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Sea f(x)=e^x -x, x>=0

Entonces f'(x)=e^x-1, cuando x>0, f' (x)>0 aumenta monótonamente

Y f(0)=0, entonces cuando x>0, f(x)>0, es decir, e^x-x>0

x< e^x, toma el recíproco de ambos lados al mismo tiempo: 1/x >1/e^x

Entonces queda: lnx+3/(4x^2)-1/ (e^x)>lnx+3 /(4x^2)-1/x

Sea g(x)=lnx+3/(4x^2)-1/x,x>0

Sea g' (x)=1/x-3/2x^2+1/x^2=(2x-1)/2x^2=0, la solución es x=1

Hay 01, g'(x)>0

Entonces g(x) obtiene el valor mínimo en x=1/2

g(1/2)=-ln2+3-2=1-ln2=lne-ln2>0

Es decir, g(x)> 0

Entonces lnx+3/( 4x^2)-1/(e^x)>g(x)>0

La desigualdad original está demostrada