Problema de lanzamiento de misiles (modelado matemático)
Problema del lanzamiento de misiles (Pregunta B)
Resumen
El artículo analiza la trayectoria de los misiles que rastrean aviones enemigos y lanzan misiles aire-aire tipo I. para destruir aviones enemigos La condición para establecer un modelo de ecuación diferencial es una ecuación de segundo orden, que se transforma en una ecuación de primer orden mediante el método de reducción de orden y luego se resuelve mediante el método de separación de variables. Se obtiene la expresión de la ecuación requerida y, por tanto, se obtiene la ecuación de la trayectoria del misil que sigue al avión enemigo. Analizando la ecuación de la trayectoria en condiciones de velocidad diferentes dadas, se obtienen las condiciones para lanzar el misil aire-aire Tipo I para destruir al enemigo. Se obtienen aviones. A través del proceso de establecimiento y solución del modelo, podemos concluir que la trayectoria del misil que rastrea al avión enemigo se puede dividir en tres situaciones:
Si, obtenemos
2. el avión enemigo en este momento
3 Si,, el misil no puede alcanzar el avión enemigo en este momento
Cuando la velocidad de vuelo del avión enemigo v = Mach 1, es posición N = 100 kilómetros, la velocidad del misil de seguimiento u = Mach 2 Contando las horas (1 número de Mach = 1224 kilómetros por hora, 1 kilómetro = 1 kilómetro), el tiempo en que el avión enemigo fue alcanzado fue de 66,67 horas, y el lugar donde El avión enemigo fue destruido en ese momento estaba a 66,67 kilómetros del lugar por donde escapó el avión enemigo.
Al construir un modelo, descubra la relación entre la función conocida y la función desconocida en el problema de investigación, y encuentre la función desconocida a partir de una o varias ecuaciones enumeradas que contengan la expresión desconocida. Con base en las propiedades tangentes de la curva, enumeramos las ecuaciones diferenciales ordinarias y encontramos la expresión de la solución general, de la cual podemos obtener fácilmente la solución especial requerida para el problema. La expresión de la solución general también se puede utilizar para comprender la dependencia de ciertos parámetros, de modo que los valores de los parámetros se puedan seleccionar adecuadamente para que la solución correspondiente tenga el rendimiento requerido, y también puede ser útil para otras investigaciones sobre la solución.
La idea principal es idealizar ambos objetos en partículas a través del modelo y transformar el problema en un problema plano. De acuerdo con las reglas correspondientes, se enumeran ecuaciones diferenciales ordinarias y los problemas complejos se transforman en soluciones de ecuaciones diferenciales. . forma. Para obtener las condiciones para lanzar misiles aire-aire Tipo I para destruir aviones enemigos, discutimos la velocidad de los aviones y misiles enemigos, los factores más importantes que afectan la solución de la ecuación diferencial, para resolver el problema.
Palabras clave: propiedades tangentes de curvas, modelos de ecuaciones diferenciales, método de separación de variables, método de orden reducido
1. Replanteo del problema:
Mi defensa aérea. comando El radar del cuartel general detectó un avión de origen desconocido. Después del análisis y la confirmación de que era un avión enemigo, ordenamos a nuestros aviones de combate que patrullaban a la misma altitud sobre el cuartel general que lanzaran misiles de seguimiento aire-aire Tipo I para destruirlo. (El misil de seguimiento puede ajustar automáticamente la dirección de seguimiento en cualquier momento contra el objetivo). Supongamos que cuando el radar detecta el avión enemigo, el avión está ubicado a una altitud de N kilómetros al este de nuestro cuartel general de defensa aérea, y quiere huir a la misma altitud a la zona segura ubicada a M kilómetros al norte del mismo (debido a Por efecto de la interferencia electrónica, el avión enemigo. Una vez que entre en la zona segura, el misil perderá su objetivo de seguimiento y no podrá ser destruido). Bajo los supuestos apropiados, determine la trayectoria del misil que sigue al avión enemigo y las condiciones para lanzar el misil aire-aire Tipo I para destruir el avión enemigo.
Cuando se le da la velocidad de vuelo del avión enemigo v, su posición N y la velocidad del misil de seguimiento u, calcule el momento en que el avión enemigo fue alcanzado y la ubicación donde el avión enemigo fue destruido en ese momento.
2. Supuestos del modelo:
2.1 El problema del seguimiento de misiles de aviones enemigos se establece mediante un sistema de coordenadas bidimensional.
Porque nuestros aviones de combate están a la misma altura que el avión enemigo, y el tamaño del misil y el avión enemigo es mucho menor que su rango de movimiento, por lo que se consideran dos puntos de masa en el mismo plano y se establece el sistema de coordenadas rectangular xoy.
2.2 La relación entre la trayectoria de seguimiento del misil y la intercepción de aviones enemigos
Debido a que el misil puede ajustar automáticamente la dirección de seguimiento en cualquier momento contra el objetivo, un punto en la trayectoria del misil es el Lo mismo que un punto en la trayectoria del avión enemigo. La línea que conecta estos dos puntos es tangente a la trayectoria del misil, y debido a que es necesario escapar a la zona segura en el menor tiempo, se puede suponer que la trayectoria del misil. El avión enemigo es una línea recta. Establezca expresiones de relaciones funcionales basadas en relaciones geométricas y utilice el cálculo diferencial e integral para resolver la ecuación de trayectoria del misil que sigue al avión enemigo.
3. Establecimiento del modelo:
Supongamos que la posición del avión de patrulla directamente encima del puesto de mando es el punto (0, 0), la dirección positiva del eje x es hacia el este, y la dirección positiva del eje y es hacia el este, la trayectoria de movimiento del avión enemigo es una línea recta x=N, y el tiempo comienza cuando el avión de patrulla comienza a lanzar misiles. (el avión enemigo está en el punto (N, 0) en este momento).
Parámetros introducidos: la velocidad del misil es el número Mach u, la velocidad del avión enemigo es el número Mach v y el tiempo es t horas. Supongamos que después del tiempo t, el avión enemigo está en el punto R y el misil está en el punto D. En este momento, la línea recta RD es tangente a la trayectoria del misil y el punto tangente es D. Si el misil intercepta con éxito el avión enemigo, la intersección de la curva de la trayectoria del misil y la línea recta x=N está directamente debajo del punto (N, M).
Analizar las funciones de xey dadas diferentes condiciones de velocidad. La discusión se divide en tres casos: v
4. Solución al modelo:
Supongamos que el tiempo transcurrido desde que descubrimos el avión enemigo, el avión enemigo llega a R (N, ), el misil llega a D. (, ), DR Es tangente a la trayectoria del misil y se obtiene de la relación geométrica:
(1)
Para la eliminación, la ecuación diferencial de (1) es obtenido por (2)
Sustituyendo, es el desplazamiento del misil
(3)
Combinando las ecuaciones (1) y (2), la ecuación diferencial de la trayectoria del misil se obtiene
, (4)
Sea, , luego (5)
Integre ambos extremos de la ecuación (5) y use la ecuación inicial condiciones: , obtenemos
, (6)
Se debe determinar con más detalle qué tipo de función se requiere
1 Si, , integra la ecuación (6). , obtenemos
En ese momento, obtenemos el momento en que el misil impacta en el avión enemigo. El desplazamiento recorrido por la máquina es
El tiempo que tarda es
Obviamente no podemos tomar N, en este momento el misil no puede alcanzar el avión enemigo
3. el misil no puede alcanzar el avión enemigo en este momento
5. Análisis e inspección de resultados:
Este modelo transforma el problema en un problema de plano cuadrático, haciéndolo simple y claro. Utiliza relaciones geométricas (las propiedades tangentes de las curvas) para enumerar ecuaciones diferenciales ordinarias y utiliza cálculo diferencial e integral para resolver las ecuaciones, lo que simplifica el proceso de cálculo y obtiene rápida y cómodamente el resultado deseado.
También hay deficiencias en el modelo. Para facilitar el establecimiento del modelo y la solución del problema, ignoramos la masa del misil. Por lo tanto, en problemas reales, el misil debe ser. lanzado hacia arriba en un cierto ángulo con el plano horizontal de emisión. Durante el movimiento de misiles y aviones enemigos, también ignoramos el impacto de la velocidad y dirección del viento en sus trayectorias. Por tanto, existen ciertos errores entre los datos obtenidos y los datos reales.
Este modelo es muy práctico y también puede utilizarse para otros problemas de persecución, como patrullas marítimas persiguiendo a buques de carga de contrabando, etc.
6. Evaluación del modelo:
Enumeramos las ecuaciones diferenciales ordinarias según las leyes correspondientes. Transformar problemas complejos en forma de soluciones a ecuaciones diferenciales A partir de la expresión de la solución general, podemos entender la dependencia de ciertos parámetros, de modo que los parámetros puedan valorarse adecuadamente, de modo que la solución correspondiente tenga el rendimiento requerido, y También es útil para otros estudios sobre soluciones.
Hoy en día, las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen aplicaciones importantes en muchas áreas temáticas, como el control automático, el diseño de diversos dispositivos electrónicos, el cálculo de balística, la investigación sobre la estabilidad de vuelo de aviones y misiles y los procesos de reacción química. Estudios de estabilidad, etc. Estos problemas pueden reducirse a encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias o a estudiar las propiedades de las soluciones.
7. Referencias
El problema de los dos cuerpos de Newton: el movimiento de un solo planeta bajo la influencia de la gravedad del sol. Idealizó ambos objetos en puntos de partículas y obtuvo tres ecuaciones de segundo orden de tres funciones desconocidas. Cálculos simples demostraron que el problema se puede transformar en un problema plano, es decir, dos ecuaciones diferenciales de segundo orden de dos funciones desconocidas.
La geometría diferencial toma como objeto de investigación las curvas (superficies) suaves, por lo que toda la geometría diferencial se desarrolla a partir de conceptos como la longitud del arco de la curva y la recta tangente en un punto de la curva.
Dado que la geometría diferencial estudia las propiedades relevantes de las curvas generales y las superficies generales, la curvatura de una curva plana en un punto y la curvatura de una curva espacial en un punto son discusiones importantes en geometría diferencial, y es necesario calcular la curvatura de cada una. punto en una curva o superficie requiere el uso de métodos diferenciales.