Fracciones egipcias
Fracción egipcia
Una fracción egipcia es una fracción cuyo numerador es 1, también llamada fracción unitaria. Cuando los antiguos egipcios realizaban operaciones con fracciones, solo usaban fracciones cuyo numerador era 1. Por lo tanto, este tipo de fracción también se denomina fracción egipcia o fracción de una sola molécula.
Nombre chino
Fracción egipcia
Lugar de invención
Egipto
Rápido
Navegación
Leyendas relacionadas
Exploración moderna
Solución algorítmica
Desarrollo futuro
Investigación histórica
Egipto, como China, también es una civilización antigua famosa en el mundo. Cuando la gente examina la historia del antiguo Egipto, se da cuenta de que gigantes matemáticos como Arquímedes también estudiaron las fracciones egipcias. Algunos de los matemáticos más importantes de este siglo también estudiaron las fracciones egipcias, como el premio Wolf Paul Oudes, quien propuso la famosa conjetura 4/n=1/x 1/y 1/z. Cuando se debían dividir 9 hogazas de pan en partes iguales entre 10 personas, los antiguos egipcios no sabían que cada persona podía obtener 9/10, sino que decían que cada persona podía obtener 1/3 1/4 1/5 1/12 1 /30. Es realmente inimaginable. Los antiguos egipcios ni siquiera podían calcular 9/10. ¿Cómo sabían que 9/10 = 1/3 1/4 1/5 1/12 1/30? Por eso, durante miles de años, los historiadores de las matemáticas han insistido en que los antiguos egipcios no sabían cómo utilizar fracciones. En 1858, el arqueólogo escocés Leyden compró un documento de papiro egipcio antiguo. Fue identificado como papel hecho de hierba que prosperaba en estanques y pantanos formados por el desbordamiento del río Nilo. Fue escrito alrededor del año 1700 a.C.
Fracción egipcia
En las fracciones que usamos hoy en día, cuando hay 2 elementos para dividir en partes iguales entre 3 personas, cada persona puede obtener 2 1/3. Puedes hacer los cálculos como 2/3 = 1/3 1/3. Entonces, ¿cómo calculaban los habitantes del antiguo Egipto? Primero, divide los 2 elementos en 4 1/2, dale a cada persona 1/2 primero, luego divide el 1/2 restante en 3 partes iguales, divide el resultado en partes iguales, cada persona recibe 1/2 más 1 1/3 de / 2, es decir, 1/2 1/6 = 2/3. Este papiro "Leiden", que aún se conserva en el Museo Británico, registra en un gran espacio la descomposición de fracciones propias en fracciones de una sola molécula. Este método de operación ha sido criticado por los matemáticos modernos, que creen que la razón fue la de los egipcios. no Una de las razones para poder desarrollar la aritmética y el álgebra a un nivel superior es la complejidad de las operaciones fraccionarias.
Leyendas relacionadas
Las pirámides de Egipto son mundialmente famosas, lo que indica que los antiguos egipcios tenían magníficas habilidades arquitectónicas y una inteligencia extraordinaria. ¿Será que no podían entender las fracciones modernas más simples? ¿Podría la Pirámide contener un escrito de mala calidad?
Las matemáticas modernas se han desarrollado a un nivel muy abstracto y complejo, pero la fracción egipcia es tan tosca que debería haber desaparecido de la memoria de la gente. Sin embargo, los problemas que causó todavía atraen la atención de la gente hasta el día de hoy.
Ke Zhao, el difunto presidente de la Universidad de Sichuan, escribió: "Algunos de los problemas causados por las fracciones egipcias se han convertido en problemas y conjeturas sin resolver hasta el día de hoy. Han dejado perplejos a muchos matemáticos contemporáneos". El propio Ke Zhao no pudo probar esta conjetura hasta su muerte.
Cuenta una antigua leyenda:
Cuando el anciano estaba agonizando, dividió los 11 caballos de la familia entre sus tres hijos, el mayor 1/2, el segundo 1/4 , y el tercero 1/6. La mitad son 5 caballos y medio. No se pueden matar los caballos. En el momento de la desesperación, el vecino trajo sus propios caballos, la segunda mitad se llevó 6 caballos; le quitó 3 caballos; el tercero un sexto, le quitó 2 caballos. Había 11 caballos por caballo. Después de dividirlos, el vecino se llevó su caballo. Esto es 11/12=1/2 1/4 1/6.
Las maravillosas partituras egipcias finalmente movilizaron su potencial dificultad para derrotar a quienes se atrevieron a despreciarlas. Y dio respuestas embarazosas a quienes se burlaban de él.
Exploración moderna
Descubrimientos relacionados
Los matemáticos más de dos mil años después finalmente descubrieron: 2/n=1/[(n 1)/2] 1 /[(n 1)n/2]; 1/n=1/(n 1) 1/[n(n 1)]; En ese momento me desperté del sueño. Las fracciones egipcias destacan en el mundo de las matemáticas con su exuberante vitalidad, lo que hace que los matemáticos tres mil años después se sientan avergonzados. Por ejemplo, para el problema de división de caballos, ¿podemos diseñar (n-1)/n=1/x 1/y 1/z? Después de más de 2.000 años de duro trabajo, por fin se ha desvelado el secreto: hay 6 posibilidades y 7 formas de dividirlo. 7/8=1/2 1/4 1/8; 11/12=1/2 1/4 1/6=1/2 1/3 1/12; 9; 19/20=1/2 1/4 1/5; 23/24=1/2 1/3 1/8; Al principio, la gente pensó que podría haber un número infinito de situaciones de este tipo. Sin embargo, continuaron investigando pero no encontraron nada. Guan Chunhe en Heilongjiang encontró que había 43 casos de violencia sexual. así es.
Proceso de solución
Cuando el denominador se limita a un número impar, "1" se descompone en una fracción egipcia y el número de términos se limita a 9. ***Hay son 5 conjuntos de soluciones:
1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/35 1/45 1/231.
1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/21 1/135 1/10395.
1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/21 1/165 1/693.
1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/21 1/231 1/315.
1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/33 1/45 1/385.
Las cinco soluciones anteriores no se encontraron hasta 1976. Al limitar a 11 términos, se encontró 1 conjunto de soluciones y el denominador mínimo es 105. Si es mayor que 105, existen muchas soluciones.
La fracción tipo 1/n también se puede expresar como una descomposición en serie:
1/n=1/(n 1) 1/(n 1)^2 1/(n 1)^3 1/(n 1)^4 .... 1/(n 1)^k 1/n(n 1)^k.
La fracción egipcia se convierte en una estrella deslumbrante en tiempo indefinido La perla de las ecuaciones.
La conjetura más famosa sobre las fracciones egipcias es la conjetura de Erods: En 1950, Erods conjeturó que para enteros positivos n > 1,
Siempre existe:
4/n =1/x 1/y 1/z (1)
Donde, x, y, z. Todos son números enteros positivos.
Stralss conjeturó además que cuando n≥2, las soluciones x, y y z de la ecuación satisfacen x≠y, y≠z, z≠x. x〈y〈z.
En 1963, Ke Zhao, Sun Qi y Zhang Xianjue demostraron que la conjetura de Erods es equivalente a la conjetura de Stralss. Unos años más tarde, Yamanot desarrolló el resultado hasta 10 elevado a la séptima potencia. Más tarde, algunos matemáticos impulsaron los resultados, pero nunca encontraron una solución fundamental. Para 4/n=1/x 1/y 1/z, solo necesita considerar el caso donde n=p es un número primo, porque si (1) es verdadero, entonces para cualquier entero m, mlt 1, <; /p>
4/pm=1/xm 1/ym 1/zm, (2)
también es cierto.
Todos los números primos impares se pueden expresar como tipos 4R 1 y 4R 3. Para p=4R tipo 3, (ver "Unit Fraction" People's Education Press, 1962): (1) La ecuación es obvia.
En 2002, Wang Xiaoming propuso:
Si X=AB, Y=AC, Z=ABCP,
Es decir:
4 /P=1/AB 1/AC 1/ABCP (3)
Para p=4R tipo 3, la fórmula (3) es obvia.
Porque en este momento A=(p 1)/4, B=1. C=P1..
Es decir:
4 /P = { 1/ [(P 1)/4] } { 1 / [(P 1)(p 1)/4] } { 1 /[p(p 1)(p 1)/4] }. (4)
Por ejemplo: 4/7=1/2 1/16 1/112
Para p=4R escriba 1 número primo, organice la fórmula (3) en:
4ABC=PC PB 1 (5)
A = (PC PB 1)/4BC (6)
En la ecuación (6), si queremos B |(PC PB 1), necesitas hacer B|(PC 1), deja que PC 1=TB si quieres C|(PC PB 1), necesitas hacer C|(PB 1), deja que PB 1; =SC; para P= Para la forma 4R 1, si desea 4|p(C B) 1], necesita C B=4K-1. Para la forma P=4R 3, si desea 4|[P(. C B) 1], necesitas C B=4K 1. Se forma así un sistema de ecuaciones lineales indefinidas de dos variables:
-PC TB=1 (7)
SC (-P)B=1 (8)
Por ejemplo, cuando p=17, A=3, B=2, C=5, T=43, S=7, k=2.
4 /17=[1/(2×3)] [1/(3×5)] [1/(3×2×5×17 )]
Eso es 4/17=1/6 1/15 1/510.
Equivalente a la siguiente fórmula:
(-17)×5 43×2=1
7×5 (-17)×2=1
Nota: P=(4ABC-1)/(B C) (9)
Desde 4ABC-1 It. es 4R tipo 3, por lo que cuando P=4R tipo 1, B C=4K-1 tipo P=4R 3, B C=4K tipo 1; .
Porque tenemos una solución para un sistema de ecuaciones lineales indefinidas de dos variables. Según el "Diccionario de álgebra" Shanghai Education Press, 1985 (página 376): "
Sistema de ecuaciones: ax by=c
a'x b'y=c' p>
Las condiciones necesarias y suficientes para la solución pública *** (solución entera) x, y son que (ab'-a'b) no sea igual a 0, y (ab'-a'b ) | (bc'-b' c) y (ab'-a'b) | (ca'-c'a) ”
Consideramos C y B en las fórmulas (7) y (8) como x e y arriba en la fórmula (7), siempre que (P, T) = 1; hay infinitos conjuntos de soluciones enteras para B y C, siempre que (P, S) = 1, hay soluciones enteras para B y C. Según el teorema conocido (Ke Zhao, "Talk about Indefinite Equations" de Sun Qi), páginas 13 a 17, al combinar las ecuaciones lineales indefinidas de dos variables, sabemos que las ecuaciones (7) (8) deben tener soluciones enteras comunes (usando a matrices, transformaciones de módulos unitarios, etc.). Es decir, ST-P×P≠0, (ST-P×P) | (P T); ¿Por qué se dice que debe haber una solución? Mientras un número primo tenga solución, los demás números primos deben tener solución. En el ajedrez chino, el "caballo" puede saltar a todos los puntos desde el punto de partida, por lo que el caballo puede saltar a cualquier punto en cualquier punto. Porque el caballo puede retirarse desde cualquier punto hasta el punto de partida.
Aquí hay algunas soluciones para los valores de p:
--p---|---A---|---B---|----C -----|------T-----|------S-------|-------K-----|
--------------------------------------------- --- ----------------------------------|
--5-- -|-- 2----|---1----|---2------|-----11-----|----3--- ---- --|------1------|
-29--|---2----|---4---- |--- 39----|----283----|----3---------|------11-----|
-37--|---2----|---5----|--62-----|---459-----|--- -3-- -------|-------17----|
-53--|---2----|---7 ---- |--124----|---939-----|----3--------|-------33----|
-61--|---2----|---8----|--163----|---1243----|--- -3-- ------|-------43----|
-173-|--2----|----22-- |--1269 ---|--9979----|----3--------|------323----|
- ---- ---------------------------------------------- ---- ----------------------------------
Lo anterior es P= 4R 1, R es la solución para números impares, en este momento, A=2;
------------------------------------------- ----- ----------------------------------
-17-- --3-----|---2----|-----5------|----43-----|-----7- - ------|-----2-------|
-41--|--12----|---1---- |---6-------|---247----|----7---------|-----2------ - |
-41--|--6------|---3----|----4-------|---55 - ----|-----31-------|-----2-------|
-73--|---10 - ---|---2----|---21------|----767--|-----7---------|- - ---6-------|
- 97--|---17---|---2----|----5--- - ---|---243---|----39--------|-----2-------|
-113 - |--5------|---6----|---97------|--1827---|----7------ - --|----26-------|
-409-|--59-----|---2---|----13 - -----|--2659---|----63-------|----4--------|
-409 - |--22-----|---5---|-----66-----|--5399---|----31------- | -----18-----|
-409-|--11-----|---11--|----60----- | ---2231--|----75-------|-----18-----|
-- ------------------------------------------------- - --------------------
Lo anterior es la solución cuando p=4R 1 y R es un número par .
41 tiene dos conjuntos de soluciones; 409 tiene tres conjuntos de soluciones. Es decir, 4/41=1/(12×1) 1/(12×6) 1/(12×1×6×41)=1/12 1/72 1/2952
4/ 41=1/(6×3) 1/(6×4) 1/(6×3×4×41)=1/18 1/24 1/2952.
-41×6 247×1=1
7×6 (-41)×1=1
Y el segundo conjunto de soluciones;
-41×4 55×3=1
31×4 (-41×3)=1
La ecuación (2) es válida para todos los valores de p Solución , pero no todas las soluciones. (Por ejemplo, 4/41 tiene 7 conjuntos de soluciones, pero la ecuación (2) solo verifica la solución formal de 4/p=1/AB 1/AC 1/ABCP
. Tenga en cuenta que la diferencia entre la solución universal y todas las soluciones Diferencia.
En la década de 1970, la gente propuso la situación 5/P Todos los números primos P se pueden expresar en la forma 5R 1;
Para la forma P= 5R 4, 5/(5R 4)=1/(R 1) 1/[(5R 4)(R 1)]
Cualquiera de ellos: 1/N=1/（N 1） 1/[N（N 1）].
Por ejemplo, 5/9=1/2 1/18, y 1/2=1/3 1/6 o 1/18=1/19 1/(18×19).
Para la forma P=5R 3, 5/(5R 3)=1/(R 1) 2/[(5R 3)(R 1)]
Cualquiera de ellos : 2/N=1/[（N 1）/2] 1/[N（N 1）/2]
Por ejemplo, 5/13=1/3 2/39, y 2/ 39= 1/[(39 1)/2] 1/[39×(39 1)/2].
Para la forma P=5R 2, 5/(5R 2)=1/(R 1) 3/[(5R 2)(R 1)]
R debe ser un número impar, (R 1) debe ser un número par.
Y: 3/[(5R 2)(R 1)]=1/[(5R 2)(R 1)] 1/[(5R 2)(R 1)/2]
Por ejemplo, 5/37=1/8 3/(37×8) y 3/(37×8)=1/(37×8) 1/(37×4);
Para la forma P=5R 1,
Supongamos 5/P=1/AB 1/AC 1/ABCP (8).
5ABC=PC PB 1 (9)
A= (PC PB 1)/5BC (10).
También se puede organizar en las fórmulas (6) y (7), que también tienen soluciones. B C=forma 5K-1.
Las siguientes son algunas soluciones para p=5R números primos de 1 forma.
5/11=1/3 1/9 1/99, A=3, B=1, C=3, T=34, S=4;
5/ 31=1/7 1/56 1/1736, A=7, B=1, C=8, T=248, S=4;
5/41=1/9 1/93 1 /11439, A=3, B=3, C=31, T=424, S=4;
5/61=1/14 1/95 1/81130, A=1, B= 14, C=95, T=414, S=9;
5/71=1/15 1/267 1/94785, A=3, B=5, C=89, T=1264 , S=4;
5/101=1/21 1/531 1/375417, A=3, B=7, C=177, T=2554, S=4;
5/131=1/27 1/885 1/1043415, A=3, B=9, C=295, T=4294, S=4;
El método es el mismo que 4/P. Se pide a los lectores que lo completen ellos mismos.
¿Por qué las ecuaciones (6) y (7) necesariamente tienen soluciones?
Dos ecuaciones lineales indefinidas conjuntas de dos variables:
a1x b1y=1
a2x b2y=1.
Condiciones suficientes para la solución Es (a1b2-a2b1)|(a1-a2); (a1b2-a2b1)|(b2-b1).
Examinamos una ecuación lineal indefinida de dos variables:
ax by=1.(14)
Según el teorema conocido, siempre que (a, b)=1, (14) tenga solución para los números enteros x, y. Y hay infinitas soluciones.
Por ejemplo, 5x-2y=1.
x y
----------------<; /p>
1, 2;
3, 7;
5, 12; 9, 22;
11, 27;
13, 32;
15, 37; p>
p>
19, 47;
.............
En otras palabras, en (14), x e y también son primos relativos. Esta es la base para que el sistema de ecuaciones simultáneas tenga una solución común. Intercambiamos a, b con x, y,
El ejemplo anterior es un ejemplo, 5x-2y=1 se reemplaza por 5a-2b=1, x=5, y=2.
3x-7y=1
17x-42y=1
Forma una ecuación lineal doble indefinida de dos variables.
5x-12y=1
19x-47y=1
7x-17y=1
Formar una ecuación lineal triple indefinida de dos variables.
La ecuación (4) se puede expresar como un número primo:
p=(4ABC-1)/(C B). Por ejemplo, cuando p=41, 41=(4x6x3x4-1)/(4 3); 8 47 ); 41=(7x1x7x36-1)/(7 36); 41=(8x6x1x6-1)/(1 6); 41= (10x1x6x13-1)/(6 13); 41=(11x1x4x55-1)/(4 55); 41=(12x4x1x6-1)/(1 6); );
41=(14x1x3x124-1)/(3 124).. No hay más cuando n=15: 41= (nABC-1)/(B C) son todos válidos.
La gente luego preguntó: si todo nlt; p/3, para cualquier número primo p:
p=(nABC-1)/(B C).
Existen tres fórmulas de números primos con variables desconocidas, que pueden calcular todos los números primos:
P=(4ABC-1)/(B C).(15).
La ecuación (15) es válida para todos los números primos de la forma p=4r 1.
Por ejemplo, 17.: 17= (4x3x2x5-1)/(2 5).
Fórmula (15): Para todos los números primos de la forma p=4r 3, A=(P 1)/4,, B=1,, C=P 1. Por ejemplo 11=(4x3x1x12-1)/(1 12)..
Para la forma de número compuesto n=4r 3. n=（4xBXC－1）/（B C）．
Por ejemplo, 51=(4x13x664-1)/(13 664). B=(P 1)/4, C=n(n 1)/4 1.
Solución algorítmica
Problema
Fracciones egipcias
En el antiguo Egipto, la gente usaba la suma de fracciones unitarias (formadas como 1/a , a es un número natural) representa todos los números racionales. Por ejemplo:
2/3=1/2 1/6, pero 2/3=1/3 1/3 no está permitido porque los sumandos tienen lo mismo. Hay muchas formas de representar una fracción a/b, pero ¿cuál es mejor?
En primer lugar, es mejor tener menos sumandos que más sumandos. En segundo lugar, si el número de sumandos es el mismo, cuanto mayor sea la fracción más pequeña, mejor. Por ejemplo:
El mejor es el último, porque 1/18 es mayor que 1/180, 1/45, 1/30 y 1/180.
Archivo de entrada
Dados dos enteros positivos a y b (0 lt; a lt; b lt; 1000), la programación calcula la mejor manera de expresar la fracción a/b.
Archivo de salida
Varios números, ordenados de menor a mayor, son los denominadores de las fracciones unitarias.
Entrada de muestra
19 45
Salida de muestra
5 6 18
código pascal (iteración Profundizar, hay mejores algoritmos)
var
temp, ans: array[1..20]of longint;
flag: boolean;
p>
objetivo: extendido;
a, b, te, maxd: longint;
función gcd(a, b: longint): int64; >
comenzar
si b=0 entonces salir(a);
salir(gcd(b, a mod b));
fin;
exit(gcd(b, a mod b));
end; p>
función lcm(a, b: longint): int64; p>var
t: longint;
comenzar
si alt; entonces
comenzar
t :=a; a:=b;b:=t;
end;
salir(a div gcd(a, b)*b); >fin;
procedimiento suma(var s1, s2: int64; m: longint);
var
t：int64; >comenzar
t：=lcm(s2,m);
si tgt ;100000 entonces
comenzar
s1:=10000 ;
s2:=1;
salir;
fin;
s1:=t div s2*s1 t div m;
s2:=t;
t:=gcd(s1,s2) ;
s1:=s1 div t;
s2:=s2 div t;
end;
procedimiento fc(s1, s2: longint);
var
i: longint;
comenzar
si (s1=a)y(s2=b ) entonces
comenzar
flag:=true;
si ans[maxd]gt;temp[maxd] entonces
ans: =temp
fin
fin; /p>
procedimiento dfs(s: extendido; s1, s2, m, i: int64
var
j: longint;
arriba, abajo, t1, t2: int64;
comenzar
si s1/ s2gt; apuntar luego salir
si maxd luego comenzar fc(s1; , s2); salir; fin;
arriba:=trunc(1/(aim-s));
si uplt;m entonces arriba:=m;
abajo:=trunc((maxd-i 1)/(aim-s)) 100;
para j：=de arriba a abajo
comenzar
temp[i]：=j；
t1：=s1；t2：=s2；
suma(t
1, t2, j);
dfs(s 1/j, t1, t2, j 1, i 1);
impresión del procedimiento;
var
i: longint;
comenzar
para i:=1 a maxd-1 hacer
write(ans[i],' ');
writeln(ans[maxd]);
end;
comenzar
fillchar(ans,sizeof(ans),$3f);
leer(a,b);
te:=gcd( a, b);
a:=a div te;
b:=b div te;
objetivo:=a/b;
maxd:=1;
flag:=false;
mientras no esté marcado,
comenzar
inc(maxd
dfs(0, 0, 1, 2, 1);
fin
imprimir
fin; /p>
Existe una solución más básica para principiantes:
var a, b, c: integer
begin
write( 'a; , b='); readln (a, b);
escribir (a, '/', b, '='); c:=b div a 1;
a:=a*c-b;
b:=b*c;
escribir('1/ ', c);
escribir(' ');
hasta (a=1) o (b mod a=0);
si (b mod a =0)y(agt; 1)
entonces escribe('1/', b div a);
si a=1 entonces escribe('1/', b) ;
readln;
end.
Desarrollo futuro
De hecho, este problema está lejos de estar resuelto. Pero se ha dado un camino a seguir.
.Las fracciones egipcias, un tema antiguo que alguna vez fue menospreciado, contiene un contenido muy rico y muchos misterios novedosos están esperando que la gente los descubra.