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1.1 Concepto de función temprana: función bajo el concepto geométrico

G. Galileo (italiano, 1564-1642) en el siglo XVII en "Dos nuevas ciencias" 》El libro contiene el concepto de funciones o relaciones llamadas variables casi de principio a fin, y utiliza el lenguaje de palabras y proporciones para expresar las relaciones de funciones. Alrededor de 1673, Descartes (1596-1650) había notado la dependencia de una variable de otra variable en su geometría analítica, pero aún no se había dado cuenta de la necesidad de refinar el cálculo general. Por lo tanto, hasta que Newton y Leibniz establecieron el cálculo a finales del siglo XVII, Los matemáticos aún no habían aclarado el significado general de las funciones y la mayoría de las funciones se estudiaban como curvas.

1.2 El concepto de función en el siglo XVIII - función bajo el concepto algebraico

1718

BernoulliJohann (Ray, 1667- 1748), basado en el concepto de la función de Leibniz, el concepto de función estaba claramente definido: una cantidad compuesta por cualquier variable y cualquier forma de constante

, Bernoulli toma la variable x Una cantidad compuesta por una constante y una constante de cualquier manera es llamada "función de x", que se expresa en cualquier forma mencionada en el concepto de función, incluidas expresiones algebraicas y expresiones trascendentales.

18

A mediados de siglo, Euler (L. Euler, Suiza, 1707-1783) dio un símbolo funcional muy vívido que todavía se utiliza en la actualidad. La definición dada por Euler es: la función de una variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma por esta variable y algunos números, es decir, constantes. Llamó función analítica a la definición de función dada por John Bernoulli y la distinguió además en funciones algebraicas (solo operaciones algebraicas entre variables independientes) y funciones trascendentales (funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones de potencias irracionales de variables), y también la consideró. "funciones arbitrarias" (funciones que representan curvas arbitrarias), no es difícil ver que la definición de función dada por Euler es más general y tiene un significado más amplio que la definición de John Bernoulli.

1.3 El concepto de función en el siglo XIX: función bajo la relación correspondiente

En 1822, Fourier (Fourier, 1768-1830) descubrió que algunas funciones se pueden representar mediante curvas. también puede expresarse mediante una fórmula o mediante múltiples fórmulas, poniendo así fin al debate sobre si el concepto de función puede representarse mediante una única fórmula y avanzando la comprensión de las funciones a un nuevo nivel. En 1823, Cauchy (Cauchy, 1789-1857) dio la definición de función a partir de la definición de variables. También señaló que aunque las series infinitas son una forma eficaz de especificar funciones, no necesariamente requieren análisis de expresiones. , pero todavía creía que las relaciones funcionales se pueden expresar mediante múltiples expresiones analíticas, lo cual era una gran limitación. La persona que superó esta limitación fue el destacado matemático Dirichlet.

1837

Dirichlet (Alemania, 1805-1859) creía que no importa cómo establecer la relación entre x e y Amplió el concepto de función y señaló que: "Para cada valor determinado de x en un intervalo determinado, y tiene uno o más valores determinados, entonces y se denomina función de x". La definición de función de Dirichlet es excelente. Evita todas las descripciones de dependencias en definiciones de funciones anteriores, es concisa y precisa. , y es aceptado incondicionalmente por todos los matemáticos de una manera completamente clara. En este punto, podemos decir que se ha formado el concepto de función y la definición esencial de función. Esto es lo que la gente suele llamar la definición de función clásica.

Después de que la teoría de conjuntos fundada por Cantor (Alemania, 1845-1918) ocupara una posición importante en las matemáticas, Veblen (estadounidense, 1880-1960) utilizó "conjunto" y "El concepto de "correspondencia" da la Definición de funciones modernas A través del concepto de conjunto, se especifican más la relación de correspondencia, el dominio de definición y el rango de valores de las funciones, y se rompe el límite de "las variables son números". Las variables pueden ser números u otros objetos (puntos, líneas, superficies, volúmenes, vectores, matrices, etc.).

1.4 Concepto de función moderna: función bajo la teoría de conjuntos

En 1914, F. Hausdorff (F. Hausdorff) en "Esquema de la teoría de conjuntos" utiliza el "orden" para definir funciones. Su ventaja es que evita los conceptos poco claros de "variable" y "correspondencia", pero su desventaja es que también introduce el concepto poco claro de "pareja secuencial". Kuratowski utilizó el concepto de conjunto para definir "par de órdenes" en 1921, es decir, el par de órdenes (a, b) es el conjunto {{a}, {b}}, por lo que la definición de Hao

Sdolf es muy estricto. La nueva definición de función moderna en 1930 es que si para cualquier elemento x del conjunto M, siempre hay un elemento y determinado por el conjunto N que le corresponde, entonces se dice que una función está definida en el conjunto M, registrada como

y=f(x). El elemento x se llama variable independiente y el elemento y se llama variable dependiente.

Después de más de trescientos años de refinamiento y transformación, la definición del concepto de función ha formado la definición moderna de función, pero esto no significa

el fin de la historia. del desarrollo del concepto de función 20 En la década de 1940, debido a las necesidades de la investigación física, se descubrió una función llamada Dirac-delta que no es cero sólo en un punto, sino que su integral en toda la recta es igual a.

1. Esto fue originalmente Es increíble bajo la definición de función e integral, pero debido a la introducción del concepto de función generalizada, los conceptos de función, medida y la función de Dirac-δ antes mencionada. están unificados. Por tanto, con el desarrollo de otras disciplinas basadas en las matemáticas, el concepto de funciones seguirá ampliándose.

Vector (vector) también se llama vector, es decir, una cantidad que tiene magnitud y dirección se llama vector. Los vectores se introducen en las matemáticas como cantidades como fuerza, velocidad y aceleración.

Aristóteles de Grecia (384 a.C.-322 a.C.) ya sabía que la fuerza se puede expresar como un vector, y la síntesis de dos fuerzas se puede obtener a partir de dos vectores aplicando la ley de los paralelogramos. Es decir, utilice los vectores representados por las dos fuerzas como lados para construir un paralelogramo, y el tamaño y la dirección de su diagonal representan el tamaño y la dirección de la fuerza resultante (como se muestra en la siguiente figura).

El alemán Stephen (1548?-1620?) aplicó la ley del paralelogramo a problemas de estática. Galileo Galilei (1564-1642) afirmó claramente esta ley.

Más tarde, el danés Vessel (1745-1818) y el suizo Argonne (1768-1822) descubrieron la representación geométrica de los números complejos, y el alemán Gauss (1777-1855) estableció el concepto de plano complejo. Como resultado, los vectores tienen una correspondencia uno a uno con números complejos, lo que no solo brinda la posibilidad de realizar números imaginarios, sino que también nos permite usar operaciones con números complejos para estudiar vectores.

El matemático británico Heaviside (1850-1925) hizo muchas contribuciones al análisis vectorial. Primero dio la definición de vector: vector =a b c. Aquí, son vectores unidireccionales a lo largo de los ejes x, y y z respectivamente, y los coeficientes a, b y c son números reales, llamados componentes, etc. En cuanto a la teoría de los vectores n-dimensionales, fue introducida por el matemático alemán Grassmann en 1844.

El origen y desarrollo de la trigonometría

El nombre inglés de trigonometría, Trigonometría, se acordó en el año 1600 d.C. En realidad, se deriva del griego trigono (trigonometría) y metrein (medición). ), cuyo significado original es triangulación (solución), disciplina basada en el estudio de la relación entre los lados y ángulos de triángulos planos y triángulos esféricos, con el propósito de lograr aplicaciones de medición.

En sus inicios, la trigonometría formaba parte de la astronomía. Posteriormente, el alcance de la investigación se fue ampliando gradualmente y se convirtió en un tema con las funciones trigonométricas como objeto principal. Hoy en día, el ámbito de investigación de la trigonometría no se limita a los triángulos, sino que también es la base del análisis matemático y una herramienta necesaria para la investigación científica práctica.

(1) Desarrollo en Occidente

La trigonometría se fundó alrededor del año 150 a. C. Ya en el año 300 a. C., los antiguos egipcios tenían algunos conocimientos de trigonometría, que se utilizaban principalmente para medir. . Por ejemplo, construir pirámides, organizar tierras cultivadas después de la inundación del río Nilo, realizar comercio y navegación y observar fenómenos astronómicos. Alrededor del año 600 a. C., el antiguo erudito griego Tales (p. 13) utilizó el principio de triángulos semejantes para medir la altura de la pirámide, lo que se convirtió en el comienzo de la triangulación occidental. Después del siglo II a.C., el astrónomo griego Hiparco de Nicea elaboró ​​una "tabla de cuerdas" similar a la actual tabla de funciones trigonométricas para las necesidades de las observaciones astronómicas, es decir, en un círculo fijo, las cuerdas subtenidas por diferentes ángulos centrales se convirtieron en la Primer fundador de la trigonometría occidental. Este logro le valió el título de "Padre de la trigonometría".

En el siglo II d.C., el astrónomo y matemático griego Ptolomeo (85-165)

heredó los logros de Hippachos, los organizó y escribió "Astronomía". "Dacheng" tiene 13 volúmenes. incluyendo tablas de cuerdas cada medio grado de 0° a 90° y varias expresiones relacionales equivalentes a las propiedades de las funciones trigonométricas. Se considera el primer trabajo en Occidente que analiza sistemáticamente la teoría de la trigonometría. Menelao, que nació aproximadamente al mismo tiempo, escribió un libro "Esferología" dedicado a la trigonometría esférica. El contenido incluye los conceptos básicos de los triángulos esféricos y la extensión de muchos teoremas de triángulos planos a la esfera, así como muchas propiedades únicas de los triángulos esféricos. . Su trabajo llevó la trigonometría griega a su apogeo.

(2) Desarrollo de China

El concepto de función de ángulo no apareció en la antigua mi país, y solo se utilizó el teorema de Pitágoras para resolver algunos problemas prácticos dentro del alcance de la trigonometría. . Según el "Zhou Bi Suan Jing", Chen Zi, que era aproximadamente al mismo tiempo que Tales, había utilizado el teorema de Pitágoras para medir la altura del sol. El método se denominó más tarde "técnica de gran diferencia". 1631 Se importó por primera vez la trigonometría occidental, representada por el "Daqi" coeditado por los misioneros alemanes Deng Yuhan, Tang Ruowang y el erudito chino Xu Guangqi (p20). Ese mismo año, Xu Guangqi y otros también compilaron "El significado completo de la topografía", que incluía discusiones sobre trigonometría plana y trigonometría esférica. En 1653, Xue Fengzuo y el misionero polaco Munige coeditaron el "Algoritmo trigonométrico", reemplazando "gran prueba" por "triángulo" y estableciendo el nombre "triángulo". En 1877, Hua Hengxu y otros mantuvieron discusiones independientes sobre temas como la expansión de series trigonométricas.

La trigonometría moderna estudia principalmente las funciones especiales de los ángulos y sus aplicaciones en la ciencia y la tecnología, como los cálculos geométricos. La mayoría de ellas se desarrollaron en el siglo XX.

II.La evolución de las funciones trigonométricas

La función seno, la función coseno, la función tangente, la función cotangente, la función secante y la función cosecante se denominan colectivamente funciones trigonométricas.

Aunque el conocimiento trigonométrico se originó en la antigüedad, el uso de la razón de segmentos de recta para definir funciones trigonométricas fue dado por primera vez por Euler (p16) (1707-1783) en su libro "Introducción al análisis de infinitesimales". Antes de Euler, la mayoría de las funciones trigonométricas se estudiaban dentro de un círculo con un radio determinado. Por ejemplo, el antiguo griego Ptolomeo fijó el radio en 60; el indio Ayebodo (alrededor de 476-550) fijó el radio en 3438; el matemático alemán Rickio Montenas (1436-1476) una vez fijó el radio para calcular con precisión el valor de la función trigonométrica. El radio es 600.000; posteriormente, para desarrollar una tabla de senos más precisa, el radio se estableció en 107. Por lo tanto, las funciones trigonométricas en ese momento eran en realidad las longitudes de algunos segmentos de línea dentro del círculo definido.

El matemático italiano Liticus (1514-1574) cambió el enfoque de sus predecesores, es decir, el seno, que en el pasado generalmente se llamaba AB, conectaba firmemente el seno y el círculo (como se muestra en la página siguiente), pero Liticus lo llamó seno de ∠AOB, de modo que el valor del seno está directamente relacionado con el ángulo, y el círculo O se convierte en una posición subordinada.