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Cuando un conjunto P es una condición necesaria para un conjunto S, ¿P está incluido en S o P está realmente incluido en S?

Subconjuntos adecuados

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Si el conjunto A es un subconjunto del conjunto B, y al menos un elemento del conjunto B no pertenece a A, entonces establece A se llama A subconjunto propio del conjunto B. Si A está contenido en B y A no es igual a B, entonces se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B.

Nombre chino

Subconjunto propio

Nombre extranjero

Subconjunto propio

Nombre alternativo

Verdadera inclusión

Expresión

A?B

Disciplinas aplicadas

Matemáticas

Ámbito de aplicación

Conjuntos

Contenido

1 Definición de subconjuntos Ejemplos de subconjuntos propios

2 Proposiciones relacionadas

Definición

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Subconjunto

En términos generales, para dos conjuntos A y B, si cualquier elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B, decimos: Estos dos conjuntos tienen una relación inclusiva, y el conjunto A se llama subconjunto del conjunto B. Marcado como A?B (o B?A), se lee como "A contiene B" (o "B contiene A"). [1]

Es decir, para los conjuntos A y B, ?x∈A tiene x∈B, entonces A?B. [1] Se puede ver que cualquier conjunto A es un subconjunto de sí mismo y el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. [2] [3]

Subconjunto propio

Si el conjunto A?B, existe el elemento x∈B, y el elemento x no pertenece al conjunto A, decimos que el conjunto A y el conjunto B tiene una relación de inclusión verdadera, el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B. Marcado como A?B (o B?A), se lee como "A realmente incluye a B" (o "B realmente incluye a A").

Es decir: para los conjuntos A y B, ?x∈A tiene x∈B, y ?x∈B y x?A, entonces A?B. El conjunto vacío es un subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío.

Subconjunto propio no vacío: si el conjunto A?B y el conjunto A≠?, el conjunto A es un subconjunto propio no vacío del conjunto B. [2]

La diferencia entre un subconjunto propio y un subconjunto:

Un subconjunto significa que todos los elementos de un conjunto son elementos de otro conjunto y pueden ser iguales a otro conjunto <; /p>

Un subconjunto adecuado significa que todos los elementos de un conjunto son elementos de otro conjunto, pero no hay igualdad. [1]

Ejemplo

El conjunto de todos los países asiáticos es un subconjunto propio del conjunto de todos los países de la Tierra; el conjunto de todos los números naturales es un subconjunto propio del conjunto; de todos los números enteros (es decir, N?Z); {1, 3} ? {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3} ? ¿Pero no podemos decir {1, 2, 3}? [2]

Supongamos que el conjunto completo I es {1, 2, 3}, entonces sus subconjuntos pueden ser {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ?; y su subconjunto propio sólo puede ser {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3} , {veintitrés},?. Sus subconjuntos propios no vacíos sólo pueden ser {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. [1]

Proposiciones relacionadas

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Proposición 1: Si el conjunto A tiene n elementos, entonces

Ejemplo

El número de subconjuntos del conjunto A es 2n, y hay 2n-1 subconjuntos propios y 2n-2 subconjuntos propios no vacíos. [1]

Prueba: Supongamos que los números de elemento son 1, 2, ... n, cada subconjunto corresponde a un número binario de longitud n (el i-ésimo bit del número especificado es 1, que significa que el elemento i está en el conjunto, 0 significa que el elemento i no está en el conjunto.

Por ejemplo, el conjunto completo U={e1, e2, e3, e4, e5}, entonces {e1, e2, e3, e4, e5} ? ). Es decir, su subconjunto es 00...0 (n 0s) ~ 11...1 (n 1s). Es fácil saber que hay 2n números en 1, por lo que corresponde a 2n subconjuntos. Si se elimina 11...1 (es decir, representa el conjunto original A), hay 2n-1 subconjuntos propios, y si se elimina 00...0 (que representa el conjunto vacío), hay 2n-2 subconjuntos propios no vacíos. [4]

Proposición 2: El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.

Demostración: Dado cualquier conjunto A, demostrar que ? es un subconjunto de A. Esto requiere que todos los elementos de ? sean elementos de A; sin embargo, ? no tiene elementos.

Para los matemáticos experimentados, la inferencia "? no tiene elementos, por lo que todos los elementos de ? son elementos de A" es obvia, pero para los principiantes es un poco problemática; Será útil pensar de manera diferente para demostrar que ? no es un subconjunto de A, debes encontrar un elemento que pertenezca a ? Como ? no tiene elementos, esto es imposible. Por lo tanto debe ser un subconjunto de A.

Esta proposición muestra que la inclusión es una relación de orden parcial. [4]

Proposición 3: Si A, B, C son conjuntos, entonces:

Reflexividad: A?A, antisimetría: A y B, si y sólo? si A=B, transitividad: Si A? B y B? C, entonces A? Esta proposición explica: Para cualquier conjunto S, el conjunto potencia de S es una red acotada en orden de inclusión. Combinada con la proposición anterior, es un álgebra de Boole.

Proposición 4: Si A, B, C son subconjuntos del conjunto S, entonces: [4]

Existe un elemento mínimo y un elemento máximo: A S (? A dada por la Proposición 2). Hay una operación de unión: A? A∪B. Si A? C y B? C, entonces A∪B? C. Hay una operación de intersección: A∩B? C? Esta proposición muestra que la expresión "A? B" es equivalente a otras expresiones que utilizan unión, intersección y complemento, es decir, la relación de inclusión es redundante en el sistema de axiomas. [3]

Proposición 5: Para dos conjuntos cualesquiera A y B, las siguientes expresiones son equivalentes: A? B A∩ B= A A∪ B= B A? B′ ?

[2]

Materiales de referencia

1. Líneas curvas, etc. Simulación de tres años del examen de ingreso a la universidad de cinco años, primer curso obligatorio de Matemáticas. Beijing: Capital Normal University Press, 2014

2. Matemáticas curso obligatorio 1. Beijing: Prensa de Educación Popular, 2014

3. Matemáticas elementales. Beijing: Prensa de la Universidad de Pekín, 2016

4. Matemáticas elementales desde una perspectiva elevada. Shanghai: Fudan University Press, 2010

Etiquetas de entrada:

Disciplinas naturales, ciencia y tecnología, ciencia

Atlas de subconjuntos verdaderos

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Otros también leyeron

Corrección

Subconjunto

Conjunto

Conjunto vacío

Conjunto complementario

Conjunto de unión

Números reales

contiene

números racionales

Enteros no negativos

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Última actualización : 2016 -08-27

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