¿Cuál es el principal objeto de investigación de los métodos de cálculo numérico? ¿Cuáles son los tres aspectos principales de sus algoritmos básicos de uso común?
Los principales objetos de investigación de los métodos de cálculo numérico: el diseño, análisis, teorías matemáticas relacionadas y la implementación específica de métodos numéricos para el estudio de diversos problemas matemáticos. Entre los algoritmos básicos comúnmente utilizados, los métodos iterativos se utilizan con más frecuencia que los métodos directos en el análisis numérico. Por ejemplo, el método de Newton, el método de bisección, el método de Jacobi, el método residual mínimo generalizado y el método de gradiente de mayal ***, etc. En álgebra matricial computacional, los problemas grandes generalmente requieren métodos iterativos para resolverlos.
Muchas veces, es necesario convertir un problema de modelo continuo en un problema de forma discreta cuya solución sea aproximada a la solución del modelo continuo original; este proceso de conversión se llama discretización;
Por ejemplo, encontrar la integral de una función es un problema de modelo continuo, es decir, encontrar el área bajo una curva. Si se discretiza en una integral numérica, su área se convierte en la anterior usando algunos gráficos más simples. (Como rectángulo, trapezoide), por lo que solo necesitas encontrar las áreas de estas figuras y luego sumarlas.
Extensiones
El análisis numérico también utiliza aproximaciones para calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, incluidas ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen utilizar un método iterativo, es decir, dado un punto de la curva, intenta calcular su pendiente, encuentra el siguiente punto y luego desplaza la información del siguiente punto. El método de Euler es el más simple de estos métodos, mientras que el más utilizado es el método de Runge-Kutta.
El análisis numérico de ecuaciones diferenciales parciales generalmente se resuelve discretizando primero el problema en subespacios de elementos finitos. Esto se puede lograr mediante el método de elementos finitos, el método de diferencias finitas y el método de volúmenes finitos, que convierten ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones algebraicas, pero los argumentos teóricos suelen estar relacionados con los teoremas del análisis funcional general. Otra solución numérica a las ecuaciones diferenciales parciales es utilizar la transformada discreta de Fourier o la transformada rápida de Fourier.