Se sabe que la secuencia {an} satisface ni=1i?ai=i, (I) Encuentre la fórmula general de an; (II) Si bn=2nan, encuentre la suma de los primeros n términos de bn, Sn; (III) Si cn=2nan, encuentre la suma de los primeros n términos de cn, Sn (III) Si cn=2nan, encuentre la suma de los primeros n términos de cn, Sn.
(I) Cuando n≥2, nan = ni=1i?ai? n?i=1i?an=1n
Cuando n=1, a1=1 se cumple, entonces an= 1n
(II) bn=n?2n
Sn=1?21+2?22+3?23+...+n?2n①
2Sn= 1? 22+2? 23+3?24+...+(n-1)?2n+n?2n+1②
De ①-②, -Sn=21+22+23+ +2n -n?2n+1
=1n2
Supongamos f(x) = 2x-x2
f′(x) = 2xln2-2x, y ln2 > lne =12
Por lo tanto, f′′(x) = 2x(ln2)2- 2≥f′′(5)>0
Entonces f′′( x) es monótonamente creciente en [5, +∞), por lo que f′′(x)≥f′′(5)>0
Entonces f′′(x) está en [5, +∞) es monótonamente creciente, por lo f′′(x)≥f′′(5)=7>0
Entonces, cuando n>4, 2n>n2 siempre es cierto, es decir. e.12n11n2
Por lo tanto ni=1 ci>ni=1.tr>i=112i=1?12n
Y 1n21n(n?) = 1n?1?1n
Historia i=1ci