¿Cuál es la relación entre la suma de los ángulos interiores y la suma de los ángulos exteriores de un paralelogramo?

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero

1. Antecedentes y tema:

La nueva ronda del plan de estudios de matemáticas y las reformas de la enseñanza enfatizan en permitir a los estudiantes participar activamente Experimento observación, experimentación e inducción, analogías, adivinanzas, verificación y otros procesos de investigación para aprender matemáticas. Sin embargo, en la enseñanza real en el aula, debido a varias razones, a menudo es difícil organizar y diseñar la enseñanza de la investigación en el aula. A menudo me quejé de que la calidad de los estudiantes no era alta y también esperaba que hubiera un diseño. Los planes de lecciones detallados se utilizan como referencia para buscar rutinas inherentes. Sin embargo, después de una práctica docente a largo plazo, descubrí que para dar una. Buena clase de investigación de matemáticas, todavía tienes que encontrar las razones por ti mismo, pensar más, reflexionar con frecuencia y resumir bien. Lo siguiente es lo que pienso sobre mí. Grabación, pensamiento, reflexión y resumen de la lección "Suma de ángulos interiores". de un cuadrilátero".

2. Proceso y análisis

(1) Situación del problema:

Maestro: ¿Puede una familia usar un lote de tablas de madera triangulares regulares? del mismo tamaño y forma para formar un piso grande y plano sin espacios?

Estudiante: Sí (Pon varios triángulos sobre la mesa. Coloca.)

Profesor: Un día, ¿Está bien que el dueño de esta casa use tablas de madera cuadradas para poner el piso?

Estudiante: Sí (use varias cartulinas cuadradas preparadas y colóquelas sobre la mesa una por una) Colóquelas.)

Maestro: ¿Puedes usar una tabla de madera pentagonal normal? ¿Por qué? Los grupos se comunican entre sí (Proyección)

Estudiante: (El grupo lo arregla ligeramente y discute) puede ser. reemplazado por una tabla cuadrada pero no una tabla pentagonal regular, porque los cuatro vértices de una tabla cuadrada cuando se colocan juntos son exactamente 360 ​​grados, mientras que los vértices de una tabla pentagonal regular no se pueden combinar en 360 grados.

(2) Presentación de nuevas lecciones

Maestro: Las conclusiones extraídas por los estudiantes son muy valiosas. ¿Se pueden convertir el suelo y el ángulo superior de la figura en un ángulo de 360° para formar un espacio sin espacios? forma? Relacionado, ¿está bien reemplazar el piso con tablas de madera cuadrangulares del mismo tamaño?

Estudiante: (manos arriba) Está bien, puedes juntar cuatro esquinas diferentes para formar un 360°

Comentarios y análisis De acuerdo con las reglas de desarrollo físico y mental de los estudiantes de secundaria, ya tienen cierta experiencia de vida y tienen un deseo egocéntrico innato de exploración y curiosidad. El planteamiento de preguntas está totalmente adaptado y. Aprovechando esta característica psicológica, en el diseño del contenido de enseñanza se dispuso un escenario problemático como "colocar tablones de triángulos equiláteros, cuadrados y pentagonales equiláteros en el suelo sin espacios", y se permitió a los estudiantes realizar "experimentos matemáticos" colocando cartones. De una manera animada e interesante Durante la manipulación y exploración de materiales, se estimulan los "conflictos cognitivos" de los estudiantes y los estudiantes están ansiosos por aprender, creando así una atmósfera en el aula de actividades activas. Luego, el maestro construye un "andamio" apropiado para abstraer gradualmente. el pensamiento de los estudiantes y hacer que todos los estudiantes piensen de manera más abstracta. Se incorporan nuevos conocimientos a las estructuras cognitivas de los estudiantes a través de sus propias actividades de "recreación", y los estudiantes se convierten verdaderamente en descubridores del conocimiento matemático.

Aquí, si son triángulos ordinarios, Si se utilizan cuadriláteros y pentágonos como escenarios de problemas reales, no se podrán estimular los conflictos cognitivos de los estudiantes. Por lo tanto, la enseñanza de la investigación matemática requiere que los profesores creen problemas y situaciones problemáticas con cuidado, y que los manejen de manera adecuada y pedagógica. , para que sea adecuado para que los estudiantes realicen investigaciones.

(3 ) Explorar nuevos conocimientos

Maestro: Hemos aprendido la definición de un triángulo y conceptos relacionados como los lados, vértices, ángulos interiores y ángulos exteriores de un triángulo. También hemos aprendido sobre rectángulos, cuadrados, paralelogramos, trapecios y otros cuadriláteros (gráficos y palabras de visualización de proyección), entonces, ¿cómo se definen los conceptos relacionados con los cuadriláteros? p>

Estudiante: (Lea el texto)

Maestro: Realice los siguientes ejercicios según su propia comprensión lectora y realice una comunicación grupal.

①Dibuje un cuadrilátero y dibuje su diagonales, escribe los nombres del cuadrilátero, cuatro lados, dos diagonales, etc.

②Dibuja un cuadrilátero y dibuja uno de sus ángulos exteriores, escribe sus cuatro ángulos interiores y la relación entre los ángulos interiores y exteriores ángulos en un mismo vértice.

Alumnos: (Práctica, discusión, exhibición, evaluación mutua)

Profesor: (Afirma los resultados del aprendizaje y señala que las letras de los polígonos generalmente están ordenadas en sentido antihorario.

están ordenados y la definición debe contener las palabras "en el mismo plano".)

Maestro: (Modelo de demostración: cuadrilátero sólido)

El cuadrilátero que estamos aprendiendo se refiere a el cuadrilátero convexo. (La proyección muestra la diferencia entre cuadriláteros cóncavos y convexos)

Maestro: ¿Qué nueva comprensión tuvo sobre la relación entre los cuatro ángulos interiores de cualquier cuadrilátero durante la operación?

Estudiante: Poner Se juntan cuatro ángulos interiores diferentes para formar una cartulina sin espacios, de modo que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero sea igual a 360 grados (Y haga una demostración de rompecabezas)

Profe. : ¡Otro gran descubrimiento! ¿Puedo preguntarte? ¿Cómo se te ocurrió la idea de utilizar este método?

Estudiante: Se obtiene de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Profesor: ¡Muy bien! Pero, ¿las conclusiones que sacamos del experimento pueden ser aplicables de forma general? Deben demostrarse lógicamente. ¿Quién puede escribir este problema en forma de proposición matemática? : Dado el cuadrilátero ABCD, verificar: ∠A＋∠B＋∠C＋∠D=360° (Ejemplo 1)

Profesor: Sí, estudiantes, ¿se les ocurre algo?

Estudiante : Demostración de la suma de los ángulos de un teorema de triángulo.

Profesor: Muy bien, ¿cómo se demuestran.

Estudiante: Inspirados por el proceso de unir piezas, podemos? demuéstralo dibujando líneas paralelas.

Profesor: Muy bien, ¿podemos demostrarlo también usando el mismo método del Ejemplo 1.

Estudiante: Sí.

Profesor: ¿Puedes decirnos cómo se te ocurrió este método de realización?

Estudiante: Analogía.

Profesor: Muy bien, ¿existe un método de demostración más sencillo?

Estudiante: (después de pensar) Sí, convierte el problema del cuadrilátero en un problema de triángulo.

Profesor: Está bien, hablemos de ello.

Estudiante: Conectando una diagonal BD, el cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos: △ABD y △BCD. La suma de todos los ángulos interiores de los triángulos es igual a 360°.

Profesor: Muy bien, qué tipo de método de pensamiento. ¿Se utiliza principalmente en este método de demostración?

Estudiante: Usando las ideas de transformación y división, el cuadrilátero se transforma en un triángulo.

Maestro: : Así es. Miren, estudiantes. Además de la técnica anterior, ¿existen otros métodos y técnicas para convertir cuadriláteros en triángulos? Hablemos y comparemos qué grupo de pruebas tiene más.

Estudiante: (Discusión e intercambio animados). dentro y fuera del grupo) Los estudiantes de cada grupo están muy entusiasmados con la exploración y compiten para informar los siguientes métodos.

Comente sobre la investigación de los matemáticos y el descubrimiento de teorías matemáticas y el pensamiento independiente. Por supuesto. es esencial, pero no dedican todo su tiempo a hacer descubrimientos. La comunicación con sus compañeros también es muy importante. Muchas de sus conductas también son de naturaleza reveladora o de aceptación, con especial énfasis en la cooperación.

La esencia importante de la comunicación es una serie de comunicaciones. Como señaló el ex psicólogo soviético Vygotsky: "Las funciones psicológicas mediadas exclusivas de las personas no surgen espontáneamente desde dentro. Sólo pueden surgir de las actividades de colaboración y las relaciones interpersonales de las personas". con la gente.”

Debido a que las actividades exploratorias son una actividad creativa, y las condiciones generales que conducen a las actividades creativas son la seguridad psicológica y la libertad psicológica a través del diálogo y la interacción, la humanidad puede ser reconstruida, armoniosa, democrática e igualitaria. relación profesor-alumno, cultivar la conciencia de participación de los estudiantes y adoptar actividades como experimentos prácticos, debates e intercambios y evaluaciones profesor-alumno. Todos los estudiantes están siempre en un estado de aprendizaje activo.

Explorar nuevos problemas requiere una fijación del conocimiento. Cuanto mayor sea la "distancia potencial" entre el problema mismo y el punto de fijación, en términos generales, mayor será la dificultad de la investigación. Se puede ver que el conocimiento y la experiencia son la base de la capacidad de investigación, y la capacidad de investigación no puede enfatizarse sin una. cierto grado de riqueza de conocimientos y experiencias. Sin embargo, la investigación sobre psicología del aprendizaje muestra que los estudiantes tienen diferencias en el desarrollo. El nuevo concepto de enseñanza por indagación es reconocer las diferencias de los estudiantes en el aprendizaje y prestar más atención a la conciencia de los estudiantes sobre la participación y las formas de aprendizaje. del pensamiento y las habilidades prácticas para lograr un desarrollo diferente en el aprendizaje de las matemáticas para diferentes personas.

En la práctica, el mismo "andamio".

No es apropiado que todos los estudiantes escalen. Las diferencias en el conocimiento y las habilidades de los estudiantes determinan las diferencias en los puntos básicos del “andamio”. La clave para el diseño y la presentación del “andamio” es captar las nuevas preguntas de investigación y las conocimiento original de los estudiantes. La distancia "grado" entre puntos fijos. Por ejemplo, en el proceso de prueba de esta pregunta, el maestro primero guía la analogía de triángulos a cuadriláteros y luego convierte los cuadriláteros en triángulos. La transición de los estudiantes de su base de conocimientos original a nuevos conocimientos, dejar ir y dejar ir. Los estudiantes exploran, obtienen diferentes pruebas basadas en sus propias situaciones reales y las comunican. Realmente les permite comenzar con el conocimiento (conocimiento), sumergirse en. Emoción (emoción), actuar desde la intención (motivación intrínseca) y ver a través de la acción (Acción), unificando el proceso cognitivo y el proceso afectivo, y logrando resultados inesperados. Entre ellos, el papel de los docentes en la construcción de "andamios" no puede ser. Los profesores siempre deben adherirse al principio de "Tao sin restricciones, fuerza sin restricciones y apertura". "Y Fu Da" ("Libro de los ritos - Xue Ji"), induce a los estudiantes a explorar conclusiones matemáticas por sí mismos, y manejar la relación entre "liberar" y "soportar".

Maestro: Ejemplo 2, alguien da la vuelta a un cuadrilátero Camina alrededor del círculo exterior del macizo de flores, girando un ángulo en cada esquina (∠1, ∠ 2, ∠3 y ∠4), luego, cuando regreses a la posición original, ¿cuántas vueltas tomará? ¿Qué conclusión puedes encontrar a partir de ello? (Adaptado del ejemplo del libro de texto)

Estudiante: (piensa por un momento, nadie respondió)

Profesor: (indica), ∠ 1, ∠2, ∠3 y ∠4, ¿cuáles son los cuatro ángulos del cuadrilátero?

Estudiante: ∠1＋∠ABC＝180°, ∠2＋∠BCD＝180°, ∠3＋∠CDA =180°, ∠4＋∠DAB=180°.

Profesor: Bien, entonces ∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB es igual a ¿cuántos grados? ¿Por qué? ¿Cómo puedes encontrar el grado de la suma de los cuatro ángulos exteriores?

Estudiante: ∠ABC＋∠BCD＋∠ CDA＋∠DAB＝360°, porque la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. Suma las cuatro fórmulas anteriores para obtener: ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.

Profesor: Muy bien, ¿tienes otras formas de probar el problema?

Estudiante: (El grupo discutió e intercambió, y se dio el método de prueba en la imagen de la derecha)

Comentarios sobre esta pregunta: Al permitir a los estudiantes explorar de forma independiente diferentes métodos para demostrar la suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero, una vez más se les permite experimentar actividades "matemáticas", lo que les permite experimentar personalmente el proceso de generación y descubrimiento de conocimiento. Y al mismo tiempo, a través de la cooperación y la comunicación, los diversos puntos de vista entre estudiantes, profesores y estudiantes realmente compiten y chocan, lo que amplía el espacio para la exploración del pensamiento e inspira la innovación. Los estudiantes descubren una variedad de métodos de resolución de problemas a través de discusiones grupales y. intercambios, y algunos incluso inesperados. La sorpresa del profesor.

(4) Reflexión y comunicación

Profesor: ¿Qué conceptos y propiedades de los cuadriláteros se han aprendido en esta lección?

Estudiante: Cuadriláteros La definición de diagonal, ángulo interior, ángulo exterior, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°, y la suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.

Profesor: Estudiantes, reflexionen sobre qué ideas y métodos matemáticos hemos utilizado, ¿habilidades matemáticas?

Estudiantes: La analogía con los cuadriláteros a partir de las propiedades y métodos relevantes de los triángulos es a menudo una analogía. método de descubrimiento matemático.

Estudiantes: Transformar cuadriláteros agregando líneas auxiliares Resolver problemas triangulares es una idea importante de uso común.

Estudiante: Diferentes técnicas para dividir un cuadrilátero en triángulos.

Estudiante: Diferentes técnicas para dividir un cuadrilátero en triángulos.

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Estudiante: También existe la idea de convertir matemáticamente problemas prácticos, de métodos especiales a métodos generales, ideas de observación, experimentación, etc.

Comentario El matemático y educador matemático holandés Freidenthal dijo una vez esa reflexión es el núcleo y el núcleo del aprendizaje y la investigación de los matemáticos en matemáticas. La reflexión también es una parte importante de la investigación matemática. Brinda a los estudiantes la oportunidad de reflexionar sobre conceptos matemáticos, ideas matemáticas, métodos matemáticos, etc. El propósito es permitir que los estudiantes desarrollen buenos hábitos de reflexión y comprendan los métodos de investigación matemática. Su valor no puede subestimarse.

3. Resultados y reflexiones:

Después de completar la nueva lección, los ejercicios de tarea de los estudiantes se completaron muy bien.

Normalmente hay muy pocos errores y los estudiantes están más interesados ​​en aprender matemáticas. Más tarde supe que muchos estudiantes descubrieron por sí mismos después de clase: la suma de los ángulos interiores de un hexágono, la suma de los ángulos interiores de un n-. polígono de lados y la suma de los ángulos exteriores de un polígono de n lados.

Como todos sabemos, el proceso de investigación de los matemáticos se considera una actividad exploratoria, que incluye el proceso de errores, intentos y Por lo tanto, los estudiantes también pueden cometer errores en las clases de investigación de matemáticas, y los maestros deben cometer errores durante el proceso de enseñanza, los estudiantes deben ser tolerantes cuando se desvían de la dirección de la investigación y brindar la orientación adecuada en el momento adecuado. .

Dado que la conjetura y la prueba son dos aspectos importantes de la investigación matemática, la conjetura y la prueba son generadas por la teoría matemática. Dos vínculos indispensables, no hay prueba sin conjetura y, a la inversa, sin prueba, no puede haber conjetura. finalmente confirmado.

La investigación adecuada en el proceso de enseñanza puede combinar conjeturas y pruebas, y puede guiar a los alumnos a un entorno de aprendizaje imaginativo. Por ejemplo, en esta lección, se diseñan dos escenarios de problemas prácticos para guiar a los estudiantes a. "matematizar" problemas prácticos. A través de la prueba del teorema en el Ejemplo 1 y la inferencia en el Ejemplo 2, las pruebas llevan a los estudiantes a derivar una variedad de pruebas.

Los conceptos son el precursor de la acción Thom (1971) una vez. dijo: "De hecho, no importa cuáles sean los deseos de la gente, todos los métodos de enseñanza de las matemáticas están fundamentalmente fuera de una cierta filosofía de las matemáticas, incluso los métodos de enseñanza muy no estandarizados son verdaderos". El punto de vista del matemático Hersh (1979): "La cuestión No se trata de cuál es la mejor manera de enseñar, sino de qué son las matemáticas... Si no afrontamos las cuestiones esenciales de las matemáticas, no podremos resolver la controversia sobre la enseñanza de Guanding." "La formación del pensamiento matemático profesional de los profesores. es consistente con sus formas típicas de expresar el contenido matemático, lo que ilustra fuertemente el pensamiento matemático de los profesores. Las opiniones, creencias y pasatiempos matemáticos afectan sus actividades de enseñanza”.

Mi visión anterior de las matemáticas era principalmente estática y. visión absolutista de las matemáticas. En la práctica docente, a menudo me quejaba de que era difícil organizar la investigación matemática. Más tarde descubrí que esto estaba estrechamente relacionado con mi visión incorrecta de las matemáticas, mis malas habilidades matemáticas y mi falta de habilidades para enseñar la investigación cooperativa. tales habilidades matemáticas. ¿Cómo podemos reorganizar los resultados de la investigación matemática para satisfacer las necesidades de la educación y proporcionar materiales adecuados para los métodos de enseñanza? Además, dado que hay muchos factores desconocidos que pueden ocurrir durante el aprendizaje y la exploración de los estudiantes, todos ellos son importantes para los profesores. las habilidades matemáticas y las habilidades de enseñanza plantean requisitos más altos.

Frente a los desafíos de los tiempos, creo que los maestros deben cambiar sus conceptos, mejorar efectivamente sus comportamientos de enseñanza y esforzarse por mejorar su propio nivel de calidad para implementar mejor la enseñanza de las matemáticas mediante la investigación.