¡Estoy buscando urgentemente pruebas de que los polinomios de grado 5 o superior no tienen radicales!
El problema del uso de radicales para resolver ecuaciones de cuarto grado o inferiores se resolvió con éxito en el siglo XVI, pero la exploración de soluciones de fórmulas generales para ecuaciones de quinto grado y superiores continuó en los siglos siguientes. Poco concluyente. Alrededor de 1770, el matemático francés Lagrange recurrió al pensamiento algebraico y propuso que la teoría de la sustitución y la sustitución de raíces de ecuaciones es la clave para resolver ecuaciones algebraicas, y utilizó el método de presolución de Lagrange, es decir: usar 1 cualquier n veces Raíz unitaria ( n = 1), introdujo la solución preliminar x1+ x2+ 2x3+...+ n-1xn, y analizó en detalle las soluciones raíz de la segunda, tercera y cuarta ecuaciones. Su trabajo promovió fuertemente el progreso de la teoría de ecuaciones algebraicas. Sin embargo, su método no logró proporcionar una solución radical a la ecuación quíntica general y sospechaba que la ecuación quíntica no tenía solución radical. También fracasó en su búsqueda de soluciones algebraicas para ecuaciones generales de grado n, dándose cuenta así de que las ecuaciones algebraicas generales de grado n o más no pueden tener soluciones radicales. Su método de pensamiento e investigación sobre la sustitución radical trajo iluminación a las generaciones futuras.
En 1799, Ruffini demostró que la presolución de una ecuación de quinto grado o más no puede ser menor que cuatro veces, demostrando así que la ecuación de quinto grado o más no puede resolverse radicalmente, sino su prueba no es perfecta. Ese mismo año, el matemático alemán Gauss fue pionero en un nuevo método para demostrar la teoría básica del álgebra. No calculó las raíces, pero demostró su existencia. Posteriormente, comenzó a explorar soluciones específicas a ecuaciones de orden superior. En 1801, resolvió el hecho de que la ecuación del círculo subdividido xp-1=0 (p es un número primo) puede resolverse mediante radicales, lo que indica que no todas las ecuaciones de orden superior no pueden resolverse mediante radicales. Por lo tanto, queda por aclarar si todas o algunas de las ecuaciones de orden superior se pueden resolver utilizando radicales.
El matemático noruego Abel comenzó a resolver este problema. Entre 1824 y 1826, Abel comenzó a estudiar las propiedades de las raíces de ecuaciones que pueden resolverse mediante radicales. Corrigió un defecto en la prueba de Ruffini y demostró rigurosamente que si una ecuación puede resolverse mediante radicales, entonces la expresión de la raíz es Every. La raíz que aparece en se puede expresar como raíz de una ecuación y alguna raíz unitaria de un número racional. Usando este teorema, también demostró el teorema de Abel, es decir, las ecuaciones con grados superiores a cuatro grados no se pueden resolver algebraicamente. Luego consideró más a fondo la cuestión de qué ecuaciones específicas de orden superior podrían resolverse utilizando radicales. Sobre la base de la teoría de la solubilidad de las ecuaciones ciclotómicas gaussianas, resolvió el problema de la solubilidad de un tipo especial de ecuaciones de cualquier grado y descubrió que las características de este tipo especial de ecuaciones son: todas las raíces de la ecuación son una de las raíces ( suponiendo que es una función racional de x), dos raíces cualesquiera q1(x) y q2(x) satisfacen q1q2(x)=q2q1(x), y q1 y q2 son funciones racionales. Esta ecuación ahora se llama ecuación abeliana. De hecho, algunas ideas y resultados especiales de grupos han estado involucrados en el estudio de la ecuación de Abel, pero Abel no se dio cuenta y no construyó explícitamente el conjunto de sustitución de las raíces de la ecuación (porque si todas las raíces de la ecuación son determinado por la raíz x1 Expresado como una función racional qj(x1), j = 1,2,3,....,n, cuando se usa otra raíz xi para reemplazar x1, donde 1 < i≤n, entonces qj( xi) es la ecuación original. Las raíces de se sustituyen en diferentes órdenes (j=1,2,...,n).
(De hecho, cabe decir que las raíces xi=q1(xi),q2(xi),...,qn(xi) son sustituciones de las raíces x1,x2,...,xn), sólo la conmutatividad q1q2( x)=q2q1(x) puede mostrar que siempre que se cumpla esta propiedad, la ecuación se puede reducir a una ecuación auxiliar de bajo orden y la ecuación auxiliar se puede resolver usando raíces a su vez.
Abel resolvió el problema de construir ecuaciones de cualquier grado con solución algebraica, pero no logró resolver el problema de determinar si una ecuación dada se puede resolver radicalmente. Fue en este contexto que el matemático francés Galois se hizo cargo de los asuntos pendientes de Abel.
Cuando Galois demostró que no existe una solución fundamental general para ecuaciones de quinto grado o superior, como Lagrange, partió de la sustitución de las raíces de la ecuación. Después de estudiar sistemáticamente las propiedades de permutación de las raíces de las ecuaciones, propuso algunos criterios definidos para juzgar si los radicales pueden encontrar soluciones a ecuaciones conocidas, pero estos métodos lo llevaron a considerar colecciones de elementos llamados "grupos" en la teoría algebraica abstracta. En su artículo de 1831, Galois propuso por primera vez el término "grupo" y llamó grupo a una colección de arreglos cerrados, definiendo el concepto de grupo de arreglos por primera vez. Él cree que comprender el grupo de permutación es la clave para resolver la teoría de ecuaciones. Una ecuación es un sistema cuya simetría puede describirse mediante las propiedades del grupo. A partir de entonces, comenzó a transformar problemas de teoría de ecuaciones en problemas de teoría de grupos para resolver, y estudió directamente la teoría de grupos. Propuso muchos conceptos nuevos sobre la teoría de grupos, lo que condujo a su propia teoría de grupos de Galois, por lo que las generaciones posteriores lo llamaron el fundador de la teoría de grupos.
Para una ecuación de n-ésimo grado con coeficientes racionales x+axn-1+a2xn-2+...+an-1x+an=0 (1)
Supongamos que su Cada transformación de n raíces x1, grupo de permutación. La solubilidad de las ecuaciones puede reflejarse en ciertas propiedades de los grupos de sustitución de las raíces, por lo que Galois transformó el problema de la solubilidad de ecuaciones algebraicas en un problema de análisis de las propiedades de los grupos de sustitución relevantes y sus subgrupos. Ahora, el grupo de sustitución asociado con una ecuación (que exhibe las propiedades de simetría de la ecuación) se llama grupo de Galois, es decir, el grupo en el dominio de los coeficientes de una ecuación dada. El grupo de ecuaciones de Galois es el grupo de sustitución más grande y satisface este requisito para toda función polinómica con valores racionales sobre las raíces, o se puede decir que para cualquier función polinómica con valores racionales sobre las raíces, el grupo de Galois grupo Cada sustitución deja el valor de la función sin cambios. Galois fundó la teoría de grupos para aplicarla a la teoría de ecuaciones, pero no la limitó a ésta, sino que la extendió a otros campos de investigación. Desafortunadamente, la teoría de grupos de Galois era demasiado profunda para que la gente de principios del siglo XIX la entendiera. Incluso los maestros de matemáticas de la época no pudieron comprender la esencia de sus ideas y trabajos matemáticos, por lo que su artículo no se publicó. Lo que es aún más lamentable es que Galois murió joven en un estúpido duelo a la edad de 21 años, y tenemos que sentir pena por este genio. No fue hasta la década de 1860 que su teoría fue finalmente comprendida y aceptada.
La teoría de los grupos de Galois está reconocida como uno de los logros matemáticos más destacados del siglo XIX. Respondió de manera integral y exhaustiva a la cuestión de la solubilidad de las ecuaciones y resolvió un problema difícil que había desconcertado a los matemáticos durante cientos de años. La teoría de grupos de Galois también proporciona discriminantes generales para juzgar si las figuras geométricas se pueden dibujar con regla y compás, y resuelve satisfactoriamente el problema que no se puede resolver dividiendo cualquier ángulo o potencia en tres partes iguales. Lo más importante es que la teoría de grupos ha abierto un nuevo campo de investigación, reemplazando la investigación de cálculo con investigación estructural, cambiando la forma de pensar que se centra en la investigación de cálculo al uso de conceptos estructurales y clasificando operaciones matemáticas, lo que hace que la teoría de grupos se desarrolle rápidamente. una nueva rama de las matemáticas y tuvo un impacto significativo en la formación y desarrollo de las matemáticas modernas. Al mismo tiempo, esta teoría tuvo un gran impacto en el desarrollo de la física y la química, e incluso en el surgimiento y desarrollo de la filosofía estructuralista en el siglo XX. http://www.nhyz.org/psz/%CA%FD%D1%A7%CA%B7/buer.html