Como se muestra en la figura: (1) Señale la congruencia de los ángulos interiores de DC y AB truncados por BC; (2) Señale la congruencia de los ángulos interiores de AD y DB truncados por AE.

Dos triángulos con la misma forma y tamaño, uno de los cuales puede hacerse coincidir con el otro mediante traslación, rotación, simetría y otros movimientos (o transformación), se llaman triángulos congruentes. La determinación de que dos triángulos son congruentes es una herramienta poderosa para la prueba geométrica.

2. Los axiomas y corolarios de determinación de la congruencia de ángulos son:

(1) "Lado-Ángulo-Lado" se abrevia como "SAS"

( 2) "Ángulo-Ángulo-Lado" (AAS), "SAS" se denomina "SAS"

(3) "Ángulo-Ángulo-Lado" se denomina "AAS". "ASA" se abrevia como "AAS"

(3) "Bianbian" se abrevia como "Bianbian"

(4) "Jiaobian" se abrevia como "AAS"

(5) "La hipotenusa y el lado rectángulo" se abrevian como "HL"

Nota: En la determinación de congruencia, no hay AAA ni SSA, y ninguno de ellos puede determinar de forma única el forma del triángulo.

3. Propiedades de los triángulos congruentes:

Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales y los lados correspondientes son iguales.

Nota:

1) La propiedad de la congruencia de triángulos es la condición, y la conclusión es que los ángulos correspondientes y los lados correspondientes son iguales.

El juicio de congruencia es todo lo contrario.

2) Utilizando propiedades y juicios, es clave aprender a encontrar con precisión los lados y ángulos correspondientes de dos triángulos congruentes. Al escribir dos triángulos que sean congruentes, asegúrese de escribir los vértices correspondientes, los ángulos correspondientes y los lados correspondientes en el mismo orden para facilitar la búsqueda de los lados y ángulos correspondientes.

2. Análisis de ejemplo:

Ejemplo 1. Como se muestra en la figura △ABC≌△DEF, AB y DE, AC y DF son lados correspondientes Indica los ángulos correspondientes y otro. conjunto de lados correspondientes.

Solución: ∵AB y DE, AC y DF son lados correspondientes,

∴El otro conjunto de lados correspondientes es BC y EF. ∠A y ∠D, ∠B y ∠E, ∠ACB y ∠DFE.

Ejemplo 2 Como se muestra en la figura, △ABE≌△ACD, AB=AC. Escribe los ángulos correspondientes y los lados correspondientes de dos triángulos congruentes. Y pregunta si hay otros triángulos congruentes en la figura.

Análisis: Debido a que AB=AC, AB y AC son lados correspondientes, podemos encontrar el ángulo diagonal ∠AEB de AB y el ángulo diagonal ∠ADC de AC. Entonces ∠AEB y ∠ADC son ángulos correspondientes. Debido a que ∠A es el ángulo común de estos dos triángulos, se corresponde a sí mismo, por lo que los lados opuestos BE y DC de ∠A son los lados correspondientes, por lo que los ∠B y ∠C restantes son los ángulos correspondientes, ae y ad son correspondientes lados.

Solución. Lados correspondientes: AB y AC, BE y DC, AE y AD

Ángulos correspondientes: ∠A y ∠A, ∠B y ∠C, ∠AEB y ∠ADC

∵AB =AC, AD=AE, ∴AB-AD=AC-AE, es decir, BD=CE

Y luego ∠B=∠C, ∠DFB=∠EFC (las diagonales son iguales).

El método para encontrar los lados correspondientes y los ángulos correspondientes de un triángulo congruente es:

(1) Si se dan los vértices correspondientes, se pueden encontrar los lados correspondientes y los ángulos correspondientes.

(2) Si se dan algunos lados correspondientes o ángulos correspondientes, entonces los ángulos correspondientes de los lados correspondientes son los ángulos correspondientes, y viceversa, los ángulos correspondientes de los lados correspondientes son los lados correspondientes, y Se pueden encontrar otros grupos: lados correspondientes y ángulos correspondientes.

(3) Según el hecho de que el ángulo intercalado entre dos pares de lados correspondientes es un ángulo correspondiente, y el lado intercalado entre dos pares de ángulos correspondientes es un lado correspondiente, los ángulos correspondientes y los lados correspondientes pueden ser encontrado con precisión.

(4) En términos generales, en dos triángulos congruentes, los lados ****, los ángulos **** y los ángulos opuestos suelen ser lados correspondientes y ángulos correspondientes.

2. Usar los lados comunes o los ángulos comunes de dos triángulos para encontrar la relación correspondiente y derivar nuevos elementos iguales es uno de los métodos importantes para encontrar la congruencia de dos triángulos. . Como se muestra en la Figura (a), AD y BC en la Figura (b) son elementos comunes de triángulos correspondientes. Como se muestra en la Figura (c), BF = CE, utilizando el segmento de línea pública FC se puede deducir BC = EF. Como se muestra en la Figura (d), si ∠DAB=∠EAC, se puede deducir que ∠DAC=∠BAE.

3. La determinación de la congruencia de triángulos es el enfoque de esta unidad y también El enfoque de la geometría plana solo si dominas ¡Hay muchas formas de determinar la congruencia de triángulos, para que puedas usarlas de manera flexible en estudios futuros! Conocimiento. Hay cinco formas de demostrar que los triángulos son congruentes: SAS, ASA, AAS, SSS, HL Para determinar que dos triángulos son congruentes es necesario comprender y estar familiarizado con las siguientes ideas básicas.

① Hay dos conjuntos de ángulos correspondientes que son iguales; encontrar

② Hay dos conjuntos de lados correspondientes que son iguales; encontrar

③ Hay; un lado y un ángulo adyacente que son iguales; encuentre

④ Hay un lado y un par de ángulos que son iguales; encuentre cualquier conjunto de ángulos que sean iguales (AAS)

Nota. De la idea anterior, podemos ver que entre los seis elementos de dos triángulos, si solo un par de elementos correspondientes son iguales. O dos pares de elementos correspondientes son iguales, no necesariamente congruentes. Por tanto, para concluir que dos triángulos son congruentes, tres pares de elementos correspondientes deben ser iguales. Si los ángulos opuestos en dos triángulos son iguales, tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, por lo que los dos triángulos no son necesariamente congruentes. Como se muestra en la Figura (a) a continuación, para determinar si los triángulos son congruentes, debe haber al menos un lado entre los tres pares de elementos correspondientes. También tenga en cuenta que dos triángulos no son necesariamente congruentes si dos lados de un triángulo son iguales al ángulo opuesto a uno de los lados. Por ejemplo, en la figura (b), △ABC y △ABD, AB=AB, AC=AD, ∠B=∠B, pero △ABC y △ABD obviamente no son congruentes.

Nota: (AAA) y (SSA) no existen

Ejemplo 3, como se muestra en la figura, AD=AE, D, E están en BC, BD=CE,

∠1=∠2, verificar: △ABD≌△ACE

Análisis. AD=AE y BD=CE se han dado en las condiciones conocidas Para probar △ABDδ△ACE, solo necesitamos probar ADδ△ACE. ACE, simplemente demuestre que los ángulos entre AD y BD, AE y EC son iguales, y se puede sacar la conclusión de acuerdo con el teorema de SAS.

Prueba: (1)

(2) En △ABD y △ACE (tenga en cuenta que las letras que representan los vértices correspondientes deben escribirse en las posiciones correspondientes.)

(3)

(4) ∴ △ABD Î △ACE (SAS)

Nota: El argumento de los triángulos congruentes es una herramienta importante para estudiar las propiedades de los gráficos y Es una herramienta importante para estudiar más a fondo los planos.

Debido a que el estudio de las propiedades de los gráficos a menudo comienza con el estudio de la relación entre segmentos de recta iguales o ángulos iguales en los gráficos, encontrar y demostrar triángulos congruentes es el método básico para estudiar estas relaciones, por otro lado, triángulos congruentes; La argumentación es el comienzo del entrenamiento de la capacidad de razonamiento y argumentación, y es un eslabón clave en el cultivo de la capacidad de razonamiento lógico.

El patrón básico para demostrar la congruencia de triángulos es:

Problema △1≌△2

En concreto, se puede dividir en cuatro pasos básicos.

(1) Se requieren tres condiciones para demostrar que los triángulos son congruentes. Si es necesario demostrar las tres condiciones de antemano, se deben demostrar de antemano.

(2) Escribe los dos triángulos en los que se demuestra la congruencia.

(3) Enumere las tres condiciones en secuencia, combínelas entre llaves y escriba la base del razonamiento.

(4) Escribe una conclusión.

Ejemplo 4. Como se muestra en la figura, AC y BD se cruzan en O, OA=OC,

OB=OD, verifique: ． ∠OAB=∠OCD.

Análisis: De las condiciones conocidas, se puede demostrar que △AODδCOB, △AOBδ±COD, de △AODδCOB, se puede obtener que ∠1=∠2, ∠3 =∠4, AD =BC. De △AOBδ△COD, podemos obtener ∠5=∠6, ∠7=∠8, AB=CD. Esta idea se puede enumerar de la siguiente manera:

Por simple. preguntas de prueba geométrica, puede utilizar Este método de razonamiento consiste en deducir A de lo conocido, luego deducir B de A y luego deducir C de B... hasta que se derive la conclusión. Este método es "de causa a efecto". Si hay muchos resultados que pueden derivarse de las condiciones conocidas, la elección debe hacerse a propósito, y se deben elegir aquellos que estén relacionados con lo demostrado, y se deben descartar los que no tienen nada que ver con lo demostrado. .

Prueba: En △AOB y △COD

∵

∴△AOBδ△COD (SAS)

∴∠OAB＝ ∠ TOC (los ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

Ejemplo 5. Como se muestra en la figura, AB=AC, ∠1=∠2

AD⊥CD, AE⊥BE, verifique. AD=AE

Análisis. AD y AE están en △ADG y △AEH respectivamente

, ∠1=∠2, se puede demostrar que ∠D=∠E pero falta un par de lados que son iguales, por lo que este camino está bloqueado. AD y AE están en △ADC y △AEB respectivamente. Se sabe que ∠D=∠E, AB=AC y ∠1=∠2 se puede demostrar que ∠DAC=∠EAB, por lo que a través de △ADC≌△. AEB, la idea de AD=AE se puede representar en la siguiente figura.

Este proceso de pensamiento es opuesto al proceso de pensamiento analizado en el Ejemplo 4. Comienza con la conclusión a demostrar y utiliza axiomas, teoremas, definiciones, etc. Pensemos en ello: ¿Qué condiciones se necesitan para probar esta conclusión? Si se cumple esta condición (registrada como condición A), entonces se establece la conclusión. Entonces piénselo, si es necesario establecer la condición A, ¿qué condiciones deben cumplirse? Trabaje hacia atrás paso a paso de esta manera hasta que las condiciones requeridas puedan deducirse de las condiciones conocidas. Este es el proceso de "buscar causas para las causas".

Este es el proceso de pensamiento. Después de encontrar la idea, hay que partir de lo conocido y derivar la conclusión paso a paso como antes al probar.

Prueba: ∵AD⊥DC． (Conocido) ∴∠D＝900 (definición vertical)

∵AE⊥BE (conocido) ∴∠E＝900 (definición vertical)

∵∠1＝∠2 (Conocido ) ∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC (propiedad de la ecuación)

Es decir. ∠DAC＝∠EAB

En △ADC y △AEB

∵

∴△ADC≌△AEB (AAS)

∴ AD=AE (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

Ejemplo 6. Se sabe que en la figura, AB=DC, AD=BC, O es el punto medio de DB, y las rectas que pasan a través del punto O son respectivamente Las líneas de extensión E y F de DA y BC se cruzan, verifique. ∠E=∠F.

Análisis: Hay dos formas de demostrar ∠E=∠F. Una es demostrar que DE//BF, entonces los ángulos interiores son iguales; la otra es demostrar que los dos triángulos donde ∠E; y ∠F están ubicados son congruentes. De acuerdo con las condiciones conocidas dadas en la pregunta, el triángulo donde se encuentran ∠E y ∠F no parece cumplir las condiciones, por lo que consideramos probar DE//BF.

Para demostrar que dos rectas son paralelas, un método común es considerar que dos rectas son interceptadas por una tercera recta para obtener ángulos congruentes, los ángulos interiores son iguales o los ángulos interiores del mismo lado son complementarios. En esta pregunta, DE y BF son los ángulos interceptados por EF, AB y DC respectivamente. Solo hay ángulos de desviación interna, por lo que solo necesitamos demostrar que un conjunto de ángulos de desviación interna son iguales de acuerdo con las condiciones dadas en el. figura, no es difícil demostrar que ∠DAB=∠BCD Demuestre aún más la pregunta original.

Prueba: En △ABD y △CDB

∵

∴△ABD≌△CDB (SSS)

∴∠1 = ∠2 (los ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

∴ DE//BF (los ángulos interiores son iguales. Las dos rectas son paralelas)

∵∠E＝∠F (dos Las rectas son paralelas y los ángulos internos son iguales)

Ejemplo 7, como se muestra en la figura, se sabe que en △ABC, AD=AE, BD⊥AC en D, CE⊥ AB en E. Verifique que ∠DBC=∠ECB.

Análisis. Para demostrar que ∠DBC=∠ECB, puedes demostrar que △BDC≌△CEB Las condiciones dadas en la pregunta no cumplen la congruencia y las condiciones no pueden hacer que los dos triángulos sean congruentes directamente. Otros triángulos pueden considerarse congruentes. A partir de las condiciones, se puede demostrar que △ABD≌△ACE conduce a BD=EC, y luego se puede demostrar que △BEC≌△CDB.

Prueba: ∵BD⊥AC, CE⊥AB (conocido)

∴∠BDA=900. ∠CEA=900 (definición vertical)

∵∠BDA=∠CEA (sustitución equivalente)

En △ABD y △ACE

∵

∴△ABD Î△ACE (ASA)

∵BD=EC (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales a los lados correspondientes de triángulos congruentes)

En Rt△BCE y Rt△CBD

∵

Rt△BCE ≌Rt△CBD(HL)

∴∠DBC＝∠ECB (los ángulos correspondientes de un triángulo congruente son iguales)

Ejemplo 8. Como se muestra en la figura, en △ABC, AD BAC, AB BD=AC, encuentre el valor de ∠B∠C.

Análisis 1: La condición AB BD=AC en la pregunta es intuitiva de usar. Si la línea extendida AB es igual a BD en la línea extendida BM, podemos obtener AB BD = AM = AC, que es fácil de usar. Este método se llama "método de llenado corto". segmentos de línea, podemos obtener segmentos de línea iguales que son fáciles de usar.

Solución: Extender AB a M, hacer BM = BD, y conectar DM, luego AM = AB + BM = AC, ∠1 = ∠2, AD = AD,

∵ △ADMδ△ ADC, ∴∠M=∠C ∴BM=BD, entonces ∠M=∠BDM, ∴∠ABC=2 ∠M=2∠C, es decir, ∠B. ∠C=2:1

Análisis 2: También puede interceptar AN=AB en AC y convertir la condición AB+BD=AC en NC=BD. Este método se llama "truncar la longitud para compensar el método corto" y, junto con el primer método, se denomina colectivamente "truncar la longitud para compensar el método corto". A menudo se utiliza para probar la relación. entre segmentos de línea o para utilizar condiciones.

Otra solución: Figura 2: Interceptar AN=AB en AC Es fácil saber a partir de las condiciones que △ABDδ△AND, luego DN=DB

∠AND=∠B. , y AC＝AB＋BD＝AN＋NC ∴ NC＝BD＝ND, ∴∠C＝∠NDC

∴∠B＝∠AND＝2 ∠C ∴∠B. ∠C=2: 1.

Nota: Esta pregunta se llama "Método de interceptación".

Nota: Esta pregunta utiliza el conocimiento de que los dos ángulos base de un triángulo isósceles son iguales. Los estudiantes ya lo aprendieron en la escuela primaria y aún lo aprenderán en la sección de geometría 3.12 de la escuela secundaria.

Apéndice:

1. Contenidos y requisitos de esta conferencia

Requisitos de enseñanza para los puntos de conocimiento del capítulo de la unidad

2

Ángulos congruentes

Tres

Ángulos congruentes

Triángulo 3.4 Triángulos congruentes Concepto de triángulos congruentes A (B)

3.5 - -3.7

Determinación de congruencia de triángulos (1) Propiedades y determinación de congruencia de triángulos

(2) Estabilidad de triángulos D A

3.8 Determinación de triángulo rectángulo congruencia Determinación de la congruencia de triángulos rectángulos C

3.9 Bisectrices (1) Teorema de la bisectriz y su teorema inverso

(2) Proposición inversa, teorema inverso C ( D)

B (C)

Tres

gobernantes

Guardias

Imágenes

3.10 Dibujo básico (1) Dibujo con regla y compás

(2) 5 figuras básicas A C (D)

3.11 Ejemplos de problemas de gráficas: triángulos, etc. Triángulo cintura, triángulo rectángulo función trigonométrica B ( C)

Nota: A, B, C, D en los requisitos representan niveles:

A. Comprensión: tener un sentido perceptual del significado del conocimiento Una comprensión preliminar, ser capaz decir qué es este conocimiento y descubrirlo en problemas relacionados.

B. Comprensión: Lograr una comprensión racional de conceptos y leyes (teoremas, leyes, fórmulas, reglas, etc.), siendo capaz no sólo de decir cuáles son esos conceptos y leyes, sino también sabiendo cómo funcionan. se derivan su conexión con otros conceptos y leyes, y su sencilla aplicación.

C. Dominio: En términos generales, significa formar habilidades a través de la práctica sobre la base de la comprensión, y ser capaz (o capaz) de resolver algunos problemas a través de ella.

D. Aplicación flexible: se refiere al uso rápido y flexible del conocimiento para resolver algunos problemas complejos.

B (C) indica requisitos de enseñanza y C indica requisitos flexibles.

2. Requisitos de habilidades para esta conferencia

1. Ser capaz de utilizar con flexibilidad el teorema o axioma de determinación de triángulos congruentes para realizar razonamientos y pruebas simples o realizar cálculos relacionados.

2. Capaz de utilizar una regla para dibujar cuatro gráficos básicos y realizar aplicaciones sencillas.