Cómo entender la función gamma en lenguaje sencillo

Cómo entender la función gamma en un lenguaje fácil de entender, de la siguiente manera:

¿Por qué debemos prestar atención a la distribución gamma?

Muchas distribuciones de probabilidad se definen utilizando la función gamma, como la distribución gamma, la distribución beta, la distribución de Dirichler, la distribución de rangos cuadrados y la distribución t de Student. La función gamma es probablemente una de las funciones más utilizadas entre los científicos de datos, los ingenieros de aprendizaje automático y los investigadores, ya que se ha utilizado en muchas distribuciones.

Estas distribuciones se pueden utilizar para inferencia bayesiana, procesos estocásticos (como modelos de colas), modelos estadísticos generativos (como distribuciones latentes de Dirichlet) e inferencia mutacional. Entonces, si comprende bien las funciones de Garmma, comprenderá mejor las muchas aplicaciones en las que ocurren.

1. ¿Por qué se necesita la función gamma?

¡Porque queremos potenciar el factorial!

La función factorial solo está definida para puntos discretos (enteros positivos - los puntos negros en la imagen de arriba), pero queremos conectar los puntos negros. Queremos extender la función factorial a todos los números complejos. La fórmula simple para factorial x!=1*2...x no se puede usar directamente para valores decimales porque solo funciona cuando x es un número entero. Por lo tanto, los matemáticos han estado buscando..."¿Qué función puede conectar suavemente estos puntos y dar el factorial de todos los valores reales?

Sin embargo, no pueden encontrar una que pueda expresar combinaciones *infinitas* de sumas, productos, potencias, exponentes o logaritmos de x! Hasta... números reales

2. Euler descubrió la función gamma (siglo XVIII) >

La ecuación anterior se utiliza para encontrar. el valor de la función gamma para cualquier número real z. ¿Cómo resolver la integral anterior? ¿Puedes calcular Γ(4.8) manualmente?

Si encuentras un método interesante, ¡házmelo saber! Me parece (y a muchos otros) que no existe una forma rápida y sencilla de evaluar manualmente la función gamma fraccionaria. Entonces no es necesario analizar si se pueden lograr integrales de infinito, agregando la palabra "infinito". ¿Su programa?

Puede lograr esto de varias maneras, las dos más comunes son la aproximación de Stirling y la aproximación de Lanxos

[Para referencia de entusiastas de la implementación:] Para referencia de. entusiastas de la implementación: Códigos para funciones Gamma (principalmente la aproximación de Lanczos) en más de 60 lenguajes diferentes: C, C++, C#, python, java, etc.

Calculemos Γ(4.8) usando la computadora ya implementada

Obtenemos 17,837 que está, como se esperaba, entre (= Γ(4) = 6) y 4 (= Γ(5) = 24 (Cuando z es un número natural, Γ(z). ) = (z-1)! A diferencia del factorial que solo requiere números enteros positivos, podemos ingresar cualquier número real en z /Números complejos, incluidos los números negativos

Confusión: estamos integrando de 0 a infinito x,. no z, ¿se está integrando la variable auxiliar?

3. ¿Cómo interpola la función gamma la función factorial?

Si observas la función Gamma, encontrarás dos puntos. En segundo lugar, cuando z es un número natural, Γ(z+1) = z. ¡Probaremos esto pronto!) Entonces podemos esperar que la función gamma conecte el factorial. ¿Cómo termina la función gamma con los términos actuales x^? z y e^-x? No entiendo muy bien el proceso de pensamiento de Euler. ¿Qué, pero él fue quien descubrió el número natural e, así que tuvo que hacer muchos experimentos y multiplicar e con otras funciones para encontrar la corriente? forma.

4. ¿Cuál es la gráfica de la función gamma?

Cuando x se vuelve infinito ∞, el primer término (x^ z) también se vuelve infinito ∞. el segundo término (e^-x) se vuelve cero. ¿Convergerá a un valor finito?

Podemos usar la regla de L'H'pital para demostrar estrictamente que converge, pero también podemos ver que sí. converge sin esfuerzo. Estamos integrando el producto de x^z (una función polinómica creciente) y e^-x (una función exponencialmente decreciente).

Dado que el valor de e^-x disminuye más rápido que el valor de x^ ​​z, es probable que la función gamma converja y tenga un valor finito. Gráfica de x^ ​​z* e^-x Veamos el caso de Γ(4.8).

El área sombreada en verde en la parte inferior de la figura va desde 0 hasta el infinito, Γ(4,8) = 3,8.

¡Puedes trazarlo tú mismo y ver cómo z cambia la forma de la función gamma!

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#f(x)=exp(-x)gráfico #

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importar matplotlib.pyplot como plt

importar numpy como np

#Crear x e y

x= np.linspace(-2,20,100)

y= np.exp(- x )

#Crear la trama

fig,ax= plt.subplots()

plt.plot(x,y,label='f(x ) =exp(-x)',linewidth=3,color='palegreen')

#Hacer que x=0,y=0 sea más grueso

ax.set_aspect ('equal' )

ax.grid(True, Which='both')

ax.axhline(y=0,color='k')

axvline. (x=0,color='k')

# Agregar título

plt.title('f(x)=exp(-x)',fontsize=20)

#Agregar etiquetas X e Y

plt.xlabel('x',fontsize=16)

plt.ylabel('f(x)', tamaño de fuente =16)

#Agregar cuadrícula

plt.grid(alpha=.4,linestyle='--')

#Mostrar la trama

plt.show()

###################

#f(x) =x^ gráfico z#

####################

importar matplotlib.pyplot como plt

importar numpy como np

#Crear x e y

x= linspace(0,2,100)

y1=x**1.3

y2=x**2.5

y3=x**3.8

#Crear la trama

fig,ax= plt.subplots ()

plt.plot( x,y1,label='f(x)=x^1.3',linewidth=3,color='verde pálido')

plt.plot (x, y2,label='f(x)=x^2.5',linewidth=3,color='amarilloverde')

plt.plot(ax.axhline(y=0,color=' k')

ax.axvline(x=0,color='k')

#Agregar título

plt.title('f(x) =x^ z',fontsize=20)

#Agregar etiquetas X e y

plt.xlabel('x',fontsize=16)

plt .ylabel( 'f(x) =x^z',fontsize=20)

plt.title('f(x)=x^(3.8)*e^(-x)',fontsize =20)

# Agregar marcadores X e y

Etiqueta

plt.xlabel('x',fontsize=16)

plt.ylabel('f(x)',fontsize=16)

# Agregar cuadrícula

plt.grid(alpha=.4,linestyle='--')

#Agregar leyenda

plt.legend(bbox_to_anchor=( 1 ,1),loc='upper right',borderaxespad=1,fontsize=12)

# Mostrar gráfico de curva

plt.show()

5 . Propiedades de la función gamma

Si deseas eliminar algo de este artículo, deberías ser esta parte. Esta debería ser la pieza.

>Dado z>1Γ(z)=(z-1)*Γ(z-1) o escrito como Γ(z+1)=z*Γ(z)

Demostrémoslo usando integrales parciales y la definición de la función gamma.

¡Si n es un entero positivo C(n) = (n-1)!

¿Qué es Γ(1)?

¡Entonces Γ(n) = (n-1)!

¡Es posible que también hayas visto Γ(n+1) = n en lugar de Γ(n) = (n-1)! ¡Esto simplemente hace que la n esté a la derecha! ¡En lugar de (n-1)!

6. Utilice las propiedades de la función gamma para ilustrar que la integral PDF de la distribución gamma es 1

Una revisión rápida de la "distribución" gamma (no de la "función" gamma "!): Gamma Intuición y derivación de la distribución. La prueba es la siguiente:

Preguntas y respuestas:

1. ¿Cuántos años tiene la función gamma? Muy antiguo. Unos 300 años. Nota al margen interesante: Euler perdió la vista a la edad de 64 años, pero completó casi la mitad del trabajo.

2. Algunos valores interesantes: C(1/2) = sqrt() Hay muchas formas interesantes de demostrar esto: Γ(1/2) = sqrt() Γ(-1) = Γ( -2) = Γ(-3) = infinito ¿Puedes probar esto?

3. La siguiente es una gráfica de la función gamma para números reales.

La función gamma \Gamma(z)\Gamma(z) se representa en azul, mientras que \Gamma(z)\Gamma(z)+sin(πz)sin(πz) se representa en verde. (¡Observe la intersección en números enteros positivos, ya que sin(πz)sin(πz) es cero!). Ambas son continuaciones analíticas válidas de descomposiciones factoriales no enteras.