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Gráficos 3D: determinante de matriz, inversa de matriz, matriz ortogonal, matriz homogénea

Anteriormente hablamos sobre algunos conocimientos de cálculo sobre matrices. Creo que todos ya han sentido que están en una situación desesperada, así que para brindarles a todos una experiencia visual y sensorial más emocionante, en este blog. discutirá, estudiará y organizará el determinante de la matriz, la inversa de la matriz, la matriz ortogonal y la matriz homogénea. Me alegro mucho de que hayas visto esto. ¿Por qué dices esto, porque la matriz homogénea es? Lo que usamos habitualmente para el desarrollo, sobre todo, lo mencioné brevemente en Core Graphics Framework: Affine Transformation and Homogeneous Coordinates (desde una perspectiva principiante, explicaré con más detalle la matriz homogénea). >

Entonces continúa. Ahora comienza la diversión.

En cualquier matriz cuadrada, existe un escalar, que se llama determinante de la matriz cuadrada. Si acabo de explicar el concepto al principio. Para entonces, es posible que no solo los lectores, sino incluso yo mismo lo estemos. Utilicemos ejemplos prácticos para ilustrar el determinante y el significado geométrico del determinante.

Primero, veamos el determinante. matriz cuadrada M. es |M|, (Nota: el determinante de la matriz no cuadrada no está definido) Comencemos con la matriz cuadrada de 2x2 más simple para explicar. La definición específica del determinante de la matriz cuadrada de 2x2 es como. siguiente

Según lo que dice el libro, podemos realizar el proceso de cálculo de la memoria de esta manera, multiplicar los elementos de la diagonal principal y la antidiagonal, y luego restar el producto de los elementos antidiagonales. del producto en la diagonal principal. Como se muestra en la siguiente figura, por supuesto, esto es aplicable al cálculo del determinante de una matriz cuadrada de 2x2. El cálculo del determinante de una matriz cuadrada de 3x3. Es mucho más problemático. Permítame explicarlo lentamente.

El ejemplo de cálculo del determinante de la matriz cuadrada 2x2 es básicamente el siguiente. todo el contenido del cálculo del determinante de la matriz cuadrada de 2x2. A continuación, veamos la matriz cuadrada de 3x3. Cálculo del determinante. Primero, echemos un vistazo a la definición del determinante de una matriz cuadrada de 3x3. >

¿No parece muy problemático? De hecho, cuando dominamos sus habilidades de cálculo, se puede calcular de manera muy simple. Primero escriba la matriz M dos veces y luego calcule como se muestra en la figura. /p>

Bueno, después del bautismo de matriz cuadrada de 2x2 y matriz cuadrada de 3x3, poco a poco nos vamos confundiendo, ¿solo tenemos matriz cuadrada? ¿Se puede calcular el determinante de esta manera? No, no, no, ¿los predecesores? en matemáticas nos ha dejado métodos de cálculo preciosos, es decir, cofactores y cofactores algebraicos. Echemos un vistazo a los usos y diferencias entre los dos.

Primero, echemos un vistazo al cofactor. Mire el concepto. Suponga una matriz M. Después de eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna, la matriz restante es el cofactor de la matriz M (las restricciones de i y j son (no es necesario explicar demasiado). ), la notación es la siguiente.

A continuación, usamos un ejemplo para ilustrar cómo se genera el cofactor.

Arriba ya hemos explicado la fórmula del co-sub. cierta comprensión de la definición y el método de cálculo de la fórmula. Luego, a continuación, explicaremos el conocimiento relevante de la fórmula co-sub. Entonces, ¿qué es la fórmula algebraica co-sub? la subfórmula se define así, para una matriz cuadrada M

, el cofactor algebraico de un elemento de fila y columna dado es igual al determinante con signo del cofactor correspondiente. Refinemos la definición anterior. El cofactor algebraico de una determinada matriz es el determinante, entonces hemos notado, el cofactor de a. Cierta matriz es una matriz. De esta manera, conocemos la diferencia entre las dos. Una es una matriz y la otra es escalar. Bueno, después de comprender la diferencia entre las dos, Veamos cómo se define el método de cálculo del cofactor algebraico, como se muestra a continuación.

Solo la fórmula anterior nos hace sentir impotentes, por lo que a continuación usamos uno tras otro Ejemplos de cofactores para resolver los cofactores algebraicos correspondientes. Como se muestra a continuación.

Entonces, después de hablar de tanto conocimiento sobre cofactores y cofactores algebraicos, ¿cómo nos ayuda a resolver el determinante? De hecho, ¿es posible calcular directamente el determinante de cualquier n-dimensional? Matriz cuadrada usando cofactores y cofactores algebraicos Primero, encontramos cualquier fila i de la matriz (i no es mayor que el número máximo de filas) y luego, el número de columnas j aumenta en secuencia. La fórmula de cálculo específica se muestra a continuación.

Luego, después de tener la fórmula, la verificación es inevitable. A continuación, usaremos la fórmula para derivar el determinante de la matriz cuadrada de 4x4. Debido a la conveniencia de la fórmula de cálculo, nos resulta más conveniente. para calcular, pero debemos juzgar cuidadosamente lo positivo o negativo de cada elemento (no presté atención al verificarlo yo mismo y el error de verificación ocurrió dos o tres veces aquí, elegí i = 1 (puedes elegir). i cuando lo verifica usted mismo), verificación específica El proceso es el siguiente (debido a que hay demasiados elementos, las capturas de pantalla se toman en dos pasos).

A través de lo anterior, encontramos que cuantas más filas y. Cuanto más columnas tenga el determinante de la matriz cuadrada, mayor será la complejidad. La complejidad aumentará exponencialmente. Ya es muy complicado para nosotros calcular 4x4 (de hecho, tenemos suficientes determinantes de 4x4), así que si obtenemos un Determinante de matriz cuadrada de 10x10, ¿no nos volveríamos locos? Aquí, el libro menciona un método de cálculo de determinante llamado método de cálculo de "selección de pivote". Los amigos interesados ​​pueden verificar la información por sí mismos.

Ya hemos terminado. Hablando de determinantes arriba, pero hay muchas cosas que todavía nos confunden, entonces, ¿para qué se usa el determinante? ¿O qué significa el determinante? De hecho, en 2D, el determinante representa las propiedades de un paralelogramo con base. vectores como dos lados. En el entorno 3D, representa el volumen con signo de un paralelepípedo con tres lados según el vector base. Veamos el siguiente ejemplo para verificar nuestra idea. en la figura, en el entorno 2D hay un vector base v = [3 0], u = [1 2]

Entonces su área es 3x2 = 6 y su determinante es 3x2-1x0 = 6. Encontramos que el determinante es y el área son iguales (por supuesto, si el vector base v = [-3 0], el valor final calculado del determinante es -6)

A continuación, tomemos un. Mire los tres vectores base en el entorno 3D u = [2 0 0], v = [1 2 0], w = [0 0 1], como se muestra en la figura

Luego calculamos. el cuadrado positivo delimitado por los tres vectores base anteriores. El volumen del hexaedro es 1x2x2 = 4, que se compone de los tres vectores base calculados.

El determinante de la matriz formada por: Conocimiento relevante de las matrices Existe un requisito previo para las operaciones de inversión, es decir, solo se pueden usar matrices cuadradas para las operaciones de inversión.

Primero, veamos cómo funciona la inversa de. Se define una matriz cuadrada. Supongamos que una matriz cuadrada M, la inversa de la matriz cuadrada M, se denota como M^-1. La inversa de la matriz cuadrada también es una matriz. se multiplican, el resultado es la matriz identidad I. Como se muestra a continuación

Entonces, ¿cómo calculo la inversa de la matriz cuadrada M? Los gráficos 3D que vi dan el siguiente método.

En la fórmula anterior, sabemos cómo resolver el determinante de la matriz. Entonces, ¿qué es adj M? adj M se llama matriz adjunta de la matriz M, que se define como la matriz transpuesta de la matriz cofactor algebraica de la matriz. M (bastante bocado). Está bien, echemos un vistazo a cómo el ejemplo explica esto. Supongamos que la matriz M es la siguiente.

Luego, a continuación, resolvemos los cofactores algebraicos de todos los elementos. matriz, como se muestra a continuación.

Entonces la matriz transpuesta de los cofactores algebraicos ( adjM ) es como se muestra a continuación

Hemos resuelto la matriz transpuesta ( adjM ) del cofactor algebraico. A continuación, necesitamos resolver la inversa de la matriz. El proceso de cálculo usando la fórmula es el siguiente.

Arriba conocemos el concepto y el método de cálculo de la inversa de una matriz, entonces, ¿cuál es su función real? ¿O cuál es su significado geométrico? De hecho, la inversa de una matriz es principalmente adecuada para "deshacer" la implementación de la función. Por ejemplo, un vector ν se transforma a través de la matriz M. Entonces, podemos presentar la inversa. matriz de M, cancelando así la acción de transformación. El proceso de verificación es el siguiente

Primero, echemos un vistazo a cómo se define una matriz ortogonal. Si la matriz cuadrada M es ortogonal, entonces la matriz. M se llama matriz ortogonal si y solo si el producto de M y su matriz transpuesta M^T es igual a la matriz identidad

En la inversa de una matriz, sabemos que la inversa de la. La matriz y el producto de la matriz son la matriz identidad I. A partir de este razonamiento, podemos saber que si la matriz es una matriz ortogonal, entonces la inversa y la transformación de la matriz Las matrices establecidas son iguales

<. p> Entonces, ¿cuál es el significado de la existencia de matrices ortogonales? De hecho, si una matriz es una matriz ortogonal, entonces la inversa de la matriz y la matriz transpuesta son iguales. La matriz transpuesta es muy simple. calcular, pero es muy problemático calcular la inversa de una matriz usando cofactores algebraicos, por lo que podemos calcular directamente la matriz transpuesta y obtener directamente la inversa de la matriz

D.

uangDuangduang ~ La parte más importante de este artículo: la matriz homogénea. Antes de hablar sobre su contenido relacionado, primero debemos utilizar dos ejemplos clásicos para explicar cómo aparece el espacio homogéneo (los ejemplos se encuentran en Internet. No es de extrañar)

¿Se cruzarán dos líneas paralelas?

Antes de comprender el espacio homogéneo, sabemos que dos líneas paralelas no pueden cruzarse, pero dos líneas paralelas no pueden cruzarse. A continuación, todos sabemos que los dos rieles paralelos son paralelos, pero estos dos rieles paralelos se cruzarán en un punto en el infinito. ¿Es correcto? En el sistema de coordenadas cartesiano 2D, usamos (x, y) para representar un punto 2D. Espacio cartesiano, y el punto (∞, ∞) en el infinito no tiene sentido en el espacio cartesiano. Entonces no podemos explicar este fenómeno, pero en un espacio homogéneo, podemos explicar este fenómeno.

Con las dos preguntas anteriores, comenzamos nuestro viaje de coordenadas homogéneas. De hecho, la aparición del espacio homogéneo se utiliza principalmente. para resolver problemas de proyección Las llamadas coordenadas homogéneas son para representar un vector originalmente n-dimensional con un vector n unidimensional. El espacio homogéneo 4D tiene 4 componentes, a saber (x, y, z, w), el cuarto es. w, que se llama coordenadas homogéneas. Luego, en el sistema de coordenadas cartesiano 3D, la segunda coordenada se puede expresar como (x/w, y/w, z/w). Luego resolveremos la primera. problema y explique que dos rectas paralelas se proyectan en un plano 2D y se cruzan en un punto. Sabemos que Ax By C= 0 representa una recta en el sistema de coordenadas cartesiano 2D. Dos rectas paralelas se cruzan, las dos ecuaciones deben. estar relacionados, como se muestra a continuación.

En el sistema de coordenadas cartesiano, si los dos anteriores se cruzan, entonces C = D = 0, es decir, son la misma línea que pasa por el origen. Obviamente no puede explicar dos líneas paralelas que se cruzan en un punto. Si introducimos el concepto de coordenadas homogéneas, colocamos x/w, y/w en lugar de x, y en el espacio de proyección, como se muestra a continuación. > El sistema de ecuaciones anterior se puede convertir al siguiente sistema de ecuaciones

En el caso de C≠D, entonces resolver el sistema de ecuaciones es que w = 0 y dos rectas se cruzan, entonces se corta. es (x, y, 0). Dos líneas rectas se cruzan a una distancia infinita.

Entonces, ¿por qué es necesario introducir coordenadas homogéneas y cuáles son sus ventajas?

1. Proporciona un método eficaz para transformar un conjunto de puntos en un espacio bidimensional, tridimensional o incluso de alta dimensión de un sistema de coordenadas a otro mediante operaciones matriciales.

2. Puede representar un punto en el infinito. Si h = 0 en n coordenadas homogéneas unidimensionales, en realidad representa un punto infinito en un espacio n-dimensional.

Para coordenadas homogéneas [a, b, h], manteniendo a, b sin cambios, el punto se mueve gradualmente hacia el infinito a lo largo de la línea recta ax by=0

En gráficos 3D: transformación matricial y lineal I tengo. Mencioné varias transformaciones lineales, como rotación, escala, duplicación, etc., pero no hay traducción. Sin embargo, en el proceso de desarrollo diario, la traducción debe considerarse como una transformación afín de uso muy común. libro, determinado por las propiedades de multiplicación de matrices, los vectores cero siempre se transforman en vectores cero, por lo que cualquier transformación expresada por multiplicación de matrices no tendrá traducción. Sin embargo, podemos usar una matriz de traducción 4X4 para representar el entorno 3D. La transformación de traducción utiliza una. Matriz de traducción 3X3 para representar la transformación de traducción en el entorno 2D (suponga que w no cambia y w = 1) La fórmula específica es la siguiente

Aunque en 4D, la multiplicación de la matriz es. todavía lineal Sí, la multiplicación de matrices no puede representar la traducción en 4D, pero puede representar la transformación de traducción en un entorno 3D

Finalmente, todavía necesito adjuntar lt;lt;Gráficos básicos de matemáticas 3D y desarrollo de juegosgt;gt; versión pdf del portal.