¿Cómo realiza la distribución normal operaciones de suma, resta, multiplicación y división?

La distribución normal es una distribución de probabilidad continua que suele utilizarse para describir muchas variables aleatorias en la naturaleza y fenómenos sociales. En aplicaciones prácticas, a menudo necesitamos realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división en la distribución normal. Los siguientes son algunos principios básicos sobre la suma, resta, multiplicación y división de distribuciones normales:

1. Suma: si dos distribuciones normales son independientes y tienen la misma media y varianza, su suma sigue siendo una distribución normal. . Específicamente, si X e Y son dos variables independientes distribuidas normalmente, sus medias son μ1 y μ2 respectivamente, y las varianzas son σ1 y σ2 respectivamente, entonces su suma Z=X Y obedece a la siguiente ecuación: ¿la media es μ1 y la varianza? es la distribución normal de σ1?

2. Resta: Las operaciones de resta se pueden convertir en operaciones de suma. Si X e Y son dos variables normalmente distribuidas y su diferencia es Z=X-Y, podemos convertir la resta en suma: Z=X (-Y). En este caso, existe una distribución normal con media μ1-μ2 y varianza σ1?.

3. Multiplicación: La operación de multiplicación de la distribución normal requiere un procesamiento más complejo. Si X e Y son dos variables distribuidas normalmente, su producto Z=X*Y ya no es una distribución normal. La forma de la distribución después de la multiplicación depende de la correlación entre X e Y. Si X e Y son independientes, entonces Z ya no tendrá una distribución normal, sino que seguirá otra distribución, llamada distribución lognormal.

4. División: La operación de división de la distribución normal también requiere un procesamiento más complejo. Si X e Y son dos variables distribuidas normalmente, su cociente Z=X/Y ya no es una distribución normal. La forma de la distribución después de la división también depende de la correlación entre X e Y.

Las reglas anteriores se aplican a variables distribuidas normalmente bajo ciertas condiciones. En aplicaciones prácticas, también debemos considerar la correlación entre variables, errores de muestreo y otros factores que influyen para realizar cálculos e inferencias precisos.

Fórmula de cálculo de la distribución normal

La distribución normal (también conocida como distribución gaussiana) es una distribución de probabilidad continua común, y su fórmula de cálculo se puede expresar como:

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x - μ)? / (2σ?))

Donde f(x) es probabilidad La función de densidad (PDF) representa la densidad de probabilidad de la variable aleatoria X tomando el valor x.

μ es la media (es decir, el valor esperado) de la distribución normal, que determina la posición central de la distribución.

σ es la desviación estándar de la distribución normal, que determina qué tan extendida está la distribución.

exp representa la función exponencial natural y e es la base del logaritmo natural.

Nota: La fórmula anterior describe la forma estándar de la distribución normal, es decir, la media es 0 y la desviación estándar es 1. Si necesita describir distribuciones normales con diferentes medias y desviaciones estándar, puede hacerlo mediante una transformación lineal.

El papel de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de distribución normal en aplicaciones prácticas

1. Operación de suma: la operación de suma de distribución normal se puede utilizar para describir el efecto total. de múltiples eventos independientes. Por ejemplo, en la gestión de riesgos, si tenemos múltiples variables aleatorias que representan los rendimientos de diferentes carteras, podemos considerar el rendimiento de cada cartera como una variable distribuida normalmente y utilizar operaciones de suma para obtener la distribución de rendimiento de la cartera general.

2. Operación de resta: La operación de resta de distribución normal se puede utilizar para comparar y calcular diferencias. Por ejemplo, en el diseño experimental, a menudo necesitamos comparar las diferencias entre dos grupos de muestras. Si tenemos dos variables distribuidas normalmente que representan los valores observados de dos grupos de muestras, podemos usar la operación de resta para obtener la distribución de las diferencias y realizar análisis estadísticos adicionales.

3. Operación de multiplicación: La operación de multiplicación de la distribución normal juega un papel importante en la transformación de la función de densidad de probabilidad. Por ejemplo, cuando estamos interesados ​​en el producto de eventos aleatorios, podemos usar la operación de multiplicación para derivar la distribución de probabilidad de los resultados. Las aplicaciones específicas incluyen operaciones de convolución en el campo del procesamiento de señales, modelos de tasa de rendimiento en el campo financiero, etc.

4. Operación de división: La operación de división de distribución normal también juega un papel en algunas aplicaciones. Por ejemplo, en la evaluación de riesgos, es posible que necesitemos calcular la tasa de cambio relativa de una variable aleatoria, es decir, la proporción de dos variables distribuidas normalmente. Esto se puede lograr a través de operaciones de división y ayuda a evaluar la propagación y el impacto de los riesgos.

Ejemplos de operaciones de suma, resta, multiplicación y división con distribución normal

1 Operación de suma:

Supongamos que hay dos variables X e Y distribuidas normalmente, y sus medias son μX y μY, las desviaciones estándar son σX y σY respectivamente. Calcule la media y la varianza de su suma Z = X Y.

Solución:

La suma de dos variables distribuidas normalmente todavía obedece a la distribución normal. Entonces, ¿la media de Z es μZ = μX μY y la varianza es σZ = σX?

2. Operación de resta:

Supongamos que hay dos variables X e Y distribuidas normalmente, con medias μX y μY respectivamente y desviaciones estándar σX y σY respectivamente. Calcule la media y la varianza de su diferencia D = X - Y.

Solución:

La diferencia entre dos variables distribuidas normalmente también obedece a una distribución normal. Entonces, ¿la media de D es μD = μX - μY y la varianza es σD = σX?

3. Operación de multiplicación:

Supongamos que hay dos variables independientes X e Y distribuidas normalmente, con medias μX y μY y desviaciones estándar σX y σY respectivamente. Calcule la media y la varianza de su producto P = X * Y.

Solución:

Las operaciones de multiplicación provocarán cambios en la distribución de los resultados. El producto P tiene media μP = μX * μY y varianza σP = (μX? * σY?) (μY? * σX?) (σX? * σY?).

4. Operación de división:

Supongamos que existen dos variables independientes X e Y distribuidas normalmente, con medias μX y μY y desviaciones estándar σX y σY respectivamente. Calcula la media y la varianza de su cociente Q = X / Y.

Solución:

La operación de división también provocará cambios en la distribución de resultados. La media del cociente Q es μQ = μX / μY, y la varianza es σQ? = [(σX? * μY?) (μX? * σY?)] / μY^4.