Las matemáticas también tienen muchas funciones y aplicaciones maravillosas en la música. ¿Puedes dar ejemplos específicos?

Fuente del artículo: "Mathematics Bulletin"

En esta ronda de reforma curricular, "matemáticas y cultura" se han convertido en uno de los temas más preocupantes para las matemáticas y los educadores de matemáticas de Actual For a. Durante mucho tiempo, muchos profesores de matemáticas y matemáticas han estado pensando y estudiando este tema. En los próximos "Estándares del plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria", existe un requisito claro de integrar la "cultura matemática" en todo el plan de estudios de la escuela secundaria. En cuanto a "cultura matemática", hay que admitir que no se han discutido claramente y todavía hay muchos debates. Por ejemplo, muchos estudiosos tienen dudas sobre el término "cultura matemática". Realizamos investigaciones sobre estos temas desde dos aspectos al mismo tiempo, por un lado, realizamos investigaciones teóricas, por otro lado, desarrollamos activamente algunos ejemplos, casos y lecciones de "matemáticas y cultura" para explorar cómo integrarlos. Cultura matemática "Penetrar en la enseñanza en el aula, cómo permitir que los estudiantes mejoren su competencia matemática a partir de la "cultura matemática", y luego llevar a cabo un pensamiento teórico sobre esta base, de la práctica a la teoría, y realizar algunas investigaciones empíricas. El siguiente es un ejemplo que proporcionamos - - Las matemáticas y la música también se pueden considerar como un material. Esperamos que los profesores que trabajan en primera línea puedan desarrollarlo aún más para que este material pueda introducirse en las aulas o actividades extracurriculares de diferentes formas. También esperamos que más personas se desarrollen. tales materiales, y esperamos que estos materiales puedan aparecer en los materiales didácticos.

Durante el desarrollo de los estándares curriculares de matemáticas, conocimos a algunos expertos en la industria de la música y nos contaron mucho sobre la relación entre ellos. Música y matemáticas, la aplicación de las matemáticas en la música, enfatizaron particularmente que hoy, con el rápido desarrollo de las computadoras y la tecnología de la información, la música y las matemáticas están más estrechamente relacionadas, y las matemáticas son necesarias en teoría musical, composición musical, síntesis musical, producción de música electrónica, etc. También nos dijeron que en la industria de la música, hay algunos músicos con buenos conocimientos matemáticos que han hecho contribuciones importantes al desarrollo de la música. Tanto ellos como nosotros esperamos que los estudiantes interesados ​​en carreras musicales lo hagan. aprende bien matemáticas, porque en el futuro música En tu carrera, las matemáticas jugarán un papel muy importante.

La hermosa melodía de "Butterfly Lovers", el ruido de la pipa, las emocionantes sinfonías de Beethoven, el chirrido de los insectos. en los campos Tweets... Cuando estabas inmerso en esta hermosa música, ¿pensaste en su estrecha conexión con las matemáticas?

De hecho, se puede decir que la investigación y la comprensión de la gente sobre la conexión entre las matemáticas y la música Tiene una larga historia. Esto se remonta al siglo VI a.C., cuando los pitagóricos utilizaron proporciones para conectar las matemáticas y la música [1]. longitud de las cuerdas, descubriendo así la relación entre la armonía y los números enteros, y también descubrió que los armónicos son emitidos por cuerdas igualmente tensas cuyas longitudes están en proporciones enteras. Así nació la escala pitagórica y la teoría de la afinación, que ocupó una posición dominante en la historia. Mundo de la música occidental Aunque C. Ptolomeo (alrededor de 100-165 años) reformó las deficiencias de la escala pitagórica y ideó una escala de temperamento puro más ideal (la escala justa) y la correspondiente teoría de afinación, pero el predominio de la escala pitagórica. y la teoría de la sintonía no fue completamente sacudida hasta la aparición de la escala templada y la correspondiente teoría de la sintonía. En nuestro país, la primera teoría completa del temperamento fue el temperamento de pérdidas y ganancias de tres puntos, que se describió en el "Capítulo Guanzi. Diyuan" y. "Lu Shi Chunqiu. Capítulo musical" de mediados del período de primavera y otoño, Zhu Zai (1536 - 1610) de la dinastía Ming escribió en su libro de música "Nueva teoría del ritmo" que ofrece una descripción general del método de cálculo de doce iguales. temperamentos, y discutió la teoría de los doce temperamentos iguales en "Lv Lu Jingyi? Neipian", y calculó los doce temperamentos iguales con precisión en diez puntos, exactamente igual que los doce temperamentos iguales de hoy, que es la primera vez en el mundo. Se puede ver que en la antigüedad, el desarrollo de la música estaba estrechamente vinculado a las matemáticas. Desde entonces hasta ahora, con el desarrollo de las matemáticas y el desarrollo continuo de la música, la comprensión y la comprensión de la relación entre las personas también se están profundizando constantemente. Las matemáticas racionales están en todas partes en la música del sentimiento. La escritura de partituras musicales es inseparable de las matemáticas.

Mira los instrumentos musicales El rey del piano: la barra del teclado, que también es la misma que. Fibonacci

Está relacionado con la secuencia de escritura. Sabemos que en el teclado del piano, de una tecla C a la siguiente, hay una octava en la música (Figura 1). 5 teclas negras se dividen en 2 grupos, un grupo tiene 2 teclas negras y un grupo tiene 3 teclas negras. 2, 3, 5, 8 y 13 son los famosos números de Fibonacci.

Si la aparición de los números de Fibonacci en las teclas del piano es una coincidencia, entonces la aparición de secuencias geométricas en la música no es en modo alguno accidental: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, i y otras escalas musicales. se especifican usando secuencias geométricas. Mirando la Figura 1 nuevamente, es obvio que esta octava está dividida en 12 semitonos por la tecla negra y la tecla blanca, y sabemos que sonará la siguiente tecla C. El número de vibraciones (es decir, frecuencia) del sonido musical es el doble del número de vibraciones de la primera tecla C. Debido a que se divide por 2, esta división se realiza según la secuencia geométrica. Podemos encontrar fácilmente la relación de división x, y obviamente x satisface x12 = 2,. resolver esta ecuación muestra que x es un número irracional, aproximadamente 1106. Entonces decimos que el tono de un determinado semitono es 1106 veces el tono de esa nota, y el tono de todo el tono es 11062 veces el tono de esa nota real. Además, la misma secuencia geométrica también existe en la guitarra [3].

Transformación matemática en la música.

La transformación de traducción existe en matemáticas, ¿existe también en música? ¿Transformación? Podemos encontrar la respuesta a través de dos compases musicales [2]. Obviamente, podemos traducir las notas del primer compás al segundo compás, y luego habrá traducción en música. sílabas en el sistema de coordenadas rectangulares, y aparecerá como la Figura 3. Obviamente, esta es exactamente la traducción en matemáticas. Sabemos que el propósito de los compositores que crean obras musicales es expresar vívidamente sus emociones internas. se expresa a través de toda la música y se sublima en el tema, y ​​el tema de la música a veces aparece repetidamente de alguna forma. Por ejemplo, la Figura 4 es el tema de la música occidental When the Saints Go Marching In [2] Obviamente, el. El tema de esta pieza musical puede considerarse obtenido mediante traducción.

Si tomamos una línea horizontal apropiada en el pentagrama como eje de tiempo (eje horizontal x), y el tiempo Si la línea recta vertical es utilizado como eje de paso (eje vertical y), entonces hemos establecido un sistema de coordenadas rectangular del plano de paso de tiempo en el pentagrama. Por lo tanto, la serie de repeticiones o traslaciones en la Figura 4 se puede aproximar mediante una función expresada [2], como. como se muestra en la Figura 5, donde x es el tiempo y y es el tono. Por supuesto, también podemos usar funciones para representar aproximadamente las dos sílabas en la Figura 2 en el sistema de coordenadas rectangular plano de tiempo y tono. Aquí debemos mencionar a un famoso matemático del siglo XIX, Joseph Fourier. Fueron sus esfuerzos los que permitieron a la gente comprender las propiedades de la música. Él demostró que toda la música, ya sea instrumental o vocal, se puede expresar y describir. mediante fórmulas matemáticas, y demostró que estas fórmulas matemáticas son la suma de funciones seno periódicas simples[1].

No sólo aparecen transformaciones de traducción en la música, sino que también pueden aparecer otras transformaciones y sus combinaciones, como las transformaciones de reflexión. , etc. Las dos sílabas en la Figura 6 son transformaciones de reflexión en música [2]. Si todavía partimos de las matemáticas Considerando el ángulo, colocamos estas notas en el sistema de coordenadas, entonces su desempeño en matemáticas es nuestra transformación de reflexión común, como se muestra en Figura 7. De manera similar, también podemos colocar estos dos en el sistema de coordenadas rectangulares de tiempo y tono. Las sílabas se representan aproximadamente mediante funciones.

A través del análisis anterior, se puede ver que una pieza musical puede ser la resultado de diversas transformaciones matemáticas de algunos segmentos básicos.

Música natural Matemáticas en la naturaleza.

La conexión entre la música en la naturaleza y las matemáticas es aún más mágica y normalmente no es conocida por todos. Por ejemplo [2], se puede decir que el chirrido de los grillos es la música de la naturaleza, pero se sabe poco sobre la frecuencia del chirrido de los grillos. Tiene una gran relación con la temperatura. Podemos usar una función lineal para expresarlo: C =. 4 toneladas – 160.

Entre ellos, C representa el número de veces que el grillo chirría por minuto y t representa la temperatura. Según esta fórmula, siempre que sepamos el número de veces que el grillo chirría por minuto, podemos conocer la temperatura del clima sin ella. ¡un termómetro!

En matemáticas racionales también hay música perceptual.

A partir de una imagen de función trigonométrica, solo necesitamos segmentarla adecuadamente para formar secciones apropiadas y seleccionar los puntos apropiados en la curva como ubicación de las notas. Luego podemos componer una pieza musical. Se puede ver que no solo podemos usar la sección áurea para componer música como el compositor húngaro Bela Bartók, sino que también podemos componer música basada en pura. imágenes funcionales Esto es matemática El trabajo posterior de Joseph Fourier es también el proceso inverso de su trabajo. El representante más típico es Joseph Schillinger, profesor de matemáticas y música en la Universidad de Columbia en la década de 1920, quien una vez escribió Nueva York. Times Se describió una curva comercial ondulante en papel cuadriculado, y luego cada segmento básico de la curva se transformó en una pieza musical de acuerdo con proporciones e intervalos apropiados y armoniosos. Finalmente, se tocó en un instrumento y resultó que así era. resultó ser una hermosa melodía, piezas musicales que se parecen mucho a las obras musicales de Bach [2]! El profesor incluso creía que, según una serie de criterios, todas las obras maestras musicales se pueden transformar en fórmulas matemáticas. aún más Innovó y creó un sistema para componer música usando las matemáticas. Se dice que utilizó dicho sistema para crear la famosa ópera "Porgy and Bess".

Por eso decimos que en la música El surgimiento de. Las matemáticas y la existencia de la música en las matemáticas no son un accidente, sino una manifestación de la integración de las matemáticas y la música. Sabemos que la música toca una serie de notas para expresar las alegrías, las tristezas y las alegrías de las personas o para expresar sus sentimientos sobre la naturaleza y la vida. Es decir, la música expresa las emociones de las personas y es un reflejo del propio mundo interior y de los sentimientos de las personas sobre el mundo objetivo. Por tanto, se utiliza para describir el mundo objetivo, pero de forma perceptiva o más perceptiva. De manera personal y subjetiva, las matemáticas describen el mundo de manera racional y abstracta, permitiendo al ser humano tener una comprensión y conocimiento objetivo y científico del mundo, y a través de algunas fórmulas concisas, hermosas y armoniosas expresar la naturaleza. Dijo que tanto las matemáticas como la música se utilizan para describir el mundo, pero los métodos de descripción son diferentes, pero el objetivo final es servir a los seres humanos para una mejor supervivencia y desarrollo, por lo que existe una conexión inherente entre ellas. Debería ser algo natural.

Ya que las matemáticas y la música tienen una conexión tan maravillosa, ¿por qué no sumergirnos en la hermosa melodía de "Butterfly Lovers" o ubicarnos tranquilamente en los campos donde los insectos chirrían? la conexión interna entre las matemáticas y la música? ¿Por qué no continuamos explorando su conexión interna con confianza en el sonido de la pipa o la emocionante sinfonía?

Arriba, proporcionamos algunos materiales sobre la conexión entre las matemáticas. y música. ¿Cómo "procesar" estos materiales en el contenido de la "educación matemática"? Planteamos algunas preguntas para la consideración de los escritores de libros de texto y los profesores que trabajan en primera línea.

1) ¿Cómo procesar? e infiltrar dichos materiales en la enseñanza de las matemáticas y en los libros de texto de matemáticas?

2) ¿Se pueden compilar estos materiales en "informes de divulgación científica" y utilizarlos en actividades extracurriculares para promover pasatiempos musicales y matemáticos? Los investigadores informan, investigan, comprenden, y piense en el impacto de dichos informes en los estudiantes y en las reacciones de los estudiantes ante dichos informes.

La música y las matemáticas han estado vinculadas durante siglos. Durante el período medieval, la aritmética, la geometría, la astronomía y la música se incluían en el plan de estudios educativo. Las nuevas computadoras de hoy están ampliando este vínculo.

La escritura de partituras musicales es el primer ámbito significativo donde se hace evidente la influencia de las matemáticas en la música. En el manuscrito musical, vemos velocidad, tiempo (4/4 de tiempo, 3/4 de tiempo, etc.), notas enteras, blancas, negras, corcheas, semicorcheas, etc. Determinar el número de notas parciales en cada compás al escribir una partitura musical es similar a encontrar un denominador común: notas de diferentes longitudes deben caber en el compás especificado por un tiempo determinado. El compositor creó música que se mezclaba bellamente y sin esfuerzo dentro de la estricta estructura de la partitura escrita.

Si se analiza una obra completa, se puede ver que cada compás utiliza notas de diferente duración para formar un número prescrito de tiempos.

Además de la relación obvia entre las matemáticas y la notación musical, la música también está relacionada con proporciones, curvas exponenciales, funciones periódicas y la informática.

Los pitagóricos (585 a. C. a 400 a. C.) fueron los primeros en utilizar proporciones para conectar la música y las matemáticas. Se dieron cuenta de que el sonido producido por las cuerdas pulsadas estaba relacionado con la longitud de las cuerdas, y así descubrieron la relación entre la armonía y los números enteros. También descubrieron que los sonidos armónicos son producidos por cuerdas igualmente tensas cuyas longitudes están en proporciones de números enteros; de hecho, cada combinación armoniosa de cuerdas pulsadas se puede expresar como una proporción entera. Aumentar la longitud de la cadena en una proporción entera produce la escala completa. Por ejemplo, a partir de la cuerda que produce la nota C, 16/15 de la longitud de C te da B, 6/5 de la longitud de C te da A, 4/3 de la longitud de C te da G, 3 /2 de la longitud de C da F, 8/5 de la longitud de C da E, 16/9 de la longitud de C da D y 2/1 de la longitud de C da C baja.

¿Alguna vez te has preguntado por qué los pianos de cola se fabrican como están? De hecho, la forma y estructura de muchos instrumentos musicales están relacionadas con diversos conceptos matemáticos. Las funciones exponenciales y las curvas exponenciales son tales conceptos. La curva exponencial se describe mediante una ecuación de la forma y=kx, donde k>0. Un ejemplo es y=2x. Su diagrama de coordenadas es el siguiente.

Ya sea un instrumento de cuerda o un instrumento de viento producido por columnas de aire, su estructura refleja la forma de una curva exponencial.

El trabajo del matemático del siglo XIX John Fourier culminó el estudio de las propiedades de los sonidos musicales. Demostró que todos los sonidos musicales (instrumentales y vocales) pueden describirse mediante fórmulas matemáticas que son sumas de funciones sinusoidales periódicas simples. Cada sonido tiene tres propiedades, a saber, tono, volumen y timbre, que lo distinguen de otros sonidos musicales.

El descubrimiento de Fourier permitió representar gráficamente estas tres propiedades del sonido con claridad. El tono está relacionado con la frecuencia de la curva, y el volumen y la calidad del sonido están relacionados con la amplitud y la forma de la función periódica ① respectivamente.

Sin una comprensión de las matemáticas de la música, es imposible avanzar en la aplicación de las computadoras a la creación musical y al diseño de instrumentos. Los descubrimientos matemáticos, específicamente las funciones periódicas, son esenciales en el diseño moderno de instrumentos musicales y en el diseño de computadoras controladas por sonido. Muchos fabricantes de instrumentos comparan las curvas de sonido periódicas de sus productos con las curvas ideales para esos instrumentos. La fidelidad de la reproducción de música electrónica también está estrechamente relacionada con la curva periódica. Músicos y matemáticos seguirán desempeñando papeles igualmente importantes en la producción y reproducción de la música.

La figura anterior muestra la vibración segmentada y la vibración general de una cuerda. Las vibraciones más largas determinan el tono y las vibraciones más pequeñas crean armónicos.

① Una función periódica es una función que repite una forma en intervalos de igual longitud.