Métodos y ejercicios para encontrar funciones inversas

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Todo bien.

1． Permitir a los estudiantes comprender correctamente el concepto de funciones inversas y dominar inicialmente el método para encontrar funciones inversas.

2. Cultivar la capacidad de los estudiantes para analizar y resolver problemas y su capacidad para abstraer y resumir.

3. Para mejorar aún más la profundidad del pensamiento de los estudiantes.

Enfoque y dificultades de la enseñanza

El enfoque de la enseñanza está en el entrenamiento de habilidades de funciones inversas.

La dificultad de la enseñanza es la comprensión del concepto de funciones inversas.

Diseño del proceso de enseñanza

1 Revelando el tema

Maestro: Hoy aprenderemos un concepto importante en funciones: inversa. funciones.

p>

(Escribe en la pizarra: Función inversa 1. El concepto de función inversa)

2. Explica la nueva lección.

3. Maestro: ¿Qué es una función inversa? Pensemos juntos en esta pregunta: en una función, si y se usa como variable dependiente e y se usa como variable independiente, ¿puede formar una función?

Estudiante: Puede formar una función.

Profesor: ¿Por qué es una función?

Estudiante: Según la regla, cualquier valor dentro del rango de valores permitido de y tiene una x única correspondiente. Profesor; según la afirmación de este estudiante, esto está en línea con la definición de una función. y también Es decir, según los principios anteriores, existe una función inversa de una función. ¿Cuál es la fórmula analítica de esta función inversa?

Estudiante: Debería serlo.

Profesor: No hay problema con este método de representación, pero no se ajusta a nuestros hábitos. Según la costumbre, la variable independiente se representa mediante. la letra x y la letra y. La variable dependiente, por lo que la expresión analítica de esta función se puede escribir como tal. Después de tales cambios, surge la pregunta, ¿son y son la misma función?

Estudiante: Sí.

Profesor: ¿Puedes explicarlo detalladamente?

Estudiante: Desde la perspectiva de los tres elementos de la función, y tienen el mismo dominio de definición y rango de valores, ambos son R. Al mismo tiempo, las reglas correspondientes son la variable independiente menos 1 dividida por 2 para obtener la variable dependiente, que también es la misma, por lo que son la misma función.

Maestro: Como son iguales, la llamamos función inversa de la función. y=x-1 2 tiene una función inversa?

Estudiante: Sí. Sí.

Profesor: Sí. En otras palabras, las funciones son funciones inversas entre sí. Entonces, ¿todas las funciones tienen funciones inversas?

Estudiante: No todas las funciones tienen funciones inversas.

Profesor: ¿Puedes dar un ejemplo?

Estudiante: Como una función, y se considera la variable independiente y x se considera la variable dependiente. Dentro del rango de valores permitido de y, una y puede corresponder a dos x. 1, entonces x=±1, por lo que no puede formar una función, lo que significa que no tiene función inversa.

Maestro: Eso es muy bueno. Si lo explicamos desde la perspectiva de la forma, lo veremos más claramente, como se muestra en la Figura 1. En la figura, podemos ver que una y dada puede corresponder a dos x.

Falta la Figura 1

A través del estudio de varias funciones específicas, entendemos qué es una función inversa y generalizamos el proceso de investigación anterior sobre la función inversa de la función y=2x+1 En resumen, podemos obtener la definición de función inversa. Dado que esta definición es relativamente larga, leeremos juntos el contenido relevante del libro. (Escriba en la pizarra: (1) Definición de función inversa)

(Pida a los estudiantes que abran el segundo párrafo natural de la página 60 del libro y pida a un compañero que lea este párrafo en voz alta).

Para ayudar a que los estudiantes comprendan la descripción en la definición, el maestro puede usar la función específica anterior como ejemplo para explicar la relación entre y=f(x) y x=j(y). El maestro debe señalar que el significado de la palabra "si" en la definición significa que no. Todas las funciones tienen funciones inversas. )

Después de tener una comprensión preliminar de la función inversa, estudiemos más a fondo este concepto de función especial.

(Escribe en la pizarra: (2) Comprensión de conceptos.)

Profesor: La palabra "inversa" de una función inversa debe ser relativa a la función originalmente dada, luego entre ellos ¿Qué tiene que ver con el tiempo? Estudiemos las dos funciones y=2x 1 y ahora como ejemplo.

Sheng: Las reglas correspondientes son diferentes.

Profesor: ¿Puedes ser más específico?

Estudiante: En la regla correspondiente de estas dos funciones, las posiciones de xey se transponen.

(Investigación

La relación entre dos funciones debe estudiarse desde la perspectiva de los tres elementos de la función. El profesor puede guiar adecuadamente a los estudiantes para que se acerquen a los tres elementos. )

Profesor: ¿Hay algún otro contacto?

Estudiante: El dominio y el dominio de cuando son el dominio del valor y el dominio de y=2x 1 respectivamente.

Maestro: Según nuestra discusión de ahora, podemos encontrar que los tres elementos de la función inversa están determinados por la función original. Cuando se determina la función dada, los tres elementos de la función inversa también lo están. determinada puede abreviarse como "tres determinaciones". Para concretar esta relación definida, ¿dónde está ahora la fuente "inversa" de la función inversa?

Estudiante: El dominio de la función inversa es el dominio de la función inversa; el dominio de la función inversa es el dominio de la función inversa es la posición de x y; y en la regla correspondiente del intercambio de funciones original.

Profesor: De esto podemos ver que la "inversa" de la función inversa en realidad se refleja en las "tres inversas". Entre estas "tres inversiones", el factor decisivo es la inversión de xey. Precisamente por el cambio de sus posiciones se invierten los valores correspondientes, provocando así las otras dos "inversiones".

(Escrito en la pizarra: a. "Tres definidas", b. "Tres inversas")

Profesor: Desde la perspectiva del concepto de función, hemos aclarado la relación entre la función original y su función inversa Por supuesto, también podemos estudiar la relación desde otros aspectos, como por ejemplo: ¿Tiene una función una función inversa? Si existe una función inversa, ¿cuáles son sus propiedades? ¿Qué tiene que ver con las propiedades de la función original? A través de los ejemplos anteriores, podemos encontrar que en los problemas anteriores, las propiedades de la función original juegan un papel decisivo, y las propiedades de la función inversa también están relacionadas con las propiedades de la función original.

Debido a que las funciones y las funciones inversas están tan estrechamente relacionadas, se ha convertido en un aspecto importante de futuras investigaciones sobre funciones. Cuando estudiamos las propiedades de una determinada función, si la función tiene una función inversa, podemos elegir la más simple entre las dos y estudiarla, lo que aumenta el número de métodos para estudiar funciones.

Profesor: Después de tener una comprensión más completa del concepto de función inversa, es natural hacer esta pregunta: Si una función tiene una función inversa, ¿cómo encontrar la función inversa de esta función? Veamos estas dos preguntas juntas.

Ejemplo 1 Encuentra la función inversa de .

Estudiante: (escribiendo en el pizarrón)

La solución es,

Entonces, la función inversa buscada es

(no estandarizada en expresión no entraré en detalles por el momento. Lo comentaré después de completar la solución del Ejemplo 2.)

El ejemplo 2 es la función inversa.

Estudiante: (escribiendo en la pizarra)

Explicación: De y = obtenemos y entonces

．

Profesor: Ahora pidamos a los alumnos que comenten las expresiones de los dos ejemplos.

Estudiante: La función inversa obtenida en el Ejemplo 2 es incorrecta y debería ser (x≥2)

Profesor: ¿Es esta función diferente de la función obtenida en la pizarra?

Estudiante: Los dominios de las dos funciones son x≥1 y x≥2 respectivamente, por lo que son dos funciones diferentes.

Profesor: ¿Por qué (x≥2)?

Estudiante: Debido a que el dominio de la función inversa debe ser el dominio del valor de la función original f(x), y el rango de valores de f(x) debe ser y≥2, la función inversa debe ser obtenido debe ser (x≥2)．

Profesor: Eso está muy bien. Según nuestra comprensión de las funciones inversas, el dominio de una función inversa es el dominio de valor de la función dada original. Por lo tanto, para encontrar el dominio de la función inversa, primero debemos encontrar el rango de la función original. Entonces, ¿cómo debería ajustarse el proceso de solución del Ejemplo 2?

Sheng: Youde, y x≥1, entonces. Debido a que el rango de valores de es, entonces (x≥2).

Maestro: A través de la discusión de ahora, descubrimos y resolvimos el problema de la función inversa en el Ejemplo 2. También notamos que el dominio de la función inversa debe señalarse claramente para garantizar la exactitud de la conclusión. Aparte de eso, ¿hay alguna pregunta?

Estudiante: ¿Por qué no encontraste el rango de valores de la función dada original en el Ejemplo 1?

Maestro: Por favor, discutan este tema, estudiantes.

Estudiante: Debido a que el rango de valores de la función dada es y≠0, esto es lo mismo que la función inversa calculada

El dominio de definición de los números es x≠0, lo que significa que la conclusión es consistente, por lo que no hay error.

Maestro: Se debe decir que la coherencia de las conclusiones de esta pregunta es accidental, no inevitable. Por lo tanto, en el proceso de encontrar la función inversa, se debe encontrar el rango de valores de la función dada originalmente y se debe anotar el dominio de la función inversa en el resultado final. Entonces, ¿cómo debería ajustarse el proceso de redacción de especificaciones del Ejemplo 1?

Estudiante: (escribiendo en el pizarrón)

Explicación: Por lo tanto, la función inversa buscada es

Profesor: A través de la discusión de los dos ejemplos específicos que acabamos de hacer , ¿podemos resumir los pasos básicos para encontrar la función inversa de una función expresada analíticamente?

(Escribe en la pizarra: 2. Pasos para encontrar la función inversa)

Estudiantes: Primero resuelven x a partir de la expresión analítica, luego encuentran el rango de valores de la función dada, y finalmente reescríbalo como una expresión habitual.

Maestro: Resuma estos pasos en unas pocas palabras sencillas:

1. Solución inversa: es decir, considere la fórmula analítica como la ecuación de x y encuentre la fórmula analítica de la función inversa;

2. Intercambio: encuentre el dominio de valor de la función dada y cámbielo al dominio de la función inversa;

3. Reescribir: escriba la función en forma de.

(Escribe en la pizarra: 1. Solución inversa 2. Intercambio 3. Reescribe.)

Profesor: Usemos algunos ejercicios para ver si los estudiantes realmente entienden estos tres pasos básicos. ．

3. Ejercicios de consolidación

Ejercicios: Encuentra la función inversa de las siguientes funciones

1.

(Completado por un estudiante en el pizarrón.)

La solución es x=3 2y-2.

Y f(x)=23x 3, x El rango de valores de ∈(-∞, 3) es f(x)∈(-∞, 4), por lo que f-1(x)=32x-2, x∈(-∞, 4).

2.y=x2-x 1(x≥12)

(Un estudiante completará las dos preguntas en la pizarra al mismo tiempo, los demás estudiantes las completarán en sus cuadernos y el maestro inspeccionará.)

La solución es y=x2-x 1, y x2-x 1-y=0,

Entonces x=1±4y-32,

y y=x2- El rango de valores de x 1(x≥12) es {y|y≥34}, entonces,

f-1(x)1±4x- 32(x≥34).

(Después de que todos los estudiantes hayan terminado, comente según las expresiones de los estudiantes en la pizarra y los problemas que surjan en las respuestas de otros estudiantes.)

Maestro: Primero mire las expresiones de los estudiantes en la pizarra para ver si hay algún problema.

(Un alumno lo corrigió en la pizarra) De y=x2-x 1, obtenemos

x2-x 1-y=0,

Entonces x =1±4y-32 y x≥12, entonces

x=1 4y-32

Y y=x2-x 1 (x≥12), el rango de valores es {y |y≥34}, por lo que la función inversa buscada es

y=1 4x-32 (x≥34).

Profesor: Después de la corrección, las dos preguntas han sido expresado en términos de Ya no hay problema. Hablemos de algunos puntos a los que prestar atención en función de algunos problemas que otros estudiantes han encontrado al resolver problemas.

(1) En el proceso de encontrar la función inversa, un paso debe ser encontrar el rango de valores de la función dada originalmente. Hay muchas formas de evaluar el dominio. Si la función dada es una función común, como una función lineal, una función cuadrática, etc., es más conveniente e intuitivo evaluar el dominio desde la perspectiva de la "forma". p>

(2) Solución La ecuación cuadrática sobre x tiene dos raíces. Debes elegir x de acuerdo con las condiciones dadas en la pregunta y conservar la única solución que cumpla las condiciones.

(3) El uso de símbolos de función inversa en estas dos preguntas Hay una diferencia. La pregunta da el símbolo f (x), entonces la función inversa puede.

Utilice f-1 (x) para expresarlo; de lo contrario, solo se puede expresar en forma de descripción de texto.

Resumen

1. funciones Se genera desde la perspectiva del estudio de la relación entre dos funciones, por lo que su comprensión debe estudiarse desde la perspectiva de tres elementos.

2. de la función dada original y la función inversa Las propiedades de también están determinadas por las propiedades de la función dada originalmente.

3 Encontrar la función inversa en realidad significa hacer dos cosas, una es resolver una ecuación. sobre la variable independiente x, y el otro es encontrar la función del rango de valores.

5. Tarea

Libro de texto Ejercicios P65 Ejercicio 6, Pregunta 3 (1), (3) , Pregunta 4.

Explicación del diseño de enseñanza en el aula

Esta lección sobre funciones inversas es una lección conceptual, por lo que la clave para el éxito o el fracaso de esta lección es el establecimiento del concepto de funciones inversas.

Las funciones inversas son un fenómeno especial en las funciones. El estudio de este concepto es la profundización y mejora de la comprensión del concepto de función y de las propiedades de las funciones, por tanto, el aprendizaje de este. El conocimiento tiene una cierta base de conocimiento y comprensión. Por lo tanto, la principal participación de los estudiantes debe ser la línea principal, y es el pensamiento y la participación bajo el liderazgo del maestro.

El pensamiento de los estudiantes parte del problema, por lo que El punto de partida de esta lección debe ser un problema con un gran espacio de pensamiento, por lo que al diseñar, elija comenzar con un problema. Comenzando con funciones específicas, proporciona los principios para estudiar funciones inversas, lo que permite a los estudiantes elegir sus propios métodos y conductas de investigación. discusiones basadas en este principio durante el proceso de investigación, se brindará orientación oportuna y adecuada a los obstáculos de los estudiantes para guiar el pensamiento de los estudiantes por el camino correcto.

La clave para establecer el concepto de función inversa. es permitir que los estudiantes lo comprendan desde la perspectiva de la relación entre dos funciones, profundizando así su comprensión del concepto de función. En el diseño de enseñanza, los profesores parten de ejemplos específicos y utilizan el conocimiento con el que los estudiantes están más familiarizados y más. Los ejemplos obvios ayudan a los estudiantes a encontrar la perspectiva de los métodos de investigación y luego resumir y abstraer gradualmente el significado de las funciones inversas. Esto también facilita la dispersión de las dificultades y resalta los puntos clave.

La comprensión de un concepto a menudo es difícil. difícil de entender debe reflejarse a través de alguna operación específica, y la flexibilidad y competencia de la operación también pueden reflejar la profundidad de la comprensión conceptual. Por lo tanto, la comprensión del concepto de funciones inversas en esta lección recae en última instancia en la formación y la capacitación. de habilidades de función inversa En el diseño, los maestros permiten a los estudiantes probar, ajustar, resumir, resumir y finalmente formar los pasos básicos de las funciones inversas. En la práctica, se anima a los estudiantes a intentarlo con valentía y no tener miedo al fracaso. Al aprender conocimientos, las lecciones a veces son más profundas que la experiencia.

En el diseño de enseñanza de esta lección, hacemos todo lo posible para permitir que los estudiantes piensen activamente en los problemas, hagan preguntas, analicen problemas y resuelvan problemas desde el principio. de principio a fin. En el proceso de pensamiento activo, mejoramos continuamente las habilidades matemáticas y la alfabetización matemática de los estudiantes.

1. Tema: Anti-uno. Tema: Función inversa (1)

2. Objetivos docentes:

1. Permitir que los estudiantes comprendan funciones inversas;

2. Comprender la relación entre los tres elementos entre la función original y la función inversa, especialmente la relación entre su dominio de definición y rango de valores;

3. Ser capaz de encontrar las funciones inversas de algunas funciones y cultivar el rigor y la flexibilidad del pensamiento de los estudiantes.

3. Enfoque docente y dificultades:

1. Permitir a los estudiantes comprender la reciprocidad de las reglas correspondientes de funciones inversas sobre la base de la comprensión del concepto de funciones inversas;

2. Comprender la relación entre el dominio de definición y el rango de valores de la función original y la función inversa;

3. Al encontrar la función inversa de algunas funciones, los estudiantes pueden desarrollar el rigor y la flexibilidad del pensamiento.

Cuatro. Proceso de enseñanza:

(1) Introducción al repaso

1. La correspondencia especial constituye el mapeo, el mapeo especial obtiene funciones, la conexión y diferencia entre mapeo y funciones, y los tres elementos de las funciones.

2. Mapeo especial: mapeo uno a uno

Para estas dos correspondencias, ¿son mapeos? ¿Está mapeado uno por uno? ¿Es una función?

¿Pueden estos dos mapeos constituir un mapeo a? Si puede (obviamente, solo el mapeo uno a uno), entonces ¿cuál es la relación entre la función determinada por el mapeo obtenido y la función original?

3. Ejemplo: En física, he aprendido la relación funcional entre el desplazamiento y el tiempo en movimiento uniforme, es decir, (donde la velocidad es constante), el desplazamiento es función del tiempo. En , el tiempo es función del desplazamiento.

En este caso decimos que la función es la inversa de la función.

En la función (in, es la variable independiente, es la función de . Resuélvela a partir de la función, puedes obtener la fórmula. De esta manera, para cualquier valor en, a través de la fórmula, existe un valor único le corresponde. Esto muestra que como variable independiente, como función, en este momento decimos que es la función inversa de la función (. A partir de esto, podemos dar la definición de función inversa. p>

(2) Nueva explicación de la lección

1. Definición de la función inversa: en general, supongamos que su rango de valores es De acuerdo con la relación en esta función, podemos obtener if for. El valor en, a través de, tiene un valor único correspondiente, entonces significa que es una variable independiente y una función de la variable independiente. Dicha función se llama función inversa de la función, denotada como