Cómo dividir un círculo en 5 partes iguales

Diagrama de regla pentagonal cuadrada: dibuja los diámetros perpendiculares AB y MN en el círculo O, toma el punto medio K del radio OM, toma K como centro del círculo, AK como radio, dibuja un círculo y intersecta el diámetro MN en H. Entonces AH es la longitud del lado del pentágono regular inscrito en el círculo O.

Demostración: ¿Por qué AH es la longitud de la cuerda del pentágono regular inscrita en el círculo O?

Supongamos que R es el radio del círculo O, la longitud del lado del pentágono regular = 2Rsin [36 grados]

Esta pregunta es para demostrar que ∠AOB=72 grados.

Tomar el punto medio G de AB, pasar por B y hacer BJ⊥ON en J,

OK=R/2, ⊿OAK Teorema de Pitágoras: KA=(√5/2 ) R=KH

OH=KH-OK=(√5/2)R-R/2=(√5-1)R/2

NoOAH: AH^2=OH ^ 2+OA^2={(√5-1)^2/4+1}R^2=(10-2√5)^2R^2/4

AH=(√( 10 -2√5)/2)R=AB

------, hasta ahora, puedes usar números para calcular √(10-2√5)/4=sin[ 36 ], pero es un número irracional y

no se puede ver el valor exacto que en realidad es absolutamente igual.

Entonces, G es el punto medio de AB: BG=AB/2=AH/2=(√(10-2√5)/4)R

OG^2= OB^2-BG^2=R^2-(10-2√5)R^2/16=(6+2√5)R^2/16

OG?=(√( 6+2√5)/4)R

El área del trapecio rectángulo BJOA es:

S[BJOA]=S[BJO]+S[AOB]

(BN+OA)×OJ/2=BN×OJ/2+AB×OG/2

Después de simplificar, obtenemos OA×OJ=?AB×OG, sustituimos :

DO×R=(√(10-2√5)/2)R×(√(6+2√5)/4)R

Obtener: DO= (√(12√ 5)/4)R

BJ^2=OB^2-OJ^2=R^2-( (12√5)/16)R^2 =(6-2√5 )R^2/16

Obtener: BJ=(√(6-2√5)/4)R

Sin[∠BOG]= BG/OB=√(10 -2√5)/4

Sin[∠BOJ]=BJ/OB = BJ/R=√(6-2√5)/4

Cos[∠BOJ] =OJ/OB=OJ/R=√(12√5)/4

Según la fórmula del doble ángulo sin[2x]=2sin[x] cos[ x]

Sin [2∠BOJ]=2?Sin[∠BOJ]?Cos[∠BOJ]

=2×(√(6-2√5)/4 )×(√(12√5 )/4)

=√(10-2√5)/4

=Sin[∠BOJ]

Por lo tanto. ∠BOG=2∠BOJ

Porque ∠BOG+∠AOG+∠BOJ=2∠BOG+∠BOJ=5∠BOJ=90 grados,

Entonces ∠BOJ=18 grados, entonces ∠ AOB=72 grados.

Esto está demostrado.