¿Cómo aprender bien álgebra? ¡urgente! ! !
[Análisis de ideas]
Algunas sugerencias, consúltalas
Deseo que estudies cada vez mejor, jeje~~~
[Proceso de resolución de problemas]
Tenga confianza. ¡No dudes de tus habilidades! De hecho, ¡el poder está en tu corazón!
No tengas miedo de encontrar dificultades y admite su existencia. Ante las dificultades hay que superarlas, no hay otro camino.
Aquí te dejo algunas opiniones personales, que no están completas por falta de tiempo, espero que te sean de utilidad
1. Los problemas del día se solucionarán en el mismo. día. No pospongas las cosas y mucho menos tengas pensamientos vagos. No creas que los problemas de hoy no están resueltos y podrán resolverse mañana. De hecho, habrá nuevos problemas al día siguiente, ¿y hay que arrastrar los problemas hasta pasado mañana? Los problemas eran originalmente muy menores, pero a medida que se acumulaban durante mucho tiempo, se volvieron numerosos, pesados y difíciles. ¡Antes del examen, estas preguntas te dejarán sin aliento y sin poder levantar la cabeza!
2. Preste atención a la conexión del conocimiento. La característica más importante de los nuevos libros de texto es que los puntos de conocimiento ya no son continuos. Más bien, es una espiral escalonada que requiere que los estudiantes aprendan a ordenar y conectar conocimientos bajo la guía de los profesores. Este tipo de clasificación y conexión no consiste simplemente en hacer una tabla y dibujar un análisis. También es necesario prestar atención a la conexión entre las preguntas y pensar qué puntos de conocimiento y pensamientos pretende probar esta pregunta.
3. Prestar atención a la acumulación de ideas matemáticas y métodos de resolución de problemas. Hay muchas ideas para resolver problemas matemáticos, pero son muy sencillas siempre que las entiendas con el corazón. No memorices solo el nombre de la idea, sino presta atención a la conexión entre la idea y el tema. Es mejor vincular cada idea de resolución de problemas a un ejemplo típico para memorizar y experimentar, de modo que pueda dominar las matemáticas.
4. ¡No seas demasiado ambicioso! Mucha gente comete este error: no pueden resolver preguntas difíciles, pero tampoco quieren resolver preguntas sencillas. Entonces déjame preguntarte: ¿Qué tema quieres hacer? Los edificios altos se elevan desde el suelo, ¡pero no se pueden alcanzar mil millas sin dar pasos! No importa cuál sea el tema, debemos calmarnos y hacerlo. Una vez que lleguemos, estaremos en paz con ello, y una vez que lo hagamos, ¡lo haremos bien! Pensar con fluidez durante los exámenes es en realidad inseparable de la acumulación habitual de meditación. Algunas personas siempre dicen: "Si no escribo en serio ahora, definitivamente escribiré bien cuando haga el examen". Normalmente tienes tiempo suficiente y el profesor escribe en la pizarra, pero no lo recuerdas. ¿Cómo puedes anotarlo durante el examen?
5. No pienses en las “dificultades”. Nuestros exámenes a gran escala están abiertos a toda la ciudad y no habrá preguntas que requieran pensamientos extraños, por lo que debe saber que las preguntas están dentro de sus posibilidades. Entonces hay que entender que por difícil que sea la pregunta, ¡nunca se desviará de su origen! ¡El llamado problema difícil es simplemente que hay más puntos de conocimiento para examinar! En otras palabras, ¡los acertijos se componen de muchas pequeñas preguntas! ¡Mientras puedas superar uno por uno, el problema ya no se llamará "problema"! Entonces, volviendo a las palabras anteriores, esto requiere que usted haga un buen trabajo de acumulación y experiencia, preste atención al conocimiento y al conocimiento, y a las conexiones y diferencias entre preguntas y temas. Solo acumulando más y más podrá afrontar fácilmente las cosas. examen. Definición: Una ecuación que contiene números desconocidos se llama ecuación.
Propiedades básicas de la ecuación 1: Si se suma (o resta) el mismo número BGFDFHBDF o la misma fórmula algebraica a ambos lados de la ecuación al mismo tiempo, el resultado sigue siendo una ecuación.
Expresado en letras: si a=b, c es un número o una expresión algebraica. Entonces:
(1)a c＝b c
(2)a-c＝b-c
Propiedad básica de la ecuación 2: Multiplica o divide ambos lados de la ecuación en al mismo tiempo El resultado obtenido con el mismo número que no es 0 sigue siendo una ecuación.
(3) Si a=b, entonces b=a (simetría de la ecuación).
(4) Si a=b, b=c entonces a=c (transitividad de la ecuación).
Algunos conceptos de ecuaciones
Solución de la ecuación: Hacer que la tercera igual funcione vdslnnldfn en los lados izquierdo y derecho de la ecuación nl.n. ¿Cuánto tienes, dónde, vn, etc. El valor de las incógnitas se llama solución de la ecuación.
Resolver ecuaciones: El proceso de encontrar soluciones a ecuaciones se llama resolución de ecuaciones.
La base para resolver ecuaciones: 1. Términos móviles; 2. Propiedades básicas de las ecuaciones; 3. Combinación de términos similares; 4. La relación entre suma, resta, multiplicación y división;
Pasos para resolver ecuaciones: 1. Calcular lo que se puede calcular primero 2. Convertir - Calcular - Resultado
Por ejemplo: 3x=5*6
3x=30
x=30/3
x=10
Mover términos: después de cambiar los signos de algunos términos en la ecuación, muévase Movido al Por otro lado, esta deformación se llama cambio de término, según la propiedad fundamental de la ecuación 1.
Las ecuaciones incluyen ecuaciones enteras y ecuaciones fraccionarias GFHFNHFD.
Ecuación integral: Una ecuación en la que ambos lados de la ecuación son números enteros respecto a la incógnita se llama ecuación integral.
Ecuación fraccionaria: Una ecuación que contiene un número desconocido en el denominador se llama ecuación fraccionaria.
[Edite este párrafo] Una ecuación lineal de una variable
La aprenderá en el capítulo 3 del primer volumen de matemáticas de séptimo grado publicado por People's Education Press, y aprenderá Aprendalo en el Capítulo 7 del segundo volumen de Matemáticas de séptimo grado publicado por Hebei Education Press, Capítulo 1 de la Edición Educativa de Jiangsu para el Grado 5
Definición: Una ecuación integral que contiene solo una incógnita y el grado. de la incógnita es una se llama ecuación lineal de una variable. La forma habitual es kx b=0(k, b es una constante y k≠0).
Solución general:
⒈Quita el denominador. Multiplica ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de cada denominador.
2. Eliminar corchetes Generalmente, primero se eliminan los corchetes, luego se eliminan los corchetes y finalmente se eliminan los corchetes. Pero a veces el orden se puede determinar según la situación para facilitar el cálculo. Según la ley distributiva de la multiplicación.
⒊Transfiere términos. Mueve los términos que contienen números desconocidos en la ecuación al otro lado de la ecuación y mueve los términos restantes al otro lado de la ecuación. No olvides cambiar los signos al moverte. términos.
⒋ Combina términos similares y transforma la ecuación original a la forma de ax=b(a≠0).
⒌Coeficiente Divide ambos lados de la ecuación por el coeficiente de la incógnita al mismo tiempo.
⒍Obtén la solución de la ecuación.
Ecuaciones con la misma solución: Si las soluciones de dos ecuaciones son iguales, entonces las dos ecuaciones se llaman ecuaciones con la misma solución.
Principio de la misma solución de ecuaciones: HFDHDFHF
1. La ecuación que se obtiene sumando o restando el mismo número o la misma ecuación a ambos lados de la ecuación es una ecuación con el misma solución que la ecuación original.
2. La ecuación obtenida al multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por un mismo número que no es 0 es la ecuación con la misma solución que la ecuación original.
Métodos importantes para resolver problemas escritos sobre ecuaciones lineales de una variable:
1. Revisa las preguntas detenidamente
2. Analiza cantidades conocidas y desconocidas
⒊Encontrar una relación de equivalencia
⒋Asumir el número desconocido
⒌Serie de ecuaciones
⒍Solución de la ecuación FHFDHF
⒎Verificar ( jian three Sound) test
⒏Escribe la respuesta
Ejemplo de diseño didáctico
Objetivos didácticos
1. Permitir a los estudiantes dominar inicialmente los métodos y pasos para resolver problemas simples mediante ecuaciones lineales de una variable y enumerar problemas simples resueltos mediante ecuaciones lineales de una variable;
2. Cultivar las habilidades de observación de los estudiantes de HFD y mejorar su capacidad para analizar y resolver problemas;
3. Ayude a los estudiantes de HHF a desarrollar inicialmente buenos hábitos de pensar correctamente sobre los problemas.
Enfoques y dificultades de la enseñanza
Métodos y pasos para la resolución de problemas verbales sencillos con ecuaciones lineales de una variable.
Diseño del proceso de enseñanza en el aula
1. Plantear preguntas a partir de las estructuras cognitivas originales de los estudiantes
En la escuela primaria de aritmética DHFDNHFDHG, aprendimos a utilizar métodos aritméticos para resolver problemas. Conocimiento relevante sobre problemas prácticos, entonces, ¿se puede resolver un problema práctico aplicando una ecuación lineal de una variable? Si se puede solucionar, ¿cómo? ¿Cuáles son las ventajas de usar ecuaciones lineales para resolver problemas escritos en comparación con usar métodos aritméticos para resolver problemas escritos?
Para responder a las preguntas anteriores, veamos la siguiente pregunta de ejemplo.
Ejemplo 1 Si 3 veces un determinado número menos 2 es igual a la suma de un determinado número más 4, encuentra un determinado número.
(Primero resuélvelo usando métodos aritméticos, deja que los estudiantes respondan y el profesor escribe en el pizarrón)
Solución 1: (4 2)÷(3-1)= 3.
Respuesta: Un determinado número es 3.
(En segundo lugar, use el método algebraico para resolver FDHDFH, guías para maestros, los estudiantes completan oralmente)
Solución 2: suponga que un cierto número es x, entonces 3x-2=x 4.
Resolviéndolo, obtenemos x=3.
Respuesta: Un determinado número es 3.
Al observar las dos soluciones del Ejemplo 1, es obvio que no es fácil pensar en el método aritmético, pero en el método de establecer incógnitas, enumerar ecuaciones y resolver las ecuaciones para encontrar la solución a la aplicación. El problema tiene una manera de hacerlo difícil. Fácil de entender, este es uno de los propósitos para que aprendamos a usar ecuaciones lineales de una variable para resolver problemas escritos.
Sabemos que una ecuación es una ecuación que contiene números desconocidos, y la ecuación representa una relación de igualdad. Por lo tanto, para cualquier condición proporcionada en un problema escrito, primero debes encontrar una relación de igualdad y luego expresar esta relación de igualdad en una ecuación.
En esta lección, usaremos ejemplos para ilustrar cómo encontrar una relación de igualdad y los métodos y pasos para convertir esta relación de igualdad en una ecuación.
2. Profesores y estudiantes analizan y estudian conjuntamente los métodos y pasos para resolver problemas verbales simples usando ecuaciones lineales de una variable
Ejemplo 2 Después del 15% de la harina almacenada en una harina El almacén ha sido enviado. Quedan 42,500 kilogramos. ¿Cuánta harina tenía originalmente este almacén?
Análisis de profesores y alumnos:
1. ¿Cuáles son las cantidades conocidas y desconocidas dadas en esta pregunta?
2. ¿Cuál es la relación entre cantidades conocidas y cantidades desconocidas? (Peso original - Peso de envío = Peso restante)
3. Si la harina original es x kilogramos, ¿cuántos kilogramos de harina se pueden expresar como enviados? Usando las relaciones de igualdad anteriores, ¿cómo diseñar las ecuaciones?
El proceso de análisis anterior se puede enumerar de la siguiente manera:
Solución: Supongamos que originalmente hay x kilogramos de harina, luego 15% >x-15%x=42 500,
Entonces x=50 000.
Respuesta: Resulta que son 50.000 kilogramos de harina.
En este momento, permita que los estudiantes discutan: Además de la forma de expresión anterior, la relación de igualdad en esta pregunta
Además de la fórmula, ¿hay otras expresiones? Si es así, ¿qué es?
(Además, el peso original = el peso enviado y el peso restante; el peso original - el peso restante = el peso enviado)
El docente debe señalar: (1) Las dos relaciones de igualdad La expresión es la misma que "peso original - peso enviado = peso restante". Aunque la forma es diferente, la esencia es la misma. Puedes elegir cualquiera de las relaciones de igualdad para formular la ecuación;
(2) Ejemplo 2 El proceso de resolución de ecuaciones es relativamente simple y los estudiantes deben prestar atención a imitarlo.
Con base en el proceso de análisis y solución del Ejemplo 2, primero pida a los estudiantes que piensen en los métodos y pasos para resolver problemas escritos usando ecuaciones lineales de una variable y luego, brinde retroalimentación haciendo preguntas; En el resumen de los estudiantes, el profesor lo resume de la siguiente manera:
(1) Revise la pregunta detenidamente y comprenda a fondo el significado de la pregunta. Es decir, aclare las cantidades conocidas, las cantidades desconocidas y sus interrelaciones, y use letras (como x) para representar una cantidad desconocida razonable en la pregunta;
(2) Según el significado de la pregunta, Descubra la palabra que pueda expresar el significado completo de la palabra pregunta Una relación de igualdad. (Este es un paso clave);
(3) Según la relación de igualdad, enumera correctamente las ecuaciones. Es decir, las ecuaciones enumeradas deben satisfacer que las cantidades en ambos lados deben ser iguales; las unidades de las expresiones algebraicas en ambos lados de la ecuación deben ser las mismas, las condiciones de la pregunta deben utilizarse en su totalidad, y una condición; no se puede omitir ni reutilizar;
(4) Encuentre las soluciones de las ecuaciones enumeradas;
(5) Escriba las respuestas de forma clara y completa después de verificar. La prueba requerida aquí debe ser probar que la solución obtenida no solo puede hacer que la ecuación sea verdadera, sino también que el problema de aplicación sea significativo.
[Editar este párrafo] Ecuación cuadrática (grupo)
La aprenderás en el segundo volumen de matemáticas de séptimo grado publicado por People's Education Press, y la aprenderás en el Segundo volumen de matemáticas de séptimo grado publicado por Hebei Education Press.
La definición de ecuación lineal de dos variables: una ecuación integral que contiene dos incógnitas, y los exponentes de las incógnitas son todos 1, se llama ecuación lineal de dos variables.
La definición de sistema de ecuaciones lineales de dos variables: dos ecuaciones lineales que se combinan entre sí y contienen dos incógnitas se denomina sistema de ecuaciones lineales de dos variables.
Solución de una ecuación lineal de dos variables: El valor de las dos incógnitas que iguala los valores de ambos lados de la ecuación lineal de dos variables se llama solución de la ecuación lineal de dos variables .
Soluciones a sistemas de ecuaciones lineales de dos variables: Dos soluciones comunes a sistemas de ecuaciones lineales de dos variables se denominan soluciones a sistemas de ecuaciones lineales de dos variables.
Método de solución general, eliminación: reducir el número de incógnitas del sistema de ecuaciones de mayor a menor, y resolverlas una a una.
Existen dos métodos de eliminación:
Método de eliminación por sustitución
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones x y=5① 6x 13y=89②
Solución: De ①, obtenemos Enter ③, obtenemos x=5-59/7, es decir, x=-24/7
∴x=-24/7, y=59/ 7
Esta solución se sustituye en el método de eliminación.
Método de suma, resta y eliminación
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones x y=9① x-y=5②
Solución: ① ②, obtenemos 2x=14, es decir, x= 7
Pon x=7 en ①, obtiene 7 y=9, resuelve para obtener y=2
∴x=7, y=2
Esta única solución es el método de suma, resta y eliminación.
Existen tres situaciones para la solución de un sistema de ecuaciones lineales de dos variables:
1. Existe un conjunto de soluciones
Por ejemplo, la la solución del sistema de ecuaciones x y=5① 6x 13y=89② es x=-24/7, y=59/7.
2. Hay innumerables conjuntos de soluciones
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones x y=6① 2x 2y=12②, porque estas dos ecuaciones son en realidad una sola ecuación (también llamada "la ecuación tiene dos raíces reales iguales"), por lo que tal sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.
3. Sin solución
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones x y=4① 2x 2y=10②, debido a que la ecuación ② se simplifica a x y=5, lo que entra en conflicto con la ecuación ①, entonces este tipo de El sistema de ecuaciones no tiene solución.
[Editar este párrafo] Ecuación lineal tridimensional
Definición: Similar a la ecuación lineal bidimensional, tres ecuaciones lineales combinadas contienen tres incógnitas.
La solución al sistema de ecuaciones lineales de tres variables: similar a la ecuación lineal de dos variables, se utiliza el método de eliminación para eliminar los elementos paso a paso.
Análisis de preguntas típicas:
Para fomentar la conservación del agua en un área determinada, los estándares de cobro del agua del grifo son los siguientes: cada hogar no utiliza más de 10 toneladas de agua por al mes se cobra 0,9 yuanes/tonelada; más de 10 toneladas, pero no más de 20 toneladas, se cobra 1,6 yuanes/tonelada; la parte que excede las 20 toneladas se cobra 2,4 yuanes/tonelada. En un mes determinado, el usuario A paga 16 yuanes más en la factura del agua. que el usuario B, y el usuario B paga más factura de agua que el usuario C. 7,5 yuanes. Se sabe que el usuario C usa menos de 10 toneladas de agua y el usuario B usa más de 10 toneladas de agua pero menos de 20 toneladas. ¿Cuánto yuanes pagan cada uno de los usuarios A, B y C por el agua este mes (se cobra en función de la tonelada total)?
Solución: Supongamos que A usa x toneladas de agua, B usa y toneladas de agua, y C usa z toneladas de agua.
Obviamente, el usuario A usa más de 20 toneladas de agua.
Por lo tanto, A paga: 0,9*10 1,6*10 2,4*(x-. 20)=2.4x-23
B paga: 0.9*10 1.6*(y-10)=1.6y-7
C pago: 0.9z
2.4x-23=1.6y-7 16
1.6y-7=0.9z 7.5
Simplificado para obtener
p>3x-2y=40 ----(1)
16y-9z=145-------(2)
De (1) Obtener x=(2y 40)/3
Entonces, sea y=1 3k, 3lt; klt; 7
Cuando k=4, y=13, x=22, sustituya ( 2) Encuentre z=7
Cuando k=5, y=16, sustituye (2), z no tiene solución entera
Cuando k=6, y=19, sustituye (2), z no tiene solución entera
Por lo tanto, A usa 22 toneladas de agua, B usa 13 toneladas de agua y C usa 7 toneladas de agua.
A usa 29,8 yuanes de agua, B usa 13,8 yuanes de agua, y C usa 6,3 yuanes de agua lt;/CAgt;
[Editar este párrafo] Ecuación cuadrática de una variable
Aprenderás del primer volumen de matemáticas de noveno grado publicado por. Se aprenderá el People's Education Press y el volumen 29 del primer volumen de matemáticas de noveno grado publicado por el Capítulo de Hebei Education Press.
Definición: Una ecuación integral que contiene un número desconocido y el grado más alto del número desconocido es 2. Dicha ecuación se llama ecuación cuadrática.
De una ecuación lineal a una ecuación cuadrática hay un cambio cualitativo. Normalmente, una ecuación cuadrática es mucho más compleja que una ecuación lineal tanto en concepto como en solución.
Forma general: ax^2 bx c=0 (a≠0)
Hay cuatro soluciones generales:
⒈Método de fórmula (método de raíz cuadrada directa)
2. Método de emparejamiento
3. Método de factorización
4. Método de multiplicación cruzada
El método de multiplicación cruzada puede combinar un determinado factor algunos trinomios cuadráticos. La clave de este método es descomponer el término cuadrático coeficiente a en dos factores a1, el producto de a2 a1?6?1a2, descomponer el término constante c en dos factores c1, el producto de c2 c1?6?1c2, y hacer a1c2 a2c1 resulta ser un término lineal b, por lo que se puede escribir directamente como resultado: cuando utilice este método para descomponer factores, debe prestar atención a la observación, intentarlo y darse cuenta de que es esencialmente el proceso inverso de la multiplicación binomial. Cuando el primer coeficiente no es 1, a menudo se requieren varias pruebas. Asegúrese de prestar atención al signo de cada coeficiente.
Preguntas de ejemplo
Ejemplo 1 Factorizar 2x^2-7x 3.
Análisis: Primero factoriza los coeficientes de los términos cuadráticos y escríbelos en las líneas cruzadas La esquina superior izquierda y la esquina inferior izquierda de, luego descomponga el término constante y escriba los puntos
respectivamente en la esquina superior derecha y la esquina inferior derecha de la cruz, y luego multiplique en forma cruzada para encontrar el. suma algebraica para igualarlo al coeficiente del término lineal
Descomponer el coeficiente del término cuadrático (solo tomar factores positivos):
2＝1×2＝2×. 1;
Descomponer el término constante:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3)
Utiliza el método de dibujar líneas cruzadas para expresar las siguientes cuatro situaciones:
1 1
╳
2 3
1×3 2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1 2×3
=7
p>
1 -1
╳
2 - 3
1×(-3) 2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1) 2×(- 3)
=-7
Después de la observación, el cuarto caso es correcto, porque después de la multiplicación cruzada, la suma algebraica de los dos términos es exactamente igual al coeficiente del término lineal -7
Resuelve 2x^2-7x 3=(x-3)(2x. -1).
Generalmente, para el trinomio cuadrático ax2 bx c(a≠0), si el término cuadrático coeficiente a se puede descomponer en el producto de dos factores, es decir, a=a1a2, y el término constante c se puede descomponer en el producto de dos factores, es decir, c=c1c2, organiza a1, a2, c1, c2 de la siguiente manera:
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2 a2c1
Multiplica por cruz diagonal, suma nuevamente para obtener a1c2 a2c1 si es exactamente igual al coeficiente b del término lineal. del trinomio cuadrático ax2 bx c, es decir, a1c2 a2c1=b, entonces el trinomio cuadrático se puede descomponer en dos factores a1x c1 y a2x El producto de c2 es
ax2 bx c=(a1x c1) (a2x c2).
Descomponer los coeficientes dibujando líneas cruzadas como esta nos ayuda a convertir el tres cuadrático. El método de factorizar un término generalmente se llama método de multiplicación cruzada.
Ejemplo 2. Factorizar 6x^2-7x-5.
Análisis: siga el método del Ejemplo 1, descomponga el coeficiente del término cuadrático 6 y el término constante -5 y ordénelos respectivamente. Puede haber 8 métodos de disposición diferentes. , uno de los cuales
2 1
╳
p>
3 -5
2×(-5) 3 ×1=-7
es correcto, por lo que el polinomio original se puede factorizar usando el método de multiplicación cruzada
Resuelve 6x^2-7x-5=(2x 1)(3x. -5)
Señale: Como se puede ver en el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2, use el método de multiplicación cruzada. Al factorizar un trinomio cuadrático cuyo coeficiente del término cuadrático no es 1, a menudo se necesitan muchas observaciones para determinar si el factor se puede descomponer usando el método de multiplicación cruzada.
Para el término cuadrático el coeficiente es un trinomio cuadrático de 1. También puedes usar el método de multiplicación cruzada para descomponer los factores. para considerar cómo descomponer el término constante en factores. Por ejemplo, para descomponer x^2 2x-15 en factores, el método de multiplicación cruzada es
1 -3
╳
p>
1 5
1×5 1×(-3)=2
Entonces x^2 2x-15=(x-3)(x 5).
Ejemplo 3 Factorizar 5x^2 6xy-8y^2.
Análisis: Este polinomio se puede considerar como un trinomio cuadrático sobre x. Factorizar -8y^ 2 se considera una constante. término Al descomponer el término cuadrático y el coeficiente del término constante, solo necesita descomponer 5 y -8. Después de descomponerlo con líneas cruzadas, seleccione el grupo apropiado después de la observación, es decir,
1. 2
?╳
5 -4
1×(-4) 5×2=6
Solución 5x^2 6xy -8y^2=(x 2y)(5x-4y).
Señale: la fórmula original se descompone en dos fórmulas lineales sobre x e y
Ejemplo 4 (x-y. )(2x-2y-3)-2 factorizar.
Análisis: Este polinomio tiene la forma del producto de dos factores y la diferencia entre otro factor Solo realizando primero la operación de multiplicación del polinomio. , Luego se factoriza el polinomio deformado.
Pregunta: ¿Cuáles son las características de los factores del producto de dos y cuál es la forma más sencilla de realizar la multiplicación de polinomios? : Segundo, si los dos primeros factores de un factor se presentan como un factor común 2, se convierte en 2 (x-y), que es el doble del primer factor. Entonces (x-y) se considera como un todo para la multiplicación y el polinomio original. se transforma en un trinomio cuadrático sobre (x-y), y los factores se pueden descomponer usando el método de multiplicación cruzada
Resuelve (x-y)(2x-2y-3)-2
. =(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
=[(x-y) -2] [2(x-y) 1]
=(x-y-2)(2x-2y 1)
1 -2
╳
p. >2 1
1×1 2×(-2)=-3
Señale: Trate (x-y) como un todo para la factorización, que es Utiliza la método de pensamiento "holístico" en matemáticas.
Ejemplo 5 x^2 2x-15
Análisis: El término constante (-15)lt 0 se puede descomponer en diferentes El producto de; dos números se pueden descomponer en (-1)(15), o (1)(-15) o (3)
(-5) o (-3)(5), donde solo en ( -3)(5) la suma de -3 y 5 es 2.
=(x-3)(x 5)
Resumen: ①x^2+(p q) factorización de la fórmula de tipo x+pq
Este tipo El Las características del trinomio cuadrático son: el coeficiente del término cuadrático es 1; el término constante es el producto de dos números; el coeficiente del término lineal es la suma de los dos factores del término constante. se convierte directamente en Factorización de un trinomio cuadrático con un coeficiente de 1: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)
② Factorización de kx^2+ expresión de tipo mx+n
Si se puede descomponer en k=ac, n=bd y ad+bc=m, entonces
kx^2+mx+n=( ax b)(cx d)
a b
╳
c d
1. Método de raíz cuadrada directa:
El método de la raíz cuadrada directa es un método para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable usando la raíz cuadrada directa.
Utilice el método de raíz cuadrada directa para resolver la ecuación de la forma (x-m)2=n (n≥0)
y la solución es x=m±
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación (1) (3x 1)2=7 (2) 9x2-24x 16=11
Análisis: (1) Esta ecuación es obviamente fácil de resolver usando el método de raíz cuadrada directa (2). El lado izquierdo de la ecuación es el método del cuadrado completo (3x-4)2, lado derecho = 11gt; por lo que
Esta ecuación también se puede resolver mediante el método de la raíz cuadrada directa.
(1) Solución: (3x 1)2=7×
∴(3x 1)2=5
∴3x 1=±(Ten cuidado no perder solución)
∴x=
∴La solución de la ecuación original es x1=, x2=
(2) Solución: 9x2-24x 16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴ Solución de la ecuación original Para x1=, x2=
2. Método de combinación: use el método de combinación para resolver la ecuación ax2 bx c=0 (a≠0)
Primero mueva la constante c al lado derecho de la ecuación: ax2 bx=-c
Cambiar el término cuadrático El coeficiente pasa a ser 1: x2 x=-
Sumar la mitad del cuadrado del coeficiente del término lineal a ambos lados de la ecuación: x2 x ( )2=- ( ) 2
El lado izquierdo de la ecuación se convierte en el método del cuadrado perfecto: (x )2=
Cuando b2-4ac≥0, x =±
∴x = (esta es la fórmula raíz)
Ejemplo 2． Usa el método compuesto para resolver la ecuación 3x2-4x-2=0
Solución: Mover el término constante al lado derecho de la ecuación 3x2-4x=2
Cambiar el coeficiente del término cuadrático a 1: x2 -x=
Suma la mitad del cuadrado del coeficiente lineal a ambos lados de la ecuación: x2-x ( )2= ( )2
Receta: (x-)2=
Raíz cuadrada directa: x-=±
∴x=
∴La solución de la ecuación original es x1= , x2= .
3 ． Método de fórmula: transforme la ecuación cuadrática a una forma general y luego calcule el valor del discriminante △ = b2-4ac Cuando b2-4aclt; 0, no hay solución cuando la ecuación es b2-4ac≥0; coeficientes a, Las raíces de la ecuación se pueden obtener sustituyendo los valores de byc en la fórmula de la raíz xx=[-b±√(b^2-4ac)]/2a.
Ejemplo 3. Usa el método de la fórmula para resolver la ecuación 2x2-8x=-5
Solución: Convierte la ecuación a una forma general: 2x2-8x 5=0
∴a=2, b =-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24gt 0
∴x= = = <; /p>
∴Las soluciones de la ecuación original son x1=, x2=
4. Método de factorización: transforma la ecuación para que un lado sea cero, descompone el trinomio cuadrático del otro lado en el producto de dos factores lineales, deja que los dos factores lineales sean iguales a cero respectivamente, dos ecuaciones lineales de una variable se obtienen Las raíces obtenidas al resolver estas dos ecuaciones lineales de una variable son las dos raíces de la ecuación original.
Este método de resolver ecuaciones cuadráticas se llama factorización.
Ejemplo 4. Resuelve las siguientes ecuaciones usando factorización:
(1) (x 3)(x-6)=-8 (2) 2x2 3x=0
(3) 6x2 5x -50 =0 (opcional) (4)x2-2( )x 4=0 (opcional)
(1) Solución: (x 3)(x-6)=-8 Simplificar Ordenado
x2-3x-10=0 (el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrático y el lado derecho es cero)
(x-5)(x 2)=0 (la ecuación Factorizando el lado izquierdo)
∴x-5=0 o x 2=0 (convertido en dos ecuaciones lineales de una variable)
∴x1=5, x2=-2 es la solución original de la ecuación.
(2) Solución: 2x2 3x=0
x(2x 3)=0 (Usa el método del factor común para factorizar el lado izquierdo de la ecuación)
∴x=0 o 2x 3=0 (convertido en dos ecuaciones lineales de una variable)
∴x1=0, x2=- es la solución de la ecuación original.
Nota: Algunos estudiantes tienden a perder la solución x=0 al hacer este tipo de preguntas. Debes recordar que hay dos soluciones a la ecuación cuadrática.
(3) Solución: 6x2 5x-50=0
(2x-5)(3x 10)=0 (Preste especial atención a los signos al factorizar por multiplicación cruzada para que para no cometer errores )
∴2x-5=0 o 3x 10=0
∴x1=, x2=- es la solución de la ecuación original.
(4) Solución: x2-2( )x 4 =0 (∵4 se puede descomponer en 2·2, ∴Esta pregunta se puede factorizar)
(x- 2 )(x-2 )=0
∴x1=2, x2=2 es la solución de la ecuación original.
5. Método de multiplicación cruzada
Puede factorizar fórmulas de la forma y=x^2+(p q)x+pq
Este tipo de características de un trinomio cuadrático son: el coeficiente del término cuadrático es 1; el término constante es el producto de dos números y el coeficiente del término lineal es la suma de los dos factores del término constante; Por lo tanto, podemos factorizar directamente algunos trinomios cuadráticos cuyos coeficientes son 1: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)
Ecuaciones cuadráticas de dos variables : Una integral ecuación que contiene dos incógnitas y el grado más alto de la incógnita es 2.
[Editar este párrafo] Notas
En términos generales, una ecuación lineal de n variables es una ecuación que contiene n números desconocidos y el grado del término desconocido es 1. El coeficiente de el término lineal no es igual a 0. ;
Un sistema de ecuaciones lineales de n elementos es un sistema de ecuaciones compuesto por varias ecuaciones lineales de n elementos (excepto las ecuaciones lineales de una variable);
Una ecuación de grado a de una variable contiene un número desconocido y contiene un número desconocido Una ecuación cuyo grado más alto es a (excepto para ecuaciones lineales de una variable);
Un sistema de ecuaciones de grado a de una variable es un sistema de ecuaciones compuesto por varias ecuaciones de grado a de una variable (excepto las ecuaciones lineales de una variable);
Una ecuación de grado n de grado a es una ecuación que contiene n incógnitas, y el grado más alto del término desconocido es a (excepto para ecuaciones lineales de una variable);
Un sistema de ecuaciones de grado n de grado a son varias ecuaciones de grado a de n elementos. Un sistema de ecuaciones (excepto ecuaciones lineales de una variable);
Entre las ecuaciones (conjuntos), el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones (conjuntos) se denominan ecuaciones (conjuntos) indefinidas. Este tipo de ecuaciones (conjuntos) generalmente tienen innumerables soluciones.
Fórmula de pollo y conejo en la misma jaula
Solución 1: (número de patas de conejos × número total de animales – número total de patas) ÷ (número de patas de conejos – número de patas de gallinas)
p>
=Número de gallinas
Número total de gallinas - Número de gallinas = Número de conejos
Solución 2 : (Número total de patas - Número de patas de gallina × Número total) ÷ (Número de patas de conejo – Número de patas de gallina)
= Número de conejos
Número total – Número de conejos = número de gallinas
p>
Solución 3: Número total de patas ÷ 2 - número total de cabezas = número de conejos
Número total de cabezas - número de conejos = número de gallinas
Solución 4 (Ecuación): > Solución 5 (ecuación): Número total de conejos - número de conejos = número de gallinas
Solución 6 (ecuación): El número de muslos de pollo) (X=el número de gallinas)
El número total de gallinas - el número de gallinas = el número de conejos
¡Deseo que progreses en tus estudios!