Cómo usar matlab para resolver la ecuación de Schrödinger estacionaria
Resumen: Este artículo realiza primero una breve introducción a la propuesta y desarrollo de la ecuación de Schrödinger. Luego, tomando como ejemplo el sistema de resonadores compuestos por partículas que se mueven en un espacio unidimensional, se introduce en detalle el proceso de resolución de la ecuación de Schrödinger y la derivación de la fórmula por el método matricial. Finalmente, los resultados de la solución se realizaron mediante simulación de programación en MATLAB.
Palabras clave: Método matricial para resolver la ecuación de Schrödinger estacionaria
Simulación MATLAB
Introducción a la ecuación de Schrödinger
1.1 Información general
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La ecuación de Schrödinger es una ecuación básica en la mecánica cuántica propuesta por el físico austriaco Schrödinger. Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden establecida combinando el concepto de ondas de materia y la ecuación de ondas. partículas microscópicas. Cada sistema microscópico tiene una ecuación de Schrödinger correspondiente. Al resolver la ecuación, se puede obtener la forma específica de la función de onda y la energía correspondiente, comprendiendo así las propiedades del sistema microscópico. Sólo se aplica a partículas no relativistas con velocidades modestas y no incluye una descripción del giro de las partículas. Cuando se tienen en cuenta los efectos relativistas, la ecuación de Schrödinger se reemplaza por las ecuaciones de la mecánica cuántica relativista, que naturalmente incluyen el espín de la partícula.
La ecuación de Schrödinger se estableció en 1926.
Es una ecuación de onda no relativista. Refleja la ley que describe el cambio de estado de las partículas microscópicas a lo largo del tiempo. Su estatus en la mecánica cuántica es equivalente a la ley de Newton en la mecánica clásica y es uno de los supuestos básicos de la mecánica cuántica. Supongamos que la función de onda que describe el estado de las partículas microscópicas es Ψ (r, t), y la ecuación de Schrödinger para partículas microscópicas con masa m que se mueven en el campo potencial V (r, t) es
Dada condiciones iniciales y bajo las condiciones de contorno y las condiciones de un solo valor, finitas y continuas que satisface la función de onda, la función de onda Ψ (r, t) se puede resolver. A partir de esto se puede calcular la probabilidad de distribución de las partículas y la media (valor esperado) de cualquier experimento posible. Cuando la función potencial V no depende del tiempo t, la partícula tiene cierta energía y el estado de la partícula se denomina estado estacionario. La función de onda en estado estacionario se puede escribir como donde Ψ (r) se llama función de onda en estado estacionario y satisface la ecuación de Schrödinger en estado estacionario. Esta ecuación se llama ecuación propia en matemáticas. E es el valor propio en la fórmula, que es. el estado estacionario Energía, Ψ(r) también se llama función propia perteneciente al valor propio E.
Resolver problemas de partículas en mecánica cuántica a menudo se reduce a resolver la ecuación de Schrödinger o la ecuación de Schrödinger estacionaria. La ecuación de Schrödinger revela las leyes básicas del movimiento de los materiales en el mundo microfísico y se usa ampliamente en física atómica, física nuclear y física del estado sólido. Los resultados de la resolución de una serie de problemas como átomos, moléculas, núcleos y sólidos coinciden. con la realidad.
Forma del sistema de coordenadas cartesiano de la ecuación de Schrödinger estacionaria
Forma del sistema de coordenadas esféricas de la ecuación de Schrödinger estacionaria
1.2 Ecuación de Schrödinger estacionaria
Condiciones
V(r,t)=V(r), no tiene nada que ver con t.
Usa el método de separación de variables,
Sea Ψ=φ(r)f(t), sustitúyelo en la ecuación de Schrödinger y obtén dos ecuaciones:
Esto se llama ecuación de Schrödinger de estado definido
La forma completa de la función de onda de estado estacionario:
Características:
La función de onda consiste en la función de la parte espacial multiplicado por la función de la parte del tiempo;
B. La parte temporal de la función es determinista.
La densidad de probabilidad W de la función de onda estacionaria no tiene nada que ver con t, y la distribución de probabilidad no cambia con el tiempo, por lo que se llama estado estacionario.
1.3 Ecuaciones propias, funciones propias y valores propios
Operador: Ecuación propia:
λ: valores propios, hay múltiples, Incluso infinitos
ψλ: Hay múltiples funciones propias con valor propio λ, incluso infinitas. A veces, un valor propio corresponde a varias funciones propias diferentes, lo que se denomina función propia simplificada. Si el número de funciones propias diferentes correspondientes a un valor propio es N, se denomina degeneración N veces.
1.4
Solución general de la ecuación de Schrödinger en estado estacionario
1. La ecuación de Schrödinger en estado estacionario o ecuación de Schrödinger sin tiempo es una ecuación intrínseca de energía. , E se llama valor propio de energía del sistema y la solución correspondiente se llama función propia de energía.
2. Cuando no hay inclusión explícita, la energía del sistema es una constante, y se puede utilizar la variable de separación.
3. La clave para resolver la ecuación de Schrödinger estacionaria es escribir el operador hamiltoniano.
2.
Usa el método matricial para resolver la ecuación de Schrödinger
Toma como ejemplo el sistema de osciladores armónicos compuestos por partículas que se mueven en un espacio unidimensional. .
La energía potencial de la partícula es , que es la frecuencia angular del resonador, por lo que el hamiltoniano del resonador es
En ese momento, la energía potencial del resonador se vuelve infinita , por lo que la partícula solo puede moverse en un espacio limitado y el espectro de valores energéticos es discreto. El método matricial se utiliza a continuación para determinar los valores discretos de energía del resonador.
A partir de la ecuación de movimiento
(1)
La energía potencial se sustituye
en la ecuación anterior (1) obtener
Es decir (2)
En forma matricial, esta ecuación se puede escribir como
Elemento de matriz de coordenadas que contiene tiempo
(3)
Derivación del mismo, obtenemos
Después de sustituir en la fórmula anterior, tenemos
(4)
Entre ellos
(5 )
Entonces, excepto cuando o , todos los elementos de la matriz de coordenadas son iguales a cero
En ese momento, la fórmula (5) tiene
De manera similar,
p>
Por lo tanto, la frecuencia solo se puede obtener cuando cambia
Entonces el elemento de la matriz de coordenadas que no es cero es
Según la definición [12-14]
Para la función de onda existente, debe ser un número real, y todos los elementos de la matriz también deben ser números reales, lo cual se obtiene mediante las propiedades del operador hermitiano
Para calcular los elementos de la matriz de las coordenadas, la relación de conmutación
Es fácil de obtener sustituyendo en la fórmula anterior
Escrito en forma matricial, tenemos
De acuerdo con las reglas de multiplicación de matrices, tenemos
Y luego tenemos del análisis anterior Se sabe que los elementos de la matriz solo existen cuando p>
Es decir,
y
y así sucesivamente, obtenemos
Finalmente, obtenemos la expresión de que el elemento de la matriz de coordenadas no es cero
La energía del oscilador armónico se puede expresar y la energía se calcula como
Entre ellos, para la suma de todos los unos, el elemento de la matriz de coordenadas no es cero solo cuando se usa el parámetro, por lo que obtenemos
p>Es decir,
Por lo tanto, el nivel de energía del resonador es el intervalo y el nivel de energía más bajo es
Resultados de la simulación MATLAB
El frente del resonador lineal Seis funciones propias
La figura anterior muestra las primeras seis funciones propias de un resonador lineal. El eje vertical y las líneas horizontales en la figura representan. el rango de vibración de un resonador lineal clásico con la misma energía.
Las primeras seis funciones propias del pozo de potencial cuadrado finito
La figura anterior muestra las primeras seis funciones propias del pozo de potencial cuadrado finito. El eje vertical y las líneas horizontales de la figura representan. primeras seis funciones propias del pozo de potencial cuadrado finito El rango de vibración de un resonador lineal clásico.