Como se muestra en la Figura 1, la longitud del lado del hexágono regular ABCDEF es a, y P es un punto que se mueve en el lado BC. A través de P, PM∥AB cruza a AF en M y PN∥CD cruza a DE en N. . (1)①∠MPN
(1) ①∵ Hexágono ABCDEF es un hexágono regular,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°
También ∴PM∥AB, PN∥CD,
∴∠BPM=60°, ∠NPC=60°,
∴∠MPN=180°- ∠BPM -∠NPC=180°-60°-60°=60°,
Entonces la respuesta es 60°.
②Como se muestra en la Figura 1, sea AG⊥MP la intersección de MP en el punto G, BH⊥MP en el punto H, CL⊥PN en el punto L, DK⊥PN en el punto K,
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
En el hexágono regular ABCDEF, PM∥AB es PN∥CD,
∵∠AMG=∠ BPH =∠CPL=∠DNK=60°,
∴GM=12AM, HP=12BP, PL=12PC, NK=12ND,
∵AM=BP, PC=DN,
∴MG+HP+PL+KN=a, GH=LK=a,
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a ．
(2) Como se muestra en la Figura 2, conecte OE,
∵ El hexágono ABCDEF es un hexágono regular, AB∥MP, PN∥DC,
∴ AM=BP=EN,
∵∠MAO=∠OEN=60°, OA=OE,
En △ONE y △OMA,
OA ＝ OE∠MAO＝∠OENAM＝ES
∴△OMA≌△ONE (SAS)
∴OM=ON．
(3) Como se muestra en la Figura 3, conecte OE,
Desde (2), △OMA≌△ONE
∴∠MOA=∠EON,
∵EF∥AO, AF∥OE,
∴ El cuadrilátero AOEF es un paralelogramo,
∴∠AFE=∠AOE=120°,
∴∠MON=120°,
∴∠GON=60°,
∵∠GOE=60°-∠EON, ∠DON=60°-∠EON ,
∴∠GOE=∠DON,
∵OD=OE, ∠ODN=∠OEG,
En △GOE y ∠DON,
∠GOE＝∠DONOE＝OD∠ODN＝∠OEG
∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴ON=OG，
También ∵∠GON=60°,
∴△ONG es un triángulo equilátero,
∴ON=NG,
También ∵OM=ON, ∠MOG=60°,
∴△MOG es un triángulo equilátero,
∴MG=GO=MO,
∴MO=ON=NG=MG ,
∴El cuadrilátero MONG es un rombo.