¿Cómo dibujar un heptágono regular usando un compás y una regla sin marcar?

Un día de 1796, en la Universidad de Göttingen en Alemania, un joven de 19 años que tenía mucho talento para las matemáticas terminó su cena y comenzó a resolver los tres problemas matemáticos diarios que le había asignado su tutor solo.

Las dos primeras preguntas se completaron con éxito en dos horas. La tercera pregunta estaba escrita en otra pequeña hoja de papel: era necesario dibujar un polígono regular de 17 lados usando sólo reglas He y una regla sin marcar.

Se sentía muy agotador. El tiempo pasó minuto a minuto y no hubo avances en la tercera pregunta. El joven se devanó los sesos, pero descubrió que todo el conocimiento matemático que había aprendido parecía no ser de ayuda para resolver este problema.

La dificultad despertó su espíritu de lucha: ¡debo lograrlo! Cogió el compás y la regla y dibujó en el papel mientras pensaba, tratando de encontrar la respuesta utilizando algunas ideas poco convencionales.

Cuando la luz apareció a través de la ventana, el joven suspiró aliviado. Finalmente completó este difícil problema.

Cuando conoció a su mentor, el joven se sintió un poco culpable y culpable. Le dijo a su tutor: "De hecho, trabajé en la tercera pregunta que me asignaste toda la noche. Fallé en tu cultivo de mí..."

El tutor echó un vistazo a la tarea del estudiante. Inmediatamente se sorprendió. Le dijo al joven con voz temblorosa: "¿Esto lo hiciste tú mismo?" El joven miró al instructor con cierta confusión y respondió: "Lo hice. Pero me llevó una noche entera".

El instructor le pidió que se sentara, sacó el compás y la regla, extendió el papel sobre el escritorio y le pidió que hiciera otro polígono regular de 17 lados frente a él.

El joven rápidamente hizo un polígono regular de 17 lados. El instructor le dijo emocionado: "¿Lo sabías? ¡Resolviste un misterio matemático que tiene una historia de más de 2000 años! Arquímedes no lo resolvió, y Newton tampoco lo resolvió. De hecho, lo resolviste en una noche". ." ¡Eres un auténtico genio!"

Resulta que el instructor siempre ha querido solucionar este problema. Ese día le entregó la nota con esta pregunta al estudiante por un error.

Siempre que este joven recordaba esta escena, siempre decía: “Si alguien me hubiera dicho que se trataba de un problema matemático con una historia de más de 2.000 años, tal vez nunca tendría la confianza para resolverlo. Sal."

Este joven es Gauss, el príncipe de las matemáticas.

Gauss lo resolvió utilizando métodos algebraicos. También lo consideró como el trabajo orgulloso de su vida. También confesó que grabaría el heptágono regular en su lápida, pero luego no fue inscrito en su lápida. En lugar de una estrella de diecisiete puntas, el escultor responsable de grabar la estela creía que el heptágono regular se parecía demasiado a un círculo y que la gente no sería capaz de distinguirlos.

Acerca del método de dibujo del heptadágono regular (idea de Gauss, no pretendía plagiar ^_^):

Hay un teorema que debe usarse aquí:

Si los segmentos de recta con longitudes |a| y |b| se pueden hacer geométricamente, entonces un segmento de recta con longitud |c| también se puede hacer geométricamente,

donde c es las raíces reales de la ecuación x^2 ax b=0.

El teorema anterior es en realidad hacer un segmento de línea con una longitud de sqrt(a^2-4b) cuando hay longitudes de segmento de línea |a y |b|.

(Todos pueden dibujar este paso, ¿verdad?)

Para hacer un heptágono regular en un círculo unitario, lo principal es hacer una longitud de línea cos(2pai/17 ). segmento.

A continuación daré la prueba gaussiana de que se puede producir cos(2pai/17) y también daré el método específico.

Supongamos que a=2[cos(2pai/17) cos(4pai/17) cos(8pai/17) cos(16pai/17)]gt

a1=2; [cos(6pai/17) cos(10pai/17) cos(12pai/17) cos(14pai/17)]lt 0

Entonces hay a1=-1, a*a1=- 4, es decir, a y a1 son las raíces de la ecuación x^2 x-4=0, por lo que se pueden formar segmentos de recta con longitudes |a y |a1|.

Sea b=2[cos(2pai/17) cos(8pai/17)]gt 0 b1=2[cos(4pai/17) cos(16pai/17)]lt; p>

p>

c=2[cos(6pai/17) cos(10pai/17)]gt 0 c1=2[cos(12pai/17) cos(14pai/17)]lt;

Entonces hay b b1=a b*b1=-1 c c1=a1 c*c1=-1

De manera similar, las longitudes son |b|, |b1|, | c|, |c1| Se pueden hacer segmentos de línea.

Hay 2cos(2pai/17) 2cos(8pai/17)=b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c

Esto De esta manera, 2cos(2pai/17) es la raíz real más grande de la ecuación x^2-bx c=0,

Obviamente también se puede hacer, y el método de dibujo se ha dado arriba