Ayúdame a resumir el conocimiento de las funciones. Mucho antes de que se propusiera claramente el concepto de función, los matemáticos ya habían entrado en contacto y estudiado muchas funciones específicas, como funciones logarítmicas, funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, etc. Descartes ya había notado la dependencia de una variable de otra en su Geometría analítica alrededor de 1673, pero no se dio cuenta en ese momento de la necesidad de refinar el concepto general de función. Por lo tanto, no fue hasta que Newton y Leibniz establecieron el cálculo a finales del siglo XVII que los matemáticos descubrieron el significado general de las funciones. En 1673, Leibniz usó por primera vez la palabra función para representar "potencia", y luego la usó para representar las cantidades geométricas de cada punto de la curva, como la abscisa, la ordenada, la longitud de la tangente, etc. Se puede ver que el significado matemático original de la palabra función es bastante amplio y vago. Casi al mismo tiempo, Newton utilizó otro término, "flujo", para referirse a la relación entre variables en sus discusiones sobre cálculo. No fue hasta 1689 que el matemático suizo Johann Bernoulli definió claramente el concepto de función basándose en el concepto de función de Leibniz. Bernoulli llamó a la cantidad formada por una variable X y una constante de cualquier forma "función de X", expresada como YX. En ese momento, dado que las operaciones que conectaban variables y constantes eran principalmente operaciones aritméticas, operaciones trigonométricas, operaciones exponenciales y operaciones logarítmicas, Euler simplemente nombró la fórmula formada al conectar la variable Dividida en "funciones algebraicas" y "funciones trascendentales". A mediados del siglo XVIII, debido a sus investigaciones sobre la vibración de las cuerdas, D'Alembert y Euler introdujeron el concepto de "función arbitraria". Cuando d'Alembert explicó el concepto de "función arbitraria", dijo que significaba "expresión analítica arbitraria", mientras que Euler creía que era "curva trazada arbitrariamente". Ahora parece que se trata de expresiones de funciones y una extensión del concepto de funciones. (3) El concepto de función carece de una definición científica, lo que genera marcadas contradicciones entre la teoría y la práctica. Como ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, la falta de una definición científica de la función limita en gran medida el establecimiento de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. De 1833 a 1834, Gauss comenzó a centrar su atención en la física. En el proceso de cooperación con W. Wilbur para inventar el telégrafo, realizó una gran cantidad de experimentos magnéticos y propuso la importante teoría de que "la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia", haciendo de la función una rama independiente de las matemáticas. Las necesidades prácticas impulsan a las personas a estudiar más a fondo la definición de funciones. Más tarde, la gente dio esta definición: si una cantidad depende de otra cantidad, y cuando esta última cambia, la primera cantidad también cambia, entonces la primera cantidad se llama función de la segunda cantidad. "Aunque esta definición aún no ha revelado la esencia de la función, ha inyectado cambios y movimiento en la definición de función, lo cual es un progreso bienvenido en la historia del desarrollo del concepto de función", dijo el matemático francés Fourier. quien tuvo mayor influencia en su obra fue . Fourier reveló profundamente la naturaleza de las funciones y creía que las funciones no necesitan limitarse a expresiones analíticas. En 1822, dijo en su famoso libro "La teoría analítica del calor", "En general, una función representa un conjunto conexo de valores u ordenadas, cada una de las cuales es arbitraria... No asumimos que estas ordenadas obedecen a * leyes iguales constantes; son contiguas en todos los aspectos." En este libro, expresó una función dada por una "línea" discontinua en forma de suma de series trigonométricas. Más precisamente, cualquier función con un período de 2π se puede representar mediante una función trigonométrica en el intervalo [-π, π]. La investigación de Fourriere sacudió fundamentalmente las viejas ideas tradicionales sobre el concepto de funciones que existían en matemáticas en ese momento. No hay una brecha insalvable entre expresiones analíticas y curvas. Las series conectan expresiones analíticas y curvas, y la idea de que las funciones son expresiones analíticas se convierte en última instancia en un gran obstáculo para revelar las relaciones entre funciones. A través de un debate surgió la definición de función de Lobachevsky y Dirichlet. En 19438+0834, el matemático ruso Lobachevsky propuso la definición de función: "La función de x es un número que tiene un valor definido para cada x. Cambia con x, y el valor de la función puede darse mediante una expresión analítica o una condición , proporciona una manera de encontrar todos los valores correspondientes. Esta dependencia de la función puede existir, pero aún no se conoce.
"Esta definición establece la correspondencia entre variables y funciones, lo cual es un desarrollo importante en el concepto de función, porque la "correspondencia" es el atributo esencial y parte central del concepto de función 5438+0837. El matemático alemán Dirichlet cree que la relación entre X e Y No importa cómo se establezca, por lo que su definición es: "Si para cada valor de X, Y siempre tiene un valor completamente cierto correspondiente, entonces Y es una función de Digamos que es una función ( Función de Dirichlet): f (x) = 1(. 0 (x es un número irracional). En esta función, si el valor de X aumenta gradualmente desde 0, f(x) cambiará repentinamente de 0 a 1. No importa cómo Si el intervalo es pequeño, f (x) cambiará repentinamente infinitamente de 0 a 1, por lo que es difícil expresarlo con una o varias fórmulas, e incluso si se puede encontrar la expresión es un problema) también es una función de Dirichlet. La definición de función evita todas las descripciones de dependencia en definiciones de funciones anteriores y es aceptada incondicionalmente por todos los matemáticos. En este punto, se puede decir que el concepto de función y la definición esencial de función se han definido, como suele decir la gente. (4) El mayor desarrollo de la práctica industrial y los experimentos científicos provocó nuevas contradicciones agudas en el concepto de funciones. En la década de 1920, la gente comenzó a estudiar los fenómenos microfísicos. En 1930, surgió la mecánica cuántica. Se necesita una nueva función en la mecánica. función delta, es decir, ρ (x) = 0, x ≠ 0, ∞, x = 0. La aparición de la función delta provocó un acalorado debate Según la definición original de la función, la variable independiente es. Es inimaginable tener una función con un punto distinto de cero, pero su valor entero no es igual a cero. Sin embargo, la función delta es de hecho una abstracción del modelo real. Por ejemplo, cuando los automóviles y los trenes pasan por un puente, naturalmente. Ejerza presión sobre el puente. Solo hay un punto de contacto entre las ruedas del vehículo y la plataforma del puente. Suponga que la presión del vehículo sobre la vía y la plataforma del puente es una unidad. En este momento, la presión en el punto de contacto x =. 0 es P(0)=presión/superficie de contacto=1/0. =∞. En otro punto x≠0, no hay presión porque no hay presión, es decir, P(x)=0. Sabemos que la integral de la función de presión es igual a la presión, lo que significa que el concepto de función se desarrolla activamente en tales condiciones históricas. Se dice que una función se define en el conjunto M, denotado como y=f(x). El elemento X se llama variable independiente y el elemento Y se llama variable dependiente. Es una palabra, pero este es un desarrollo conceptual importante y un punto de inflexión importante en el desarrollo de las matemáticas. signo de este punto de inflexión. Estudia la definición de relaciones funcionales en conjuntos generales y ha sido refinada y refinada durante más de 200 años. La transformación ha formado la definición de función en el sentido moderno, que debe decirse que es bastante completa. Sin embargo, el desarrollo de las matemáticas es interminable y la formación de la definición moderna de función no significa el final de la historia del desarrollo del concepto de función en los últimos veinte años. En los últimos años, los matemáticos han atribuido funciones. a un concepto más amplio: "relaciones". Supongamos un conjunto X, Y, y definimos el conjunto producto X×Y de X e Y como X×Y = {(x, y | . El subconjunto R del conjunto de productos x × y se denomina relación entre xey. Si (x, y)∈R, se denomina relación entre xey, denotada como xRy. Entonces F se llama función de De todo el proceso de desarrollo del concepto de función antes mencionado, nos damos cuenta de lo importante que es investigar, explorar y ampliar las connotaciones de los conceptos matemáticos en conexión con la realidad y una gran cantidad de materiales matemáticos. Las funciones trigonométricas son una clase de funciones que son funciones trascendentales entre las funciones elementales en matemáticas. Su esencia es un mapeo entre un conjunto de ángulos arbitrarios y un conjunto de variables de razón. Por lo general, las funciones trigonométricas se definen en un sistema de coordenadas plano rectangular y su dominio es el dominio de los números reales completos. Otra definición está en un triángulo rectángulo, pero está incompleta. Las matemáticas modernas los describen como los límites de secuencias infinitas y soluciones de ecuaciones diferenciales, y extienden su definición a sistemas numéricos complejos. Debido a la periodicidad de las funciones trigonométricas, no tiene una función inversa en el sentido de una función univaluada. Las funciones trigonométricas tienen aplicaciones importantes en números complejos. Las funciones trigonométricas también son una herramienta común en física. Contenido elemental básico Tiene seis funciones básicas (expresiones básicas elementales): Nombre de la función seno coseno tangente cotangente línea cotangente