o 4, solo hay una manera de llenar los dos últimos cuadrados; Hay 9 métodos de llenado para A***, así que elija B
9. "Método de partición" del modelo de construcción
Para problemas de disposición más complejos, puede diseñar otro escenario. modelo de partición para resolver el problema.
Ejemplo 8. ¿Cuántos conjuntos de soluciones enteras positivas hay para la ecuación a b c d=12?
Análisis: Establezca un modelo de partición: alinee 12 bolas idénticas en una fila, inserte 3 particiones arbitrariamente en los 11 espacios formados entre ellas, divida las bolas en 4 montones, cada uno El número de bolas en cada montón de 4 montones de bolas obtenidas mediante este método de división corresponde a un conjunto de soluciones enteras positivas de a, b, cy d. Por lo tanto, el número de conjuntos de soluciones enteras positivas de la ecuación original es C113. p>Otro ejemplo es la ecuación a b c d=12. El número de soluciones enteras no negativas se puede resolver mediante este método.
10. Lo que es difícil es lo contrario: método de eliminación
Para preguntas de permutación y combinación que contienen "como máximo" o "al menos", si las respuestas directas requieren discusiones complicadas, puede hacerlo. considere "La "ordenación general" es un método para eliminar las permutaciones o combinaciones que no cumplen con las condiciones en la población, calculando así el número de permutaciones y combinaciones que cumplen las condiciones.
Ejemplo 9: Seleccione aleatoriamente 3 televisores de 4 televisores tipo A y 5 televisores tipo B. Entre ellos, debe haber al menos un televisor tipo A y tipo B. Las diferentes formas de elegirlos son. : ( )amable.
A. 140 especies B. 80 especies C. 70 especies D. 35 tipos
Solución: Entre las 3 unidades extraídas, los métodos de extracción que no contienen el tipo A o el tipo B no están en línea con el significado de la pregunta, por lo tanto, los métodos de extracción que cumplen con el significado. de la pregunta son C93-C43-C53=70(especie), así que elija C.
Nota: Este método es adecuado para ejercicios donde la situación negativa es clara y fácil de calcular.
Once. Método de exploración paso a paso: Para problemas donde la situación es compleja y es difícil encontrar las reglas, es necesario analizar y explorar cuidadosamente las reglas.
Ejemplo 10. De los números naturales de Del 1 al 100, saca dos números diferentes cada vez, de modo que si su suma es mayor que 100, ¿cuántas formas diferentes hay?
Solución: En la suma de dos números, el número menor es el sumando, 1 100gt 100, cuando 1 es el sumando, hay 1 tipo, y cuando 2 es el sumando, hay 2 tipos. ,... , hay 49 clases de 49 como sumando, y 50 clases de 50 como sumando, pero hay 49 clases de 51 como sumando, y 48 clases de 52 como sumando,..., hay sólo 99 como sumando capturado 1 clase, por lo que las diferentes formas de tomarlo son (1 2 3... 50) (49 48... 1) = 2500 clases
Doce. Método de correspondencia uno a uno:
Ejemplo 11. Se realiza una competición eliminatoria de todos contra todos entre 100 jugadores (es decir, si un jugador falla, se retirará del juego) y finalmente un campeón. se producirán. ¿Cuántos juegos se necesitarán?
Explicación: Para producir un campeón, todos los jugadores excepto el campeón deben ser eliminados, es decir, se deben eliminar 99 jugadores para eliminar a un jugador, se debe realizar una partida, por lo que hay 99 partidas.
Cabe señalar que los diversos métodos presentados anteriormente son métodos de uso común para resolver problemas generales de permutación y combinación, y no son absolutos.
Matemáticas es un curso muy flexible. A veces hay múltiples soluciones para el mismo problema. En este momento, debes pensar y analizar detenidamente y elegir el mejor método con flexibilidad. También hay cosas como el "método de clasificación" para problemas multivariados, el "método de disposición de líneas" para problemas de disposición de anillos y el "método de igual probabilidad", que no entraré en detalles aquí.