Método de integración finita y método de diferencias finitas

1.1 Concepto

El método de diferencias finitas (FDM) es el método más antiguo utilizado en la simulación numérica por computadora y todavía se usa ampliamente en la actualidad. Este método divide el dominio de la solución en cuadrículas diferenciales y utiliza un número limitado de nodos de la cuadrícula para reemplazar el dominio de la solución continua. El método de diferencias finitas utiliza métodos como la expansión de la serie de Taylor para reemplazar las derivadas en las ecuaciones de control con los cocientes de diferencias de los valores de la función en los nodos de la cuadrícula para la discretización, estableciendo así un sistema de ecuaciones algebraicas con los valores en la nodos de la cuadrícula como incógnitas. Este método es un método de solución numérica aproximada que transforma directamente problemas diferenciales en problemas algebraicos. Los conceptos matemáticos son intuitivos y las expresiones son simples. Es un método numérico temprano y relativamente maduro.

1.2 Formato diferencial

(1) Separados de la precisión del formato, existen formatos de primer orden, formatos de segundo orden y formatos de alto orden.

(2) Considerando la forma espacial de la diferencia, se puede dividir en formato central y formato inverso.

(3) Teniendo en cuenta la influencia del factor tiempo, el formato diferencial también se puede dividir en formato explícito, formato implícito, formato alterno explícito e implícito, etc.

Los formatos diferenciales comunes actualmente son principalmente combinaciones de las formas anteriores. Diferentes combinaciones constituyen diferentes formatos diferenciales. El método de diferencia es principalmente adecuado para cuadrículas estructuradas, y el tamaño del paso de la cuadrícula generalmente se determina en función de las condiciones reales del terreno y las condiciones de estabilidad de Courant.

1.3 Métodos para construir diferencias

Existen muchos métodos para construir diferencias. Actualmente, se utiliza principalmente el método de expansión de series de Taylor. Sus expresiones de diferencia básicas tienen principalmente tres formas: diferencia directa de primer orden, diferencia hacia atrás de primer orden, diferencia central de primer orden y diferencia central de segundo orden, etc. Los dos primeros formatos son precisión de cálculo de primer orden, y los dos últimos Los formatos son precisión de cálculo de segundo orden. Al combinar diferentes formatos diferenciales de tiempo y espacio, se pueden combinar diferentes formatos de cálculo diferencial.

2. FEM

2.1 Descripción general

La base del método de elementos finitos es el principio de variación y el método del resto ponderado. Su idea básica de solución es dividir. el dominio computacional en Para un número limitado de unidades que no se superponen, dentro de cada unidad, seleccione algunos nodos apropiados como puntos de interpolación para la función de solución y reescriba las variables en la ecuación diferencial en los valores de nodo de cada variable o su derivada y la función de interpolación seleccionada. La expresión lineal compuesta por la ecuación diferencial se resuelve discretamente con la ayuda del principio de variación o el método del resto ponderado. El uso de diferentes funciones de peso y formas de funciones de interpolación constituye diferentes métodos de elementos finitos.

2.2 Principio

El método de los elementos finitos se utilizó por primera vez en mecánica estructural. Posteriormente, con el desarrollo de las computadoras, se fue utilizando gradualmente en la simulación numérica de mecánica de fluidos y mecánica de suelos. En el método de elementos finitos, el dominio computacional se divide discretamente en un número limitado de unidades interconectadas y que no se superponen, la función base se selecciona en cada unidad y la combinación lineal de funciones base unitarias se utiliza para aproximar la solución verdadera en el unidad El cálculo completo La función de base general en el dominio puede verse como compuesta por las funciones de base de cada unidad, y la solución en todo el dominio computacional puede verse como compuesta por las soluciones aproximadas en todas las unidades. En la simulación numérica de cauces fluviales, los métodos de cálculo de elementos finitos comunes son el método de Ritz, el método de Galerkin, el método de mínimos cuadrados, etc., que se desarrollan a partir del método de variación y el método residual ponderado.

Según la función de peso y la función de interpolación utilizadas, el método de elementos finitos también se divide en múltiples formatos de cálculo.

(1) A partir de la selección de la función de peso, existen el método de configuración, el método de momentos, el método de mínimos cuadrados y el método de Galerkin.

(2) A partir de la cuadrícula de unidades de cálculo Según; la forma, hay mallas triangulares, mallas cuadriláteras y mallas poligonales;

(3) Según la precisión de la función de interpolación, se divide en funciones de interpolación lineal y funciones de interpolación de alto orden.

Las diferentes combinaciones también constituyen diferentes formatos de cálculo de elementos finitos.

Para la función de peso, el método de Galerkin consiste en tomar la función de peso como función base en la función de aproximación; el método de mínimos cuadrados es hacer que la función de peso sea igual al resto mismo y al valor mínimo; del producto interno Entonces el error cuadrado del coeficiente de sustitución es el más pequeño en el método de configuración, primero se seleccionan N puntos de configuración en el dominio de cálculo. Deje que la solución aproximada satisfaga estrictamente la ecuación diferencial en los N puntos de configuración seleccionados, es decir, que el margen de la ecuación sea 0 en los puntos de configuración. La función de interpolación generalmente se compone de polinomios de diferentes potencias, pero también se puede representar mediante un producto compuesto de funciones trigonométricas o funciones exponenciales, pero la función de interpolación polinómica más utilizada es.

Las funciones de interpolación de elementos finitos se dividen en dos categorías. Un tipo solo requiere que el polinomio de interpolación en sí tome un valor conocido en el punto de interpolación, que se llama interpolación polinómica de Lagrange; el otro tipo no solo requiere interpolación; El polinomio en sí también requiere que su valor derivado tome un valor conocido en el punto de interpolación, lo que se llama interpolación polinómica de Hermite. Las coordenadas unitarias incluyen el sistema de coordenadas rectangular cartesiano y las coordenadas naturales adimensionales, incluidas la simetría y la asimetría. La coordenada adimensional comúnmente utilizada es un sistema de coordenadas local y su definición depende de la forma geométrica de la unidad. Una dimensión se considera la relación de longitud, dos dimensiones se consideran la relación de área y tres dimensiones se consideran la relación de volumen. . Entre los elementos finitos bidimensionales, los elementos triangulares fueron los primeros en utilizarse. Recientemente, los elementos isoparamétricos cuadriláteros se han utilizado cada vez más. Para unidades de fuente de alimentación triangulares y cuadriláteros bidimensionales, las funciones de interpolación comúnmente utilizadas son funciones de interpolación lineal y funciones de interpolación de segundo orden o de orden superior en el sistema de coordenadas rectangulares de interpolación de Lagrange, funciones de interpolación lineal en el sistema de coordenadas de área, de segundo orden. o funciones de interpolación de orden superior, etc.

2.3 Principios básicos y pasos para la resolución de problemas

Para el método de elementos finitos, sus ideas básicas y pasos para la resolución de problemas se pueden resumir de la siguiente manera:

( 1) Establecer una ecuación integral, basado en el principio de variación o el principio de ortogonalización del resto de la ecuación y la función de peso, establezca una expresión integral equivalente al problema de valor límite inicial de la ecuación diferencial, que es el punto de partida del método de elementos finitos.

(2) División de unidades regionales: según la forma del área de solución y las características físicas del problema real, el área se divide en una serie de unidades interconectadas y que no se superponen. La división de unidades regionales es el trabajo preparatorio para utilizar el método de elementos finitos. Esta parte de la carga de trabajo es relativamente grande. Además de numerar las unidades de cálculo y los nodos y determinar la relación entre ellos, también se deben determinar las coordenadas de posición de los nodos. representado, y también es necesario enumerar Se obtienen los números de nodo y los valores de límite correspondientes del límite natural y el límite esencial.

(3) Determine la función de base unitaria y seleccione una función de interpolación que satisfaga ciertas condiciones de interpolación como función de base unitaria en función del número de nodos en la unidad y los requisitos de precisión de la solución aproximada. . La función base en el método de elementos finitos se selecciona en la unidad. Dado que cada unidad tiene una forma geométrica regular, se pueden seguir ciertas reglas al seleccionar la función base.

(4) Análisis unitario: aproxima la función solución en cada unidad con la expresión de combinación lineal de la función base unitaria, luego sustituye la función aproximada en la ecuación integral e integra el área unitaria para obtener el sistema de; Las ecuaciones algebraicas con coeficientes indeterminados (es decir, los valores de los parámetros de cada nodo en la unidad) se denominan ecuaciones unitarias de elementos finitos.

(5) Síntesis general: una vez obtenida la ecuación de elementos finitos unitarios, todas las ecuaciones de elementos finitos unitarios en el área se acumulan de acuerdo con ciertas reglas para formar la ecuación general de elementos finitos.

(6) Procesamiento de condiciones de contorno: generalmente, existen tres formas de condiciones de contorno, que se dividen en condiciones de contorno esenciales (condiciones de contorno de Dirichlet), condiciones de contorno naturales (condiciones de contorno de Riemann) y condiciones de contorno mixtas. condiciones ( Condiciones de contorno de Cauchy). Para las condiciones de contorno naturales, generalmente se satisfacen automáticamente en la expresión integral. Para condiciones de contorno esenciales y condiciones de contorno mixtas, la ecuación general de elementos finitos debe modificarse y satisfacerse de acuerdo con ciertas reglas.

(7) Resuelva la ecuación de elementos finitos: el sistema general de ecuaciones de elementos finitos modificado de acuerdo con las condiciones de contorno es un sistema cerrado de ecuaciones que contiene todas las cantidades desconocidas indeterminadas. Se puede resolver utilizando métodos de cálculo numérico apropiados. para obtener el valor de cada nodo.

3. Método de volumen finito

El método de volumen finito (FiniteVolumeMethod) también se denomina método de volumen de control. La idea básica es: dividir el área de cálculo en una serie de volúmenes de control no repetidos y tener un volumen de control alrededor de cada punto de la cuadrícula integrar la ecuación diferencial a resolver para cada volumen de control para obtener un conjunto de ecuaciones discretas. Las incógnitas son los valores de las variables dependientes en los puntos de la cuadrícula. Para determinar la integral del volumen de control, se debe asumir un patrón de variación de los valores entre los puntos de la cuadrícula, es decir, se debe asumir un perfil de distribución de una distribución por partes de los valores. Desde la perspectiva del método de selección de la región de integración, el método de volumen finito pertenece al método de subregión en el método residual ponderado; desde la perspectiva del método de aproximación de la solución desconocida, el método de volumen finito pertenece al método discreto; usando aproximación local. En resumen, el método de subregión es un método básico de desarrollo de volúmenes finitos. La idea básica del método del volumen finito es fácil de entender y puede conducir a explicaciones físicas directas. El significado físico de las ecuaciones discretas es el principio de conservación de la variable dependiente en un volumen de control de tamaño finito, al igual que la ecuación diferencial expresa el principio de conservación de la variable dependiente en un volumen de control infinitamente pequeño.

La ecuación discreta obtenida por el método del volumen limitado requiere que la conservación integral de la variable dependiente se cumpla para cualquier conjunto de volúmenes de control y, naturalmente, también para toda el área de cálculo. Ésta es una ventaja atractiva del método de volúmenes finitos. Existen algunos métodos discretos, como el método de diferencias finitas, en el que las ecuaciones discretas satisfacen la conservación integral sólo cuando la malla es extremadamente fina, mientras que el método del volumen finito muestra una conservación integral precisa incluso en el caso de mallas gruesas; En lo que respecta a los métodos discretos, el método de volúmenes finitos puede considerarse como un intermedio entre el método de elementos finitos y el método de diferencias finitas. El método de elementos finitos debe asumir el patrón cambiante de valores entre puntos de la cuadrícula (es decir, función de interpolación) y utilizarlo como una solución aproximada. Los métodos de diferencias finitas solo consideran valores en los puntos de la cuadrícula y no consideran cómo cambian los valores entre los puntos de la cuadrícula. El método de volúmenes finitos solo busca los valores de los nodos, el cual es similar al método de diferencias finitas pero cuando el método de volúmenes finitos busca la integral del volumen de control, debe asumir la distribución de valores entre los puntos de la cuadrícula, que es similar; al método de los elementos finitos. En el método de volumen finito, la función de interpolación solo se usa para calcular la integral del volumen de control. Una vez obtenida la ecuación discreta, la función de interpolación se puede olvidar si es necesario; se pueden usar diferentes funciones de interpolación para diferentes términos en el diferencial; ecuación.

4. Análisis comparativo

Método de diferencias finitas (FDM): teoría intuitiva, madura y precisión deslumbrante, pero el procesamiento de áreas irregulares es engorroso, aunque la generación de cuadrículas puede hacer que FDM sea aplicable. a varios Un área regular, pero los requisitos para la continuidad del área son más estrictos. La ventaja de utilizar FDM es que es fácil de programar y fácil de paralelizar.

Método de elementos finitos (FEM): adecuado para procesar áreas complejas, con una precisión deslumbrante. La desventaja radica en la enorme cantidad de memoria y cálculo. El paralelismo es menos intuitivo que FDM y FVM. Sin embargo, el paralelismo FEM es una buena dirección para aplicaciones actuales y futuras.

Método de volumen finito: adecuado para cálculos de fluidos, se puede aplicar a cuadrículas irregulares y es adecuado para paralelismo. Pero la precisión es básicamente de segundo orden. Las ventajas de FVM están surgiendo gradualmente y se están valorando las ventajas especiales de FVM en tensión, deformación y campos electromagnéticos de alta frecuencia.

Comparar:

Método de volumen finito y método de diferencias finitas: una diferencia es que la intersección del método de volumen finito es indefinida (relacionada con los puntos adyacentes tomados, el método integral de ecuación discreta ), y la diferencia finita puede conocer directamente la diferencia en la intersección (ecuación discreta del método diferencial). La diferencia más esencial entre el método de volúmenes finitos y el método de diferencias finitas es que el primero se deriva con base en la ecuación integral (es decir, integrando cada volumen de control), mientras que el segundo se deriva directamente con base en la ecuación diferencial, por lo que la precisión del primero no solo depende de la integración. La precisión también depende de la precisión del procesamiento derivativo. Generalmente, la precisión general del método de volumen finito es de segundo orden, debido al límite de precisión de la integral. El método puede mantener el tipo de conservación para las ecuaciones discretas derivadas de la ecuación de tipo de conservación y esta última se deriva directamente de la ecuación diferencial. La derivación de ecuaciones no implica el proceso de integración. Los diferenciales de varias derivadas son expandidos por Taylor y. Las ecuaciones discretas se escriben directamente. Por supuesto, no necesariamente se requiere conservación y la precisión es diferente del método de volumen finito. Generalmente, el método de diferencias finitas puede lograr una mayor precisión.

Por supuesto que los dos están relacionados. A veces los formularios exportados son los mismos, pero los conceptos son diferentes.

En cuanto al método del volumen finito comparado con el del elemento finito, la adaptabilidad del elemento finito en áreas complejas no tiene ventaja sobre el del volumen finito. En cuanto a la conservación del volumen finito, estas características son obvias en. Conceptos físicos. No existe un elemento finito. En la actualidad, existe cierta brecha entre el método del volumen finito y el método de elementos finitos en términos de precisión.

La principal ventaja del método de elementos finitos sobre diferencias finitas es que puede adaptarse a áreas irregulares, pero esto solo se refiere a diferencias finitas en el sentido tradicional. Algunas diferencias finitas desarrolladas ahora ya pueden adaptarse a áreas irregulares. . Para las ecuaciones elípticas, si el área gobierna, se pueden resolver tanto las diferencias finitas tradicionales como los elementos finitos. En términos de eficiencia de la solución, que se refiere principalmente a la responsabilidad de la programación, la velocidad de convergencia y los requisitos de memoria, la diferencia finita definitivamente tiene ventajas.