Mi primer libro de divulgación científica - Apuntes de "Del Uno al Infinito"

Extracto del artículo original

①Ejemplo comparativo

De hecho, en un mundo infinito, ¡la parte puede ser igual al todo!

②Método de comparación

Este es el método propuesto por Cantor para comparar dos "números infinitos": podemos emparejar dos grupos de números infinitos, y un elemento de cada grupo corresponde a Un elemento de otro grupo. Si terminan en una correspondencia exactamente uno a uno y no hay elementos redundantes en ningún conjunto, entonces los dos números tienen el mismo tamaño;

Georg Cantor, el fundador de las matemáticas infinitas, sugirió que ¿Podemos con letras hebreas? (aleph) se usa para describir un número infinito. El subíndice en la esquina inferior derecha de la letra representa la posición del número en la serie infinita.

Hoy en día, casi todas las ramas de las matemáticas puras se han convertido en herramientas para que los científicos expliquen el mundo físico, incluidas aquellas teorías que la gente alguna vez pensó que eran demasiado puras para tener algún valor práctico, como la teoría de grupos, no conmutativa. álgebra, geometría no euclidiana, etc. Sin embargo, incluso hoy en día, todavía existe un enorme sistema en el campo de las matemáticas que siempre se adhiere al elevado estatus de "inutilidad". Su única función es ayudar a las personas a ejercitar su inteligencia. Tal desapego definitivamente merece el título de "Rey de la Pureza". Este sistema es la llamada "teoría de números" ("número" aquí se refiere a números enteros) y es una de las ideas matemáticas puras más antiguas y complejas. Lo extraño es que, aunque la teoría de números es de hecho la forma más pura de matemáticas, en cierto modo es una ciencia basada en la experiencia e incluso la experimentación.

De hecho, la mayoría de las proposiciones de la teoría de números provienen de la práctica: las personas intentan hacer varias cosas con números y luego obtienen algunos resultados para formar una teoría. El proceso no es diferente de la física, excepto que los físicos intentan trabajar con objetos reales en lugar de números teóricos. La teoría de números y la física tienen otra similitud: algunas de sus proposiciones han sido probadas matemáticamente, pero otras aún están en la etapa empírica, esperando ser probadas por los matemáticos más destacados.

1) La conjetura de Goldbach

Así que todavía no hemos enumerado una fórmula general que solo pueda calcular números primos. Hay otro problema interesante en la teoría de números que no ha sido probado ni refutado, llamado la "Conjetura de Goldbach". Esta conjetura, propuesta en 1742, afirma que cualquier número par puede expresarse como la suma de dos números primos. [

②El teorema de distribución promedio de números primos

El teorema de distribución promedio de números primos es uno de los descubrimientos más importantes en todo el campo de las matemáticas. Se puede expresar simplemente como: desde 1. a cualquier número natural n mayor que 1 Dentro del intervalo, el porcentaje de números primos es aproximadamente igual al recíproco del logaritmo natural de n. Cuanto mayor sea n, más preciso será el resultado de esta fórmula.

③El último teorema de Fermat

Fermat escribió una breve nota al margen. Propuso que la ecuación x2+y2 = z2 tiene infinitas soluciones enteras, pero para la ecuación xn+yn = zn [22], si n es mayor que 2, entonces la ecuación no tiene solución.

Está demostrado que las ecuaciones x3+y3 = z3 y x4+y4 = z4 no pueden tener soluciones enteras. Dirichlet demostró que x5+y5 = z5 no tiene solución entera y, con el esfuerzo de varios otros matemáticos, hemos confirmado que mientras n sea menor que 269, esta ecuación no tiene solución entera.

④Número imaginario

La gente eligió un modificador utilizado por Cardano para nombrar dicho número, por lo que ahora se le llama "número imaginario". Desde el nacimiento de los números imaginarios, los matemáticos han empezado a utilizar este concepto cada vez con más frecuencia.

Para tales números, quizás sólo podamos decir que no son cero, pero no son ni mayores que cero ni menores que cero, por lo que son números completamente ficticios, o números imposibles.

Por analogía, a todo número real le corresponde un número imaginario. También puedes combinar números reales y números imaginarios en una fórmula y escribirla en forma (omitida). Esta mezcla de expresiones inventada por Cardano suele denominarse números complejos.

Los números imaginarios no estuvieron justificados hasta que dos matemáticos aficionados les dieron un significado geométrico simple.

El espacio tridimensional al que estamos acostumbrados se puede combinar con el tiempo para formar un sistema de coordenadas unificado que se ajusta a la geometría de cuatro dimensiones.

Omitido

①Introducción

Los objetos sin un plano de simetría se pueden dividir en dos categorías: izquierda y derecha.

Los hilos de una concha de caracol están en el sentido de las agujas del reloj y los hilos de la otra en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Incluso las partículas fundamentales (las llamadas "moléculas") que componen toda la materia tienden a presentarse en formas diestras y zurdas. Por ejemplo, el azúcar tiene dos formas: zurdo y diestro. Lo creas o no, hay dos tipos de bacterias que comen azúcar, y cada tipo de bacteria solo puede comer azúcares de la quiralidad correspondiente.

②¿Cómo convertir los dos?

Pero si sacas un burro de un avión, lo giras 180 grados en el espacio y luego lo vuelves a colocar en el avión, se volverá exactamente igual al otro burro. Por analogía, podemos decir que si el condón de la derecha abandona el espacio tridimensional, lo gira de manera adecuada en la cuarta dimensión y luego lo devuelve a nuestro espacio, entonces también puede convertirse en un condón de la izquierda.

Es la llamada “superficie de Mobius”. El nombre de la superficie proviene del matemático alemán que la estudió por primera vez hace más de cien años. Hacer fideos Möbius es muy sencillo: toma un trozo de papel largo y envuélvelo en un círculo, luego gira un extremo del papel 180 grados y finalmente pega los dos extremos; Eche un vistazo a la Figura 23 y sabrá qué hacer. El plano de Möbius tiene muchas características extrañas, una de las cuales es fácil de detectar: ​​tome un par de tijeras y corte completamente en una dirección paralela al borde del plano de Möbius (como lo muestra la flecha en la Figura 23). Por supuesto, como era de esperar, deberíamos terminar con dos anillos separados. Pero después de hacerlo, descubrirás que estás equivocado: en lugar de cortar dos anillos, cortamos un anillo grande, que es el doble de largo que el original pero ¡solo la mitad de ancho!

Qué pasa cuando un burro de sombra camina sobre Mobius. ¡Donkey se encontró entre la espada y la pared y de alguna manera se vino abajo! Por supuesto, puede darse la vuelta y volver a ponerse de pie, pero luego se convierte en el burro de la derecha. En resumen, nuestro burro "izquierdo" se convierte en un burro "derecho" después de rodear la franja de Möbius.

Sobre una superficie retorcida, un objeto diestro se puede transformar en un objeto zurdo y viceversa sólo girándolo. La tira de Möbius en realidad representa parte de otra superficie más general, la botella de Klein.

Pero si lo piensas más detenidamente, descubrirás que la cuarta dimensión no es misteriosa. De hecho, hay una palabra que la mayoría de nosotros usamos todos los días. Puede considerarse, o realmente lo es, la cuarta dimensión del mundo físico. La palabra es "tiempo".

En geometría espacio-temporal de cuatro dimensiones, la línea que representa la historia de vida de cada partícula material independiente se llama "línea del mundo". Del mismo modo, un conjunto de líneas de mundo que forman un objeto compuesto se denomina "franja de mundo".

Entonces, si podemos encontrar una velocidad estándar reconocida, podemos describir el lapso de tiempo en unidades de longitud.

A través del término "año luz", convertimos el tiempo en una dimensión práctica, y por tanto la unidad de tiempo se convierte en una unidad que sirve para medir el espacio. A su vez, podemos acuñar otro término “milla ligera” para describir el tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia de 1 milla. Utilizando los valores de velocidad de la luz introducidos anteriormente, podemos calcular que 1 milla luz es igual a 0,0000054 segundos.

Solo necesitamos generalizar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia de cuatro dimensiones; para estudiar la relación física entre eventos, la distancia de cuatro dimensiones es un valor más básico que los intervalos de espacio y los intervalos de tiempo independientes.

La distinción entre espacio y tiempo se borra por completo, lo que significa que aceptamos que el espacio se puede transformar en tiempo y viceversa.

Podemos definir la cuarta coordenada como un número puramente imaginario.

Dado que creemos que la distancia espacial es siempre un número real y la distancia temporal es siempre un número puramente imaginario, entonces también podríamos decir que la distancia cuatridimensional de los números reales está más estrechamente relacionada con la distancia ordinaria. La distancia espacial, y la distancia cuatridimensional de los números imaginarios está más estrechamente relacionada con el intervalo de tiempo. En la terminología de Minkowski, la primera distancia de cuatro dimensiones se llama "espacio" y la segunda, "tiempo".

La distancia espacial se puede convertir en distancia espacial ordinaria y la distancia temporal se puede convertir en intervalo de tiempo ordinario. Sin embargo, estas dos distancias son reales e imaginarias. Existe una barrera insuperable entre ellas, por lo que no pueden transformarse el uno en el otro. Es por ello que no podemos convertir una regla en un reloj o viceversa.

Omitido

Igual que:

Este es el modelo de Rutherford.

Diferente:

Según los conocimientos actuales de la física, si realmente la estructura interna de un átomo fuera igual a la de un sistema planetario, sólo duraría una milmillonésima de segundo. En otras palabras, estos átomos no pueden existir durante largos períodos de tiempo.

Sin embargo, aunque en teoría hemos propuesto una perspectiva tan pesimista, la realidad nos dice que la estructura atómica es muy estable. Los electrones dentro del átomo giran feliz e incansablemente alrededor del núcleo central, sin perder nunca energía. !

Los electrones no giran alrededor del núcleo y el modelo de Rutherford es incorrecto.

(1) Nucleones y electrones

Aunque existen muchos tipos de sustancias conocidas, en realidad son diferentes combinaciones de dos partículas básicas: 1. Los nucleones, las partículas básicas de la materia, pueden ser eléctricamente neutros (neutrones) o cargados positivamente (protones). 2. Electrones, cargas negativas libres.

De hecho, existen positrones en la naturaleza, que son muy similares a los electrones ordinarios con carga negativa, pero tienen propiedades eléctricas opuestas. Es posible que también existan protones cargados, pero los físicos aún no han detectado tales partículas. En nuestro mundo físico, los positrones y los protones negativos (si existen) no son tan comunes como los electrones negativos y los protones positivos porque estos dos conjuntos de partículas se "oponen" entre sí. Como todos sabemos, si dos cargas tienen propiedades eléctricas opuestas, se anularán una vez que entren en contacto. Por lo tanto, dado que los positrones y los electrones negativos representan cargas libres positivas y negativas respectivamente, no pueden existir en la misma región del espacio. Tal aniquilación producirá una fuerte radiación electromagnética (rayos gamma) donde se encuentran. El proceso de "aniquilación" de dos electrones con propiedades eléctricas opuestas y el proceso de "creación" de un par de electrones de la nada mediante fuertes rayos gamma son imágenes especulares. el uno del otro.

Hasta donde sabemos, puede haber sistemas planetarios hechos de antimateria en el universo. Si arrojas una roca ordinaria del sistema solar a una antigalaxia, o viceversa, la roca se convertirá en una bomba atómica tan pronto como toque el suelo.

② Neutrinos

La existencia de los neutrinos se deduce de la prueba por contradicción en matemáticas. Este emocionante logro no comenzó con el descubrimiento de algo, sino que descubrimos algo que faltaba en algún proceso físico. Estas "cosas que faltan" son energía.

Alguna vez la gente pensó que esta era la primera evidencia experimental de que la ley de conservación de la energía fallaba, pero Pauli propuso que el "ladrón de Bagdad" que robó la energía nuclear podría ser una partícula hipotética llamada neutrino. carga y tiene menos masa que un electrón ordinario.

Esta partícula de luz sin carga no puede ser detectada por ningún equipo físico existente y puede penetrar fácilmente cualquier material. Para bloquear la luz visible, basta con una fina película de metal; para los rayos X y los rayos gamma, más penetrantes, unos pocos centímetros de plomo pueden reducir significativamente su intensidad, pero un haz de neutrinos puede viajar fácilmente varios años luz. ¡Una gruesa capa de plomo! De todos modos, no es de extrañar que no podamos observar neutrinos.

③ Resumen - Transformación entre partículas

Los neutrinos pueden combinarse con electrones para formar los mesones inestables que observamos en los rayos cósmicos. También tiene un nombre inapropiado, "Heavy Electron":

④Más.

Omitido

Omitido

①Temperatura y movimiento térmico

El movimiento browniano es en realidad el resultado del movimiento térmico invisible de la materia. En realidad, la temperatura es solo una medida de la intensidad del movimiento térmico de las moléculas.

Cuando se alcance la temperatura. A 273°C (es decir, 459°F), que es el cero absoluto, las moléculas de la sustancia detendrán por completo el movimiento térmico.

Y si la temperatura continúa aumentando, incluso las propias moléculas están en peligro, porque colisiones cada vez más violentas desgarrarán las moléculas en átomos. Este proceso de descomposición térmica depende de la fuerza de la propia molécula. Algunas moléculas orgánicas se descomponen en átomos individuales o grupos de átomos a "temperaturas frías" de unos pocos cientos de grados, pero otras moléculas más estables, como el agua, requieren temperaturas de más de mil grados para colapsar. Pero ninguna molécula puede sobrevivir a temperaturas de varios miles de grados. En entornos con temperaturas tan altas, las sustancias se convierten en mezclas gaseosas de elementos químicos puros.

Si la temperatura aumenta a cientos de miles o incluso millones de grados, este proceso de ionización térmica será cada vez más evidente. Temperaturas tan extremas están más allá de lo que podemos alcanzar en el laboratorio, pero son comunes en las estrellas, especialmente en el Sol. Ni siquiera los átomos pueden sobrevivir en un ambiente tan caluroso. Todos sus electrones externos serán despojados y el material eventualmente se convertirá en una mezcla de núcleos desnudos y electrones libres. fuerza poderosa.

Necesitamos al menos unos miles de millones de grados de alta temperatura para utilizar el calor para descomponer completamente la materia y dividir el núcleo atómico en nucleones independientes (protones y neutrones).

Si bien no hemos encontrado temperaturas tan altas en las estrellas más calientes, probablemente existieron en el universo joven hace miles de millones de años.

②Ley del movimiento térmico y del desorden

Las características completamente irregulares del movimiento térmico pueden describirse mediante una nueva ley, que llamamos ley del desorden o ley del comportamiento estadístico. Para comprender esta embarazosa descripción, también podríamos analizar el famoso problema de que "la intención del borracho es no beber".

El significado de esta fórmula es que la distancia máxima posible de un borracho a una farola después de realizar innumerables giros aleatorios es igual a la longitud promedio de cada línea recta que camina multiplicada por la raíz cuadrada del número de segmentos de recta.

Sin embargo, si un gran número de borrachos parten de la misma farola sin interferir entre sí, descubrirás que después de un período de tiempo suficientemente largo, todos los borrachos se distribuirán a una cierta distancia alrededor. la farola Dentro del área, podemos calcular su distancia promedio a las farolas usando el método que acabamos de presentar.

①Introducción

Cualquier proceso espontáneo en un sistema físico se desarrollará inevitablemente en la dirección de una entropía creciente hasta que finalmente alcance un estado de equilibrio con la entropía máxima. Esta es la famosa ley del aumento de entropía, también llamada segunda ley de la termodinámica (la primera ley es la ley de conservación de la energía). La ley del aumento de entropía también se llama ley del aumento del desorden.

②Malentendido

1. La existencia de vida parece violar completamente la ley del aumento de entropía.

Las plantas utilizan la entropía negativa (secuencia) de la luz solar para construir sus propios cuerpos a partir de compuestos inorgánicos; los animales sólo pueden comer plantas (u otros animales) y obtener entropía negativa de esta manera.

2.

Pero, ¿por qué una máquina de vapor ordinaria puede convertir el calor en movimiento sin violar la ley del aumento de entropía? El misterio es que las máquinas de vapor sólo utilizan una parte de la energía generada por la combustión del combustible, y se emite más energía en forma de gases de escape o es absorbida por equipos de refrigeración especialmente instalados. En este caso, la entropía de todo el sistema sufre dos cambios opuestos: 1. Parte del calor se convierte en energía mecánica del pistón, que es un proceso de disminución de entropía. 2. La otra parte del calor de la caldera fluye hacia el equipo de refrigeración, que es un proceso de aumento de entropía. La ley del aumento de entropía sólo requiere que la entropía total del sistema aumente, siempre y cuando la entropía aumentada por la última parte exceda la entropía disminuida por la primera parte.

3.

Da otro ejemplo que nos ayude a comprender mejor la ley del aumento de entropía. Suponga que hay un peso de 5 libras en un estante a 6 pies del suelo. Según el principio de conservación de la energía, es imposible que este peso llegue al techo sin una fuerza externa. Por otro lado, podría arrojar parte de su peso al suelo, ganando energía y dejando volar el resto. Asimismo, podemos permitir que la entropía disminuya en regiones locales del sistema siempre que el aumento de entropía en el resto del sistema sea suficiente para compensar la diferencia. En otras palabras, podemos hacer que el movimiento molecular en algunas áreas del sistema sea más ordenado, siempre y cuando no nos importe que esta operación haga que el movimiento molecular en otras áreas sea más desordenado.

①Introducción

De hecho, la distribución de las moléculas de aire a escala microscópica no es uniforme. Si te acercas lo suficiente, verás que las moléculas del gas se agrupan continuamente en pequeños grupos y luego se dispersan rápidamente, pero aparecerán grupos similares de moléculas en otros lugares. Este efecto se llama fluctuación de densidad. Los líquidos comunes también tienen efectos de fluctuación de densidad y presión, pero no parecen tan obvios;

②Caso 1 - ¿Por qué el cielo es azul?

Parte de la razón por la que el cielo es azul es que la dispersión atmosférica proviene del polvo en suspensión, y la mayor parte es dispersión molecular causada por fluctuaciones de densidad.

Es lógico que un cielo puro sea extremadamente uniforme y que no exista un "cielo azul" con muchas moléculas. Como un espejo muy plano, sólo refracta o refleja y rara vez se dispersa. En un entorno homogéneo, las dispersiones de diferentes moléculas se anulan entre sí. Pero es precisamente debido al efecto de fluctuación de densidad que "hay impurezas inevitables en el aire, que son fluctuaciones en el aire mismo. La dispersión de la luz solar por las fluctuaciones de densidad forma el cielo azul".

③Caso 2 - ¿Por qué el agua queda de color blanco lechoso después de hervir?

Así que podemos describir el movimiento browniano de otra manera: la razón por la que las partículas suspendidas en el agua son empujadas es porque la presión que reciben en diferentes direcciones siempre cambia rápidamente. Cuando un líquido se calienta cerca de su punto de ebullición, las fluctuaciones de densidad se vuelven más pronunciadas, haciendo que el líquido tenga un aspecto ligeramente lechoso.

Aunque la vida es compleja, en esencia no se diferencia de los fenómenos físicos y químicos ordinarios, por lo que nos resulta difícil trazar una línea clara entre la vida y la no vida.

Extrae materias primas del medio circundante para generar unidades estructurales similares a él mismo.

Estas partículas de virus son a la vez moléculas químicas ordinarias y seres vivos, por lo que son el "eslabón perdido" entre los seres vivos y los no vivos.

El gen es de hecho la unidad biológica más pequeña (cada gen independiente está compuesto por aproximadamente 654,38+0 millones de átomos). Los genes parecen ser el eslabón perdido entre los seres vivos y los no vivos.

①Características hereditarias

Las características genéticas del daltonismo necesitan verse afectadas por dos cromosomas para mostrar rasgos obvios, por eso las llamamos "características genéticas recesivas"

La "herencia dominante" es lo opuesto a la herencia recesiva, un rasgo genético que sólo requiere que un cromosoma se vea afectado.

Además de la herencia dominante y la herencia recesiva, también existe un rasgo genético "neutral".

Por supuesto, incluso bajo los microscopios más avanzados, todos los genes siguen pareciendo similares, con sus diferentes funciones profundamente ocultas dentro de sus estructuras moleculares.

②Otros

Pero antes de que comience la división, los pares de cromosomas suelen estar entrelazados, por lo que pueden producirse intercambios parciales. Esta hibridación (que se muestra en las Figuras 99a y B) dará como resultado una confusión de las secuencias genéticas parentales, lo que resultará en rasgos genéticos mixtos.

Los caracteres que son independientes entre sí y no se afectan entre sí deben estar muy separados en el cromosoma.

Si solo usas un ojo, es difícil juzgar la distancia entre la punta de la aguja y el extremo del hilo, pero si ambos ojos están abiertos, puedes pasar el hilo fácilmente por la punta; de la aguja, o al menos aprender fácilmente. Al mirar un objeto con dos ojos, inconscientemente enfocarás ambos ojos en el mismo objeto al mismo tiempo.

Puedes intentar cerrar un ojo primero y luego cambiar al otro. Notarás que la posición del objeto (en este caso la aguja) cambia en relación con el fondo distante (como la ventana al otro lado de la habitación). Este efecto es el desplazamiento de paralaje.

Cuanto más lejos esté el objeto, menor será el desplazamiento de paralaje, y podemos usar esto para juzgar la distancia.

1. En realidad, no necesitamos fabricar un dispositivo que pueda alejar tanto tus ojos. Por ejemplo, si tu ojo izquierdo está en Washington y tu ojo derecho está en Nueva York, puedes disparar. la luna sobre el fondo del cielo estrellado de estas dos ciudades al mismo tiempo. Pon estas dos fotos en el estéreo.

2. Utiliza el tamaño de la propia Tierra para medir el tamaño de la órbita terrestre.

3. Utiliza el tamaño de la órbita para medir la distancia entre estrellas (claro que esto significa que tenemos que esperar medio año para completar dos observaciones, ¿por qué no?)

Si ¿Qué pasa con más?

1. Método de medición de distancias basado en estrellas pulsantes

El astrónomo de la Universidad de Harvard Harold Shapley descubrió una nueva "regla" que puede medir la distancia de estrellas distantes. Se trata de la llamada estrella pulsante o estrella variable cefeida.

Si encuentra una estrella variable Cefeida cuya distancia excede el límite superior de la medición del cambio de paralaje, entonces sólo necesita observarla a través de un telescopio, registrar su período de pulsación y luego calcular su brillo real; observe Compare su brillo con su brillo real e inmediatamente sabrá qué tan lejos está de usted. Utilizando este ingenioso método, Shapley logró medir distancias muy distantes en la Vía Láctea; también es particularmente útil para estimar el tamaño aproximado de la Vía Láctea;

2. Otros

En esta etapa, solo podemos juzgar la distancia de una galaxia en función de su tamaño visible, según la experiencia pasada, todas las galaxias del mismo tipo son aproximadamente la misma. del mismo tamaño y las estrellas marcan una gran diferencia. Si sabes que todas las personas en el mundo tienen exactamente la misma altura, que no hay personas altas ni bajas, entonces puedes juzgar la distancia entre una persona y tú por la altura de la persona que ves.

El cuerpo principal de este planeta todavía está en estado de fusión. La "Tierra sólida" que a menudo mencionamos casualmente es solo una corteza relativamente delgada que flota sobre la lava. La forma más sencilla de demostrarlo es medir la temperatura a diferentes profundidades de la Tierra; así descubrimos que por cada kilómetro adicional de profundidad, la temperatura aumentará unos 30°C.

En la mina más profunda del mundo (la Robinson Deep Mine, una mina de oro en Sudáfrica), las paredes del pozo están hirviendo. Para evitar que los mineros sean asados ​​vivos, las minas deben tener aire acondicionado.

En realidad, la Tierra recién nacida era una esfera líquida pura. Desde entonces se ha ido enfriando poco a poco. Lo que estamos viendo ahora es sólo una etapa específica en la vida de este planeta, y en un futuro lejano, la Tierra algún día estará completamente solidificada.