Métodos comunes de pensamiento matemático
En el proceso de aprender matemáticas, ¿cuáles son las formas comunes de pensar? A continuación se muestran las formas comunes de pensar en matemáticas que he recopilado en línea para que todos las aprendan.
Métodos comunes de pensamiento matemático: clasificación e integración
Al resolver problemas, a menudo nos encontramos con una situación de este tipo, después de resolver un determinado paso, ya no podemos usar un método unificado o unificado. La fórmula continúa, porque el problema en estudio en este momento contiene una variedad de situaciones, lo que requiere dividir correctamente varias subáreas dentro del área total dada por las condiciones, y luego resolver el problema en cada subárea. Al clasificar y resolver este problema, también debemos juntarlos, porque después de todo, estamos estudiando el problema completo. Esta es la idea de clasificación e integración. Dividir y combinar, dividir primero y luego combinar Este no es solo el proceso principal de resolución de problemas mediante el pensamiento de clasificación e integración, sino también el atributo esencial de este método de pensamiento.
El examen de ingreso a la universidad coloca las ideas de clasificación e integración en una posición más importante, y la prueba se basa principalmente en responder preguntas. Durante la prueba, los candidatos deben comprender qué tipo de problemas deben resolverse. clasificados y estudiados, por qué es necesario clasificarlos, cómo clasificarlos y cómo estudiarlos después de la clasificación y cómo integrarlos al final. Preste especial atención a los motivos de la clasificación. Debemos estar bastante familiarizados con ella. Algunos conceptos se definen mediante clasificación, como el concepto de valor absoluto, la división de números enteros en números pares e impares, etc. dada por clasificación, como la suma de secuencias geométricas, la fórmula se divide en dos casos: q = 1 y q? 1, y la monotonía de la función logarítmica se divide en a> 1, 0
El examen de las ideas de clasificación e integración en el examen de ingreso a la universidad a menudo se centra en parámetros que contienen expresiones analíticas, incluidos problemas de funciones, problemas de secuencia y problemas de geometría analítica, etc. Además, los problemas de permutación y combinación y los problemas de probabilidad y estadística también ponen a prueba las ideas de clasificación e integración. Con la implementación del nuevo plan de estudios para el examen de ingreso a la universidad en todo el país, creo que examinar las ideas de clasificación e integración en el nuevo contenido será uno de los puntos clave del examen de ingreso a la universidad en los próximos años.
Métodos comunes de pensamiento matemático: funciones y ecuaciones
El famoso matemático Klein dijo que lo más importante que la gente común y corriente debería aprender en las clases de matemáticas es ¿utilizar variables y funciones para pensar? . Un estudiante que solo aprende el conocimiento de funciones suele ser pasivo al resolver problemas. Solo estableciendo la idea de funciones puede pensar activamente en algunos problemas.
Las funciones son la columna vertebral del contenido de álgebra de la escuela secundaria. Las ideas de funciones se encuentran en todo el contenido del álgebra de la escuela secundaria. Las ideas de funciones son abstracciones, generalizaciones y refinamientos del contenido de funciones en un nivel superior. Contenido de cada parte de una función. Considerar problemas, estudiar problemas y resolver problemas desde una conexión interna y una perspectiva holística.
La idea de la llamada ecuación es resaltar el estudio de la relación de equivalencia entre cantidades conocidas y cantidades desconocidas, y lograr el propósito de la evaluación estableciendo incógnitas, formulando ecuaciones o sistemas. de ecuaciones y resolución de ecuaciones o sistemas de ecuaciones. Cuestiona ideas y estrategias, que son las ideas básicas para resolver diversos problemas informáticos y la base de la capacidad informática.
Las funciones, ecuaciones y desigualdades se relacionan entre sí a través de que el valor de la función sea igual a cero, mayor que cero o menor que cero. Existen diferencias y conexiones entre ellas. Las ideas de funciones y ecuaciones no son solo la encarnación de las ideas de funciones y ecuaciones, sino también la aplicación integral de las dos ideas. Son las ideas matemáticas básicas en el proceso de estudio de variables y funciones, igualdad y desigualdad.
El examen de ingreso a la universidad examina las ideas de funciones y ecuaciones como el foco de siete métodos de pensamiento. Se utilizan preguntas de opción múltiple y preguntas para completar espacios en blanco para examinar la aplicación básica de las ideas de. funciones y ecuaciones En las preguntas de respuesta, se examina la aplicación básica de las ideas de funciones y ecuaciones desde una perspectiva más profunda, en la intersección de las redes de conocimiento, se realiza un examen integral desde la perspectiva de la relación entre los métodos de pensamiento y. habilidades relacionadas.
Al resolver problemas, debes aprender a pensar en estas preguntas: (1) ¿Necesitas tratar las letras como variables? (2) ¿Necesitas tratar las expresiones algebraicas como funciones? , ¿qué propiedades tiene? (3) ¿Es necesario construir una función para convertir problemas que no son funciones en la superficie en problemas de funciones? (4) ¿Se puede convertir una ecuación en una ecuación? de esta ecuación
Métodos comunes de pensamiento matemático: especial y general
De lo especial a lo general, y de lo general a lo especial, es uno de las formas básicas para que las personas entiendan el mundo. La investigación matemática no es una excepción. El proceso cognitivo básico de estudiar problemas matemáticos de lo específico a lo general y de lo general a lo específico son las ideas especiales y generales en la investigación matemática.
Nuestro estudio de fórmulas, teoremas y reglas a menudo comienza desde lo especial y se resume mediante un resumen. Después de demostrarlos, los usamos para resolver problemas matemáticos relacionados. La inducción y la deducción, que se utilizan a menudo en matemáticas, son la expresión concentrada de ideas generales y especiales. Al analizar las preguntas del examen de ingreso a la universidad a lo largo de los años, hay muchas preguntas que evalúan pensamientos generales y especiales. Algunas pruebas usan inducción general para hacer conjeturas, y algunas usan funciones especiales y secuencias especiales para encontrar puntos especiales, determinar posiciones especiales y usar valores especiales. , Ecuaciones especiales, etc., estudiar y resolver problemas generales, problemas abstractos, problemas de cambios de movimiento, etc. Con la promoción integral de nuevos libros de texto, el examen de ingreso a la universidad utiliza nuevos contenidos como material, y resaltar el examen de ideas especiales y generales se convertirá inevitablemente en la dirección de la futura reforma de las propuestas.
Métodos comunes de pensamiento matemático: finito e infinito
Finito e infinito no son cosas nuevas. Aunque las matemáticas que empezamos a aprender eran una enseñanza limitada, también contienen infinitos ingredientes, pero no en ellos. -Se ha realizado una investigación en profundidad. En el proceso de aprender sobre los números y sus operaciones, el aprendizaje de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos son todas operaciones con números finitos, pero de hecho el número de elementos en cada conjunto de números es infinito. En geometría analítica también estudié las asíntotas de parábolas, y en ellas ha comenzado a reflejarse la idea de límite. Los límites de secuencia y funciones encarnan las ideas de finitud e infinito. Usando la idea de límites para resolver problemas matemáticos, la más obvia es encontrar el volumen y el área de superficie de una bola en geometría sólida y usar el método de división infinita para resolverlo. Primero se realiza el número de divisiones y luego se calcula la suma para encontrar el límite. Estas son aplicaciones típicas de pensamientos finitos e infinitos.
La función es una descripción de cosas dinámicas que cambian en movimiento, lo que refleja el importante papel de las matemáticas variables en el estudio de cosas objetivas. Las derivadas son una descripción de qué tan rápido cambian las cosas y pueden usarse para procesar y resolver problemas prácticos como el aumento, la disminución, el máximo, el mínimo, el máximo y el mínimo de funciones. Es una herramienta poderosa para estudiar la tasa de cambio. de cosas objetivas y problemas de optimización.
El examen de ideas finitas e infinitas en el examen de ingreso a la universidad acaba de comenzar y, a menudo, se realiza al mismo tiempo que otras ideas y métodos matemáticos. Por ejemplo, cuando se usa el pensamiento inductivo de especial a general, contiene las ideas de finito e infinito; cuando se usa la inducción matemática para demostrar, resuelve problemas infinitos y encarna las ideas de finito e infinito, etc. Con el examen gradual en profundidad de nuevos contenidos, se fortalecerá el examen de ideas finitas e infinitas y se diseñarán nuevas preguntas de prueba que resalten ideas finitas e infinitas.
Métodos comunes de pensamiento matemático: probabilidad y necesidad
Los fenómenos aleatorios tienen dos características más básicas. Una es la aleatoriedad de los resultados, es decir, al repetir el mismo experimento, los resultados obtenidos. los resultados no son los mismos, por lo que los resultados de la prueba no se pueden predecir antes de la prueba; el segundo es la estabilidad de la frecuencia, es decir, en una gran cantidad de pruebas repetidas, la frecuencia de cada resultado de la prueba es estable alrededor de un constante. Para comprender un fenómeno aleatorio, necesita conocer todos los resultados posibles de este fenómeno aleatorio y la probabilidad de cada resultado. Conocer estos dos puntos significa que ha estudiado claramente este fenómeno aleatorio. La probabilidad estudia fenómenos aleatorios. El proceso de investigación consiste en encontrar la "inevitabilidad" entre los "accidentes" y luego utilizar las leyes de la "inevitabilidad" para resolver problemas "accidentales".
Con la promoción de nuevos libros de texto, el examen del contenido de probabilidad en el examen de ingreso a la universidad ha adquirido una posición importante. A través de la probabilidad de eventos igualmente posibles, los puntos clave incluyen la probabilidad de que ocurra un evento mutuamente excluyente, la probabilidad de que ocurran eventos mutuamente independientes al mismo tiempo, la probabilidad de que n ensayos repetidos independientes tengan exactamente k ocurrencias, la secuencia de distribución de eventos aleatorios y expectativas matemáticas, etc. Examen de contenidos, examen de conceptos y métodos básicos, examen de la relación dialéctica entre probabilidad y necesidad en la resolución de problemas de aplicación práctica.
Los problemas de probabilidad, sin importar a qué tipo pertenezcan, consisten en estudiar la relación dialéctica entre probabilidad y necesidad en eventos aleatorios, y buscar la ley de necesidad en la probabilidad.
Métodos comunes de pensamiento matemático: reducción y transformación
Para soluciones desconocidas o problemas difíciles de resolver, elija y utilice las matemáticas apropiadas a través de la observación, el análisis, la analogía, la asociación y otros procesos de pensamiento. La idea de transformar métodos y reducirlos a problemas que han sido resueltos o que pueden resolverse fácilmente dentro del alcance del conocimiento conocido se llama idea de reducción y transformación.
La esencia del pensamiento de reducción y transformación es revelar conexiones y lograr la transformación.
A excepción de los problemas matemáticos muy simples, todo problema matemático se resuelve transformándolo en un problema conocido. En este sentido, resolver problemas matemáticos es el proceso de transformación de lo desconocido a lo conocido. Las ideas de reducción y transformación son las ideas fundamentales para resolver problemas matemáticos. El proceso de resolución de problemas es en realidad un proceso de transformación paso a paso. Las transformaciones abundan en las matemáticas, como la transformación de lo desconocido en lo conocido, la transformación de problemas complejos en problemas simples, la transformación de nuevos conocimientos en conocimientos antiguos, la transformación entre proposiciones, la transformación de números y formas, la transformación del espacio. en planos, la transformación de alta transformación de una dimensión a baja dimensión, la transformación de multidimensional a unidimensional, la transformación de funciones y ecuaciones, etc., son todas manifestaciones de ideas de transformación. (Los métodos de pensamiento de transformación y reducción son los métodos de pensamiento más básicos en matemáticas. La solución de todos los problemas en matemáticas es inseparable de la transformación y reducción. La idea de combinar números y formas encarna la transformación mutua de números y formas; el idea de funciones y ecuaciones Representa la transformación mutua entre funciones, ecuaciones y desigualdades. La idea de discusión de clasificación representa la transformación mutua de la parte y el todo. Los tres métodos de pensamiento anteriores son encarnaciones específicas de transformación y reducción. ideas, varios métodos de transformación, métodos de análisis y prueba por contradicción, método de coeficiente indeterminado, método de construcción, etc., son todos medios de transformación. Por lo tanto, la transformación y la reducción son el alma de los métodos de pensamiento matemático. La transformación incluye transformación equivalente y transformación no equivalente. Las transformaciones equivalentes son condiciones necesarias y suficientes antes y después, por lo tanto, trate de hacer las transformaciones lo más equivalentes posible; cuando sea inevitable, las transformaciones no equivalentes deben ir acompañadas de restricciones para mantener la equivalencia o la verificación necesaria de las conclusiones obtenidas.
El dominio competente y sólido de los conocimientos básicos, las habilidades básicas y los métodos básicos es la base para la transformación; las asociaciones ricas, las observaciones, comparaciones y analogías astutas y sutiles son el puente para lograr la transformación y entrenar la propia conciencia; transformación La conciencia de la atribución y la transformación requiere una comprensión esencial y profunda de los teoremas, fórmulas y reglas, así como el resumen y refinamiento de los ejercicios típicos. Debemos descubrir de manera proactiva y consciente las conexiones esenciales entre las cosas. Algunas personas piensan que "captar lo básico y centrarse en la transformación" es la clave de oro para aprender bien las matemáticas en la escuela secundaria, y esto no es descabellado.
Métodos comunes de pensamiento matemático: combinación de números y formas
Los objetos de la investigación matemática son las relaciones cuantitativas y las formas espaciales, es decir, los dos aspectos de "número" y "forma". . Los números y las formas no están aislados, sino estrechamente relacionados. El estudio de las relaciones cuantitativas se puede transformar en el estudio de las propiedades gráficas y, a la inversa, el estudio de las propiedades gráficas se puede transformar en el estudio de las relaciones cuantitativas. Esta estrategia de investigación de transformación mutua entre "número" y "forma" en el proceso. de resolver problemas matemáticos se llama forma numérica. La idea de combinar.
La idea de combinar números y formas, en casi todos los conocimientos de matemáticas, inspira a las personas con la representación intuitiva de objetos matemáticos y expresiones cuantitativas profundas y precisas, proporcionando una forma sencilla y clara de resolver problemas. forma. Su uso muestra a menudo una combinación armoniosa y perfecta de números y formas. El Sr. Hua Luogeng una vez hizo una discusión incisiva: la numeración y la creación de formas dependen inherentemente entre sí, entonces, ¿cómo se pueden separar en dos lados? Cuando faltan números y formas, hay poca intuición; cuando hay pocas formas, a los demás les resulta difícil entender; cuando se combinan números y formas, todo está bien, cuando están separados, todo está mal; Nunca olvides que la unidad de la geometría y el álgebra está siempre conectada y nunca separada. ?
La combinación de números y formas no solo es una idea matemática importante, sino también una estrategia de resolución de problemas de uso común. Por un lado, muchos conceptos abstractos y expresiones analíticas de relaciones cuantitativas a menudo se vuelven muy intuitivos si se les dan significados geométricos. Por otro lado, las propiedades de algunos gráficos se pueden estudiar a través de relaciones cuantitativas, haciendo que las propiedades de los gráficos sean más ricas y precisas; , más profundo. Este tipo de conversión mutua y penetración mutua de "número" y "forma" no sólo puede hacer que la solución de algunos problemas sea simple y clara, sino que también puede ampliar enormemente nuestras ideas de resolución de problemas. Se puede decir que la combinación de números y formas no es sólo una "visión" para explorar ideas, sino también una poderosa "palanca" para profundizar el pensamiento.
La transformación de "forma" a "número" suele ser más obvia, pero la transformación de "número" a "forma" requiere la conciencia de la transformación. Por tanto, el uso de la idea de combinar números y formas suele centrarse en la transformación de números en formas.
En el examen de ingreso a la universidad, las características de los dos tipos de preguntas, preguntas de opción múltiple y preguntas para completar espacios en blanco (solo es necesario escribir los resultados sin escribir el proceso), brindan conveniencia para probar la idea de combinar números y formas, y puede resaltar la conciencia de los candidatos de la prueba de convertir problemas complejos de relaciones cuantitativas en problemas de gráficos geométricos intuitivos para resolver.
Al resolver problemas, teniendo en cuenta el rigor del razonamiento y la argumentación, el estudio de problemas de relaciones cuantitativas todavía destaca los métodos algebraicos en lugar de recomendar el uso de métodos geométricos. Al resolver problemas, se examina la idea de combinar números y formas. basado en "número" para La transformación de la forma es el enfoque principal.