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El famoso matemático francés Fermat planteó una vez una pregunta interesante sobre el triángulo: encontrar un punto en el plano donde se encuentra el triángulo, de modo que la suma de las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo Mínimo. La gente llama a este punto "punto Fermat". Se trata de una cuestión histórica bien conocida y que se ha introducido en muchos documentos en los últimos años.
Este artículo intenta desarrollar un material de entrenamiento del pensamiento para este tema basado en los ejercicios y ejemplos del libro de texto y de acuerdo con el nivel cognitivo de los estudiantes de secundaria para guiar a los estudiantes a comprender este tema a través de su propio pensamiento. y aprendizaje.El proceso de generación, formación, razonamiento y argumentación y aplicación de problemas.
1. Triángulo Punto de Fermat
Se sabe que ABD y AEC son triángulos equiláteros, como se muestra en la Figura 1. Verificación: Be = DC.
Esta pregunta resultó ser relativamente fácil. Aquí hay algunas preguntas para que los estudiantes piensen.
Reflexión 1: Haz un triángulo equilátero BCF en el lado BC de ABC y conecta AF como se muestra en la Figura 2. ¿Qué conclusiones se pueden sacar? ¿Hay alguno?
(1)BE=CD=AF?
(2)¿BE, CD, AF se encuentran?
(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120?
Pensamiento 2 Si reemplazas la imagen 1 original por la imagen 3 y conectas las virtudes, ¿qué conclusiones se pueden sacar?
(1) La conclusión original sigue siendo válida: Be = CD.
(2) Si ∠ ADC = 120, entonces el punto D está en el círculo circunscrito de AEC equilátero, y las rectas D, B y E*** forman BE = CD: AD CD = DE; si ∠ ADC ≠ 120, entonces es fácil demostrar que AD DC > DE. Obtenga la siguiente proposición.
Teorema 1 Para un punto en el círculo circunstante de un triángulo equilátero, la suma de las distancias de los dos vértices más cercanos al triángulo es igual a la distancia desde el otro vértice para un punto que no está en el círculo circunstante; del triángulo equilátero, la distancia del triángulo La suma de las distancias de dos vértices a este punto es mayor que la distancia al otro punto.
Pensamiento 3 Según el teorema anterior, también se muestra en la Figura 2.
(1)OA OB OC=AF.
(2) Tome otro punto O en ABC, siempre lo hay.
O′A O′B O′C > AF,
Es decir, OA ob oc < o' a o' b o' C.
(3) El punto O es el punto con la menor suma de distancias a los tres vértices del plano ABC.
Teorema 2: Cuando cada ángulo interior de un triángulo es menor que 120, debe haber un punto en el triángulo cuyos ángulos que se extiendan a los tres lados sean 120. Este punto tiene la suma más pequeña de distancias desde los tres vértices y se llama "punto Fermat". Cuando el ángulo interior de un triángulo no es menor de 120, el vértice de este ángulo es el punto de Fermat.
2. El problema de la tubería de agua más corta
Como se muestra en la Figura 4, es necesario construir una estación de bombeo de agua junto al río para suministrar agua a Zhangcun y Lizhuang respectivamente. ¿Dónde debería construirse a lo largo del río para que las tuberías de agua sean las más cortas?
Este es un problema de aplicación muy significativo y tiene cierto valor en el diseño de carreteras, tuberías de agua potable o gasoductos. Si la estación de bombeo C no suministra agua directamente a A y B, la línea recta CA CB determinada por el método del "punto de simetría" en este ejemplo no es la línea recta más corta. Es fácil saber que cuando todos los ángulos del triángulo determinado por los puntos A, B y C son menores que 120, en este triángulo debe haber un punto de Fermat O con OA Ob OC < Ca CB, por lo que la longitud total de la tubería de agua puede ser más pequeña. Por lo tanto, el problema de la tubería de agua más corta es el problema de Fermat en el que A y B están en el mismo lado de la línea recta L, y el punto C es un punto en movimiento en L. Este problema se analiza en dos categorías.
(1) El ángulo entre AB y L es menor de 30"
Como se muestra en la Figura 5, haga un triángulo equilátero AB con AB como un lado y ABM como el círculo circunscrito .
Cuando el círculo circunscrito se separa o es tangente a la recta L, se traza la línea perpendicular de la recta L desde el punto M y se corta con el punto O. El pie vertical es C. C es el Ubicación de la estación de bombeo de agua Primero, lleve el agua al punto O. y luego suministre agua a A y B respectivamente desde el punto O. En este momento, el punto O es más corto y no mejorará incluso si elegimos otro punto. en l.
Excelente, porque ∠ ABC ≥ 120, el punto Fermat es el punto C, es decir, la estación de bombeo de agua en C suministra agua directamente a A y b si se selecciona la estación de bombeo C a la izquierda del punto P. , como se muestra en la figura Como se muestra en 7, en este momento, el punto Fermat O de △ABC debe estar en el punto P, por lo que no habrá mejor punto para elegir a la izquierda del punto P en L, y de manera similar, no habrá mejor punto a la derecha del punto q.
(2)2)El ángulo entre AB y L no es menor que 30.
Como se muestra en la Figura 8, si el punto a está cerca de la línea recta l, suponiendo que AC⊥L interseca a c, el punto c es la ubicación de la estación de bombeo de agua, porque ∠ CAB ≥ 120, punto a es el punto Fermat de δABC, en este momento la longitud total de la tubería de agua es Ca AB. Tomar cualquier otro punto en l no lo mejorará. Obviamente, al tomar un punto C' a la izquierda del punto C, δO′A O′B O′C = O′M O′C > CA AM = CA AB.
Para resumir, hay tres líneas de tuberías de agua más cortas: Y, V y fábrica.
3. Dos preguntas de solicitud
El artículo (4) menciona el grupo de preguntas del Examen Nacional de Ingreso a la Universidad 95. Se consideraron las siguientes dos preguntas al redactar las preguntas de solicitud:
(1) Un río tiene 1 km de ancho, con dos ciudades A y B a ambos lados. La distancia en línea recta entre A y B es de 4 kilómetros. Ahora se debe tender un cable para conectar A y B. Se sabe que el costo de construcción de los cables subterráneos es de 20.000 yuanes/km y el de los cables submarinos es de 40.000 yuanes/km. Suponiendo que las dos orillas del río son líneas rectas, ¿cómo se puede minimizar el costo total de construcción?
(2) Hay cuatro puntos en los cuatro vértices del cuadrado, y deben estar conectados por líneas para formar una red (es decir, comenzando desde cualquier punto, puedes llegar a otros puntos a lo largo de las líneas en esta red). ¿Cómo debería la red conectar estos cuatro puntos para minimizar la longitud total de líneas utilizadas?
Tang Jianxin y Zhao Hanqun escribieron un artículo en Middle School Mathematics Monthly (Hubei) en octubre de 1997. (5) La pregunta (1) se analiza en detalle y se da una respuesta muy inteligente para que incluso los estudiantes de secundaria puedan entenderla. El punto Fermat también se puede resolver usando este método, porque el costo de construcción por kilómetro de cable submarino es el doble que el subterráneo, como se muestra en la Figura 9. Tome el punto de simetría B′ del punto B con respecto a L. Como BC = B′C, el punto C (el punto de emisión del cable) es el punto Fermat de δδABB′′. Tome ∠ BCA = 120.
En cuanto a la pregunta (2), como se muestra en la Figura 10, es fácil saber que no importa cuán conectada esté, la red requerida debe pasar por el punto central O del cuadrado. El problema se puede transformar. en el problema de Fermat de ABO y δDCO, también se puede transformar en la pregunta (1). Considere soluciones detalladas.