Información detallada sobre la espiral de Arquímedes
La espiral de Arquímedes (también conocida como espiral de velocidad constante) debe su nombre al matemático griego Arquímedes en el siglo III a.C. La espiral de Arquímedes es una trayectoria producida por un punto que sale de un punto fijo con una velocidad constante mientras gira alrededor del punto fijo con una velocidad angular fija. Arquímedes describió esto en su libro "La Espiral". Introducción básica Nombre chino: Espiral de Arquímedes Nombre extranjero: Espiral de Arquímedes Alias: Curva de Arquímedes Propuesto por: Arquímedes Época propuesta: siglo III a.C. Tema de aplicación: ecuaciones matemáticas, aplicación, aplicación inicial: bombeo de agua en espiral Dispositivo, aplicación de ingeniería: bomba en espiral de Arquímedes, vida aplicación: características geométricas de las espirales para mosquitos, descubrimientos relacionados, cómo dibujar la espiral de Arquímedes, la razón por la que las espirales existen ampliamente en la naturaleza, más información, Ecuación de Arquímedes La ecuación de coordenadas polares de la espiral alemana es: donde a y b son números reales. Cuando , a es la distancia desde el punto inicial hasta el origen de las coordenadas polares. , b es el aumento correspondiente en el valor por cada aumento en el ángulo unitario r de la espiral. Cambiar el parámetro a equivale a girar la espiral, mientras que el parámetro b controla la distancia entre dos curvas adyacentes. La ecuación de coordenadas cartesianas planas de la espiral de Arquímedes es:
El método de transformación general de sistema de coordenadas polares a sistema de coordenadas cartesiano:
, el método de transformación general de sistema de coordenadas cartesianos Método de transformación de sistema al sistema de coordenadas polares:
Según las últimas investigaciones, la fórmula de la espiral de Arquímedes se puede expresar mediante el radio especificado r, la velocidad circular v y la velocidad de movimiento lineal w. La fórmula se basa en esto Según a. Fórmula, cuando la velocidad circunferencial y la velocidad lineal se duplican al mismo tiempo, la forma de la espiral de Arquímedes no cambiará. Por lo tanto, la espiral de Arquímedes es una espiral de relación de velocidad constante, porque gira en cada rotación. equidistantemente dentro del período, por lo que también se le puede llamar espiral equidistante. No existe una regla específica para el ángulo tangente de la espiral de Arquímedes. Usando software matemático y siguiendo el método derivativo, hacer tangentes cada 45° producirá el efecto que se muestra a la derecha. Aplicación Aplicación inicial: Elevador en espiral Para resolver el problema de irrigar la tierra con agua del Nilo, Arquímedes inventó el elevador en espiral cilíndrico, que las generaciones posteriores llamaron "Espiral de Arquímedes". La espiral de Arquímedes es una espiral enorme en un cilindro de madera (un tubo hueco enrollado en espiral alrededor de un cilindro que se coloca en ángulo y el extremo inferior se sumerge en agua. A medida que el cilindro gira, el agua se eleva a lo largo de la espiral). tubo y sale por el extremo superior. De esta forma se puede subir agua de un nivel a otro para regar los campos. La bomba de agua "Espiral de Arquímedes" todavía se utiliza en Egipto y otros lugares. Aplicación de ingeniería: bomba de tornillo de Arquímedes El principio de funcionamiento de la bomba de tornillo de Arquímedes es que cuando el motor hace girar el eje de la bomba, el tornillo gira alrededor de su propio eje por un lado y, por otro lado, rueda a lo largo de la superficie interior de el casquillo, formando así la cámara sellada de la bomba. Cada vez que el tornillo gira una vez, el líquido en la cámara de sellado avanza un paso. Con la rotación continua del tornillo, el líquido se presiona de una cámara de sellado a otra en forma de espiral y finalmente sale del cuerpo de la bomba. . La bomba de tornillo es un nuevo tipo de maquinaria de transporte de líquidos. Tiene las ventajas de una estructura simple, operación segura y confiable, uso y mantenimiento convenientes, descarga de líquido continua y uniforme y presión estable. Aplicación en la vida diaria: Características geométricas de las espirales para mosquitos Coloque una sola espiral para mosquitos con el lado liso hacia arriba sobre una superficie horizontal. Al mirar hacia abajo desde arriba, observará la vista en planta de las espirales para mosquitos. Dibuje esta curva por separado y agregue ciertos signos para obtener el gráfico de la curva de la espiral para mosquitos (como se muestra en la Figura 6). El punto O es el punto de intersección más intermedio entre varios puntos de intersección de la recta AB y la curva AB. La curva OA es en realidad el borde exterior de la espiral de las espirales para mosquitos.
Al observar las espirales antimosquitos reales de diferentes marcas, encontrará que la curva OA correspondiente, la sección cercana al punto (indicada por OP en la figura), que es la parte de la curva denominada "cabeza de Tai Chi", es diferente en forma, pero por lo demás Una gran sección de la curva PA a continuación tiene las siguientes características: La curva PA E toma cualquier punto Q. Si el punto Q puede moverse en la curva PA, cuanto más cerca esté el punto Q del punto A, la línea recta la distancia entre el punto Q y el punto O (en r (representado por r)) es mayor y, cada vez que se mueve un determinado ángulo (representado por 0), el valor aumentado es proporcional al ángulo; Las características anteriores de la curva QA se pueden describir en lenguaje académico como: △φ=k△θ, o φ=k△θ C-----(1) En la fórmula (1), k y C son constantes, si Se toma el punto O como polo y se establecen las coordenadas polares, luego se puede seleccionar el eje polar con la orientación adecuada y la ecuación (1) se puede transferir a: φ=kθ, θ∈[0, α]---- --(2) Ecuación (1) 2) donde a es el punto A, que es el ángulo polar correspondiente al extremo de la varilla de incienso. La curva descrita por la fórmula (2) es el borde exterior de una única barra de incienso repelente de mosquitos. De hecho, se trata de la "espiral de Arquímedes". Cabe señalar que la fórmula (2) solo describe la ecuación de la curva de la barra de incienso, excepto para la "cabeza de Tai Chi" de las espirales para mosquitos, ya que las "cabezas de Tai Chi" de diferentes marcas de espirales para mosquitos no tienen una forma uniforme y fija. forma, no se puede describir con precisión. Al mismo tiempo, dado que la longitud de la sección "Cabeza de Tai Chi" de la varilla de incienso es extremadamente corta, el impacto de su forma en la longitud de la varilla de incienso en espiral para mosquitos es en realidad insignificante. Descubrimientos relacionados: Arquímedes (alrededor del 287 a. C. al 212 a. C.), un gran matemático y mecánico de la antigua Grecia. Nació en el año 287 a.C. en un pequeño pueblo cerca de Siracusa, Grecia. Arquímedes En 267 a. C., cuando Arquímedes tenía once años, su padre lo envió a Alejandría, Egipto, para estudiar con los alumnos de Euclides, Eratoste y Canon. Alejandría, ubicada en la desembocadura del río Nilo, era el centro comercial intelectual y cultural del mundo en ese momento. Era el hogar de eruditos y personas talentosas y era conocida en el mundo como la "Ciudad de la Sabiduría". La investigación en literatura, matemáticas, astronomía y medicina está muy avanzada. Arquímedes estudió con muchos matemáticos famosos en Alejandría, incluido el famoso maestro de geometría Euclides. Estudió y vivió aquí durante muchos años. Absorbió la excelente cultura de Oriente y la antigua Grecia. La herencia tuvo un impacto significativo en su carrera científica posterior. la base para la futura investigación científica de Arquímedes. En 240 a. C., Arquímedes regresó a su ciudad natal de Siracusa desde Egipto y sirvió como asesor del rey. A partir de entonces, inició una exploración exhaustiva de la ciencia, logró logros de renombre mundial en física, matemáticas y otros campos, y se convirtió en uno de los más grandes científicos de la antigua Grecia. Las generaciones posteriores hablaron muy bien de Arquímedes, a menudo clasificándolo como los tres matemáticos con mayores contribuciones de la historia, junto con Newton y Gauss. Se dice que la espiral de Arquímedes fue descubierta por primera vez por el maestro de Arquímedes, Conón (discípulo de Euclides). Después de la muerte de Conon, Arquímedes continuó su investigación y descubrió muchas propiedades importantes, por lo que esta espiral recibió el nombre de Arquímedes. Cómo dibujar la espiral de Arquímedes 1. Cómo dibujar la espiral de Arquímedes Con la longitud apropiada (OA) como radio, dibuje un círculo O; dibuje un punto P en el rayo OA; a lo largo del círculo O, el punto P se mueve a lo largo del rayo OA; dibuja la trayectoria del punto P; oculta el círculo O, el rayo OAamp puede obtener la espiral 2. Hay una forma sencilla de dibujar la espiral de Arquímedes; La forma de dibujar la espiral de Arquímedes es enrollar un hilo alrededor de un carrete, atar un pequeño lazo en su extremo libre, presionar el carrete sobre una hoja de papel y colocar un lápiz dentro del lazo, usar un lápiz para apretar el hilo. Mantenga el hilo tenso y luego dibuje la trayectoria del hilo aflojado por el carrete en el papel, obtendrá la espiral de Arquímedes. La razón por la que las espirales están muy extendidas en la naturaleza: en la naturaleza, se encuentran muchas espirales en diversas formas de vida.
Como el gusano disco de arena del filo Protozoos; el caracol espiral apical de la familia Ladderidae del filo Moluscos, el caracol de flauta acanalada de la familia Snailidae y el caracol de la familia Snailidae. La mayoría de los caracoles, como los caracoles cono, son extraños. los caracoles de hombros anchos y los pseudocaracoles de la familia Snail, tienen varias formas de espiral en las curvas de su caparazón; entre las plantas, hay caracoles en espiral enredados como la glicina, la tarántula y la campanilla. La curva formada por el tallo, la dispuesta en espiral. las hojas de tabaco, los tentáculos de lufa y calabaza, la curva formada por la disposición de las semillas de girasol en el plato; incluso las macromoléculas biológicas como las proteínas, los ácidos nucleicos y los polisacáridos, que son las principales sustancias de la vida, también tienen estructuras en espiral. como la estructura de doble hélice en los genes genéticos humanos (ADN). Entre ellos, los fósiles de gusanos de arena en la naturaleza y las curvas formadas por serpientes enroscadas pueden formar espirales de Arquímedes. La razón por la que las espirales existen ampliamente en los organismos vivos se debe a varias propiedades excelentes de las espirales. Estas excelentes propiedades permiten directa o indirectamente a los organismos vivos lograr los mejores resultados en su lucha por la supervivencia. Dado que la longitud de la espiral es la más corta entre las diversas curvas que pasan por dos puntos del cilindro, para las plantas trepadoras como el perejil, la glicina y la campanilla, es crucial cómo utilizar la menor cantidad de materiales y el menor consumo de energía para fabricar sus tallos. que la enredadera o enredadera se extienda hacia un área bien iluminada. Entre varias curvas, la espiral juega un papel en el ahorro de materiales y consumo de energía, permitiendo que las hojas obtengan más luz solar en el mismo espacio, lo cual es particularmente importante para la fotosíntesis de las plantas. Las plantas como el tabaco tienen hojas en forma de verticilo. Utilice la superficie en espiral formada para obtener el área de luz máxima en un espacio pequeño (entre otras plantas) para facilitar la fotosíntesis. Algunos objetos que forman espirales también tienen la propiedad física de ser elásticos (o estirables) como los resortes. Los tentáculos en espiral pseudocilíndricos de los tallos de plantas como la luffa y la calabaza utilizan esta propiedad para adherirse firmemente a otras plantas u objetos. Incluso si hay una fuerza externa (como el viento, etc.), debido a la elasticidad (o estirabilidad) de los tentáculos espirales, los tentáculos delgados no se rompen fácilmente, y cuando la fuerza externa desaparece, su elasticidad (o estirabilidad) Puede asegurar que el tallo Las hojas puedan volver a su posición original. Las espirales también tienen sentido para la mayoría de los moluscos caracoles que viven en el agua. Observa la forma en que los caracoles se mueven en el agua. Generalmente avanzan con el caparazón boca arriba, con la parte de mayor diámetro del caparazón al frente y la punta del caracol detrás. Cuando la dirección del flujo de agua es opuesta a la dirección del movimiento, el flujo de agua gira a lo largo de la espiral de la concha desde la parte de mayor diámetro a la parte de menor diámetro hasta la punta de la espiral. La velocidad del agua se reducirá considerablemente, de modo que la presión estática del agua detrás del caparazón será mayor que la presión estática en la parte delantera del caparazón. Bajo la acción de la diferencia de presión entre la parte delantera y trasera, el caparazón se moverá automáticamente hacia adelante. De esta manera, la resistencia del flujo de agua se transforma en impulso hacia adelante a través de la espiral en forma de cono. Además, las espirales distribuidas en el caparazón del caracol son como costillas, lo que aumenta en gran medida la resistencia del caparazón y también dispersa la presión del agua que actúa sobre el caparazón. Más información Espiral de Arquímedes, también conocida como “espiral de velocidad constante”. Cuando el punto P se mueve a lo largo del rayo OP en movimiento a una velocidad constante, este rayo gira alrededor del punto O a una velocidad angular constante. La trayectoria del punto P se llama "espiral de Arquímedes". Su ecuación de coordenadas polares es: r = aθ La distancia entre cada brazo de esta espiral es siempre igual a 2πa. La ecuación de coordenadas cartesianas es: r=10*(1 t) x=r*cos(t * 360) y=r*sin(t * 360) z=0 Cuando un punto en movimiento se mueve a velocidad constante a lo largo de una línea recta , Cuando una línea recta gira con velocidad angular constante alrededor de un punto O de la línea, la trayectoria que sigue el punto en movimiento es la línea del vórtice de Arquímedes. Cuando la línea recta gira una vez, la distancia que se mueve el punto en movimiento en la línea recta se llama avance y se representa con la letra S. El vórtice de Arquímedes se usa ampliamente en el diseño de levas, diseño de mandril de torno, resorte de vórtice, rosca y diseño de tornillo sin fin. El método para dibujar los vórtices de Arquímedes es el que se muestra en la figura: (1) Primero dibuje un círculo con el cable S como radio y luego divida la circunferencia y el radio en las mismas n partes iguales, n = 8 en la figura ( 2) Con O como centro del círculo, Construya cada arco concéntrico para intersecar en el radio del número correspondiente, y los puntos de intersección I, II, III,... Línea de vórtice de Chimedes. Similar a la curva de corte de Hipias, se puede utilizar para cuadrar un círculo. Sin embargo, esto último también lo logró el propio Arquímedes.
Como se muestra en la Figura 1, el polo de la espiral P=aθ es O y el primer círculo termina en el punto A. Tomando O como centro y a como radio para dibujar un círculo, la circunferencia del círculo es igual a = OA. De esta forma, Arquímedes resolvió fácilmente el problema de la cuadratura de un círculo. Apolonis, que fue un poco posterior a Arquímedes, resolvió el problema de la cuadratura de un círculo utilizando una espiral cilíndrica, como se muestra en la Figura 4-2-27. Sea el círculo O la base de un cilindro recto y A el punto inicial de la espiral. La tangente a la espiral en cualquier punto P corta al plano en T. Entonces la proyección BT de PT sobre el plano base es igual a AB. Por lo tanto, cuando el punto P resulta ser el punto más cercano a A en la generatriz donde se encuentra el punto A, TB es igual a la circunferencia del círculo. Así queda resuelto el problema de la cuadratura de un círculo. Figura 1 Después de Apolonis, el mecánico Carpo también resolvió el problema de la cuadratura de un círculo. La "curva de doble movimiento" que utilizó ahora se ha perdido. Según el historiador de las matemáticas P. Tannery (1843-1904), se especula que es una cicloide, es decir, Capps obtuvo la circunferencia del círculo haciéndolo rodar. una línea recta (Figura 2). Durante el Renacimiento, el famoso maestro de arte italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) se sintió atraído por el problema de la cuadratura de un círculo y encontró un método ingenioso. Como se muestra en la Figura 4-2-29, sea R el radio del círculo, use el círculo como base para construir un cilindro con una altura de R/2 y luego haga rodar el cilindro en el plano para obtener un rectángulo. . Cuadra el rectángulo y completa el cuadrado del círculo. Figura 2 Como hemos visto anteriormente, los griegos se dieron cuenta muy pronto (pero no lograron demostrar) que los tres problemas principales no podían resolverse en pasos limitados usando reglas y compás. Pero parecían tan simples que los griegos no pudieron resistir la tentación; continuaron buscando métodos distintos de reglas y compás, lo que dio como resultado curvas de orden superior y curvas más allá de ellas, como cónicas, secanes, almejas, arabescos y espirales. uno tras otro. Los tres problemas principales permitieron a generaciones de matemáticos griegos mostrar su extraordinario ingenio y afectaron profundamente todo el proceso de desarrollo de la geometría griega. El encanto de los tres grandes problemas no desapareció con la caída de la civilización griega. De hecho, la investigación sobre ellos nunca ha cesado desde Grecia, especialmente desde el Renacimiento europeo hasta este siglo. En 1837, el joven matemático francés P. L. Wantzel (1814-1848) demostró la imposibilidad de construir gráficas utilizando ángulos de tres secciones y compases de tres pies cúbicos. En 1882, el matemático alemán C. Lindemann (1852-1938) demostró la trascendencia de π, demostrando así la imposibilidad de cuadrar un círculo con regla y compás. Posteriormente, los matemáticos también establecieron dos teoremas generales: Teorema 1: Cualquier cantidad que pueda medirse a partir de una unidad de longitud conocida usando una regla debe ser un número algebraico. Teorema 2: Si una ecuación cúbica con coeficientes racionales no tiene raíces racionales, entonces sus raíces; son imposibles. Usar una regla y un compás para medir una unidad de longitud dada.