¿Cómo determinar la función inversa?

1. Revele el tema Maestro: Hoy aprenderemos un concepto importante en funciones: función inversa (Escriba en la pizarra: Función inversa 1. El concepto de función inversa) 2. Explique la nueva lección 3. Profesor: ¿Qué es una función inversa? Pensemos juntos en esta pregunta: en una función, si y se usa como variable dependiente e y se usa como variable independiente, ¿puede formar una función? Estudiante: Puede formar una función. Profesor: ¿Por qué es una función? Estudiante: Cualquier valor dentro del rango de valores permitido de y, según la regla → le corresponde una x única. Según lo dicho por este alumno, esto está en línea con la definición de función, es decir, según. Según los principios anteriores, existe una función inversa de una función. ¿Cuál es la fórmula analítica de esta función inversa? Estudiante: Debería serlo. Profesor: No hay ningún problema con este método de expresión, pero no se ajusta a nuestros hábitos. Según la costumbre, la letra x se usa para representar la variable independiente y la letra y se usa para representar la. variable dependiente Por lo tanto, la fórmula analítica de esta función se puede escribir así. Después de eso, surge la pregunta, es decir, ¿son y son la misma función? Estudiante: Sí. Profesor: ¿Puedes explicarlo en detalle? Estudiante: Desde la perspectiva de los tres elementos de la función, y tienen el mismo dominio de definición y rango de valores, ambos son R. Al mismo tiempo, las reglas correspondientes son la variable independiente menos 1 dividida por 2 para obtener la variable dependiente, que también es la misma, entonces son iguales. Profesor de funciones: Como son iguales, la llamamos función inversa de la función. De manera similar, ¿la función y=x-1 2 tiene una función inversa? Estudiante: Sí. Así es. Profesor: Sí. En otras palabras, las funciones son funciones inversas entre sí. Entonces, ¿todas las funciones tienen funciones inversas? Estudiante: No todas las funciones tienen funciones inversas. Profesor: ¿Puedes dar un ejemplo? Estudiante: Por ejemplo, si una función toma y como variable independiente y x como variable dependiente, dentro del rango de valores permitido de y, una y puede corresponder a dos x. Por ejemplo, si y=1, entonces x=±1. , entonces no puede constituir una función. Explique No tiene función inversa Maestro: Eso es muy bueno. Si lo explicamos desde la perspectiva de la forma, lo veremos más claramente, como se muestra en la Figura 1. En la figura, podemos ver que una y dada puede corresponder a dos x. Falta la Figura 1 A través del estudio de varias funciones específicas, hemos aprendido qué es una función inversa. Al generalizar el proceso de investigación anterior sobre la función inversa de la función y=2x+1, y resumirlo, podemos obtener la definición de la. función inversa. Dado que esta definición es relativamente larga, leeremos juntos el contenido relevante del libro. (Escriba en la pizarra: (1) Definición de función inversa) (Pida a los estudiantes que abran el segundo párrafo natural en la página 60 del libro y pida a un compañero que lea este párrafo en voz alta). Para ayudar a los estudiantes a comprender la descripción en el Definición, el profesor puede utilizar la primera función Take específica como ejemplo para explicar la relación entre y = f (x) y x = j (y). Al mismo tiempo, cabe señalar que el significado de la palabra ". if" en la definición significa que no todas las funciones tienen funciones inversas. ) Después de tener una comprensión preliminar de la función inversa, estudiemos más a fondo este concepto de función especial. (Escriba en la pizarra: (2) Comprensión de conceptos.) Maestro: La palabra "inversa" de una función inversa debe ser relativa a la función dada originalmente, entonces, ¿cuál es la relación entre ellas? Estudiemos las dos funciones y=2x+1 e y=2x+1 ahora como ejemplo. Estudiante: Las reglas correspondientes son diferentes. Maestro: ¿Puedes ser más específico y explicar por qué son diferentes? Estudiante: En la regla correspondiente de estas dos funciones, las posiciones de xey se transponen. (El estudio de la relación entre dos funciones debe comenzar desde la perspectiva de los tres elementos de la función. El maestro puede guiar adecuadamente a los estudiantes para que se acerquen a los tres elementos). Maestro: ¿Existen otras conexiones? Estudiante: El dominio y el dominio de cuando son el dominio y el dominio de y=2x+1 respectivamente. Maestro: Según nuestra discusión de ahora, podemos encontrar que los tres elementos de la función inversa están determinados por la función original. Cuando se determina la función dada, los tres elementos de la función inversa también están determinados, que se pueden abreviar como. "tres determinaciones" "． Para concretar esta relación definida, ¿dónde está ahora la fuente "inversa" de la función inversa? Estudiante: El dominio de la función inversa es el dominio de la función original; el dominio de la función inversa es el dominio de la función original; la regla correspondiente de la función inversa es intercambiar las posiciones de xey en la regla correspondiente; de la función original. Maestro: De esto podemos ver que la "inversa" de la función inversa en realidad se refleja en las "tres inversas". Entre estas "tres inversiones", el factor decisivo es la inversión de xey. Precisamente por el cambio de sus posiciones se invierten los valores correspondientes, provocando así las otras dos "inversiones". (Escriba en la pizarra: a. "Tres definidas", b. "Tres inversas") Profesor: Desde la perspectiva del concepto de función, hemos aclarado la relación entre la función original y su función inversa Por supuesto que podemos. estúdialo también desde otros aspectos, como por ejemplo: ¿Tiene una función una función inversa? Si existe una función inversa, ¿cuáles son sus propiedades? ¿Qué tiene que ver con las propiedades de la función original? A través de los ejemplos anteriores, podemos encontrar que en los problemas anteriores, la naturaleza de la función original juega un papel decisivo.

Las propiedades de la función inversa también están relacionadas con las propiedades de la función original. Debido a que las funciones y las funciones inversas están tan estrechamente relacionadas, se ha convertido en un aspecto importante de futuras investigaciones sobre funciones. Cuando estudiamos las propiedades de una determinada función, si la función tiene una función inversa, podemos elegir la más simple entre las dos y estudiarla, lo que aumenta el número de métodos para estudiar funciones. Maestro: Después de tener una comprensión más completa del concepto de función inversa, es natural hacer esta pregunta: si una función tiene una función inversa, ¿cómo encontrar la función inversa de esta función? Veamos estas dos preguntas juntas. Ejemplo 1 Encuentra la función inversa de . Estudiante: (Escribiendo en la pizarra) Solución De, Entonces, la función inversa buscada es (las irregularidades en la expresión no se investigarán por el momento, y lo comentaremos juntos después de completar la solución del Ejemplo 2). La función inversa encontrado en el Ejemplo 2. Estudiante: (Escribiendo en la pizarra) Solución: De y= obtenemos y así. Maestro: Ahora pida a los estudiantes que comenten las expresiones de los dos ejemplos. Estudiante: La función inversa obtenida en el Ejemplo 2 es incorrecta y debería ser (x≥2) Profesor: ¿Es esta función diferente de la función obtenida en la pizarra? Estudiante: Los dominios de las dos funciones son x≥1 y x≥2 respectivamente, por lo que son dos funciones diferentes. Maestro: ¿Por qué es (x≥2)? Estudiante: Debido a que el dominio de la función inversa debe ser el rango de la función dada original f(x), y el rango de f(x) debe ser y≥2, la función inversa buscada debe ser (x≥2). Maestro: Eso es muy bueno. Según nuestra comprensión de las funciones inversas, el dominio de una función inversa es el dominio de valor de la función dada original. Por lo tanto, para encontrar el dominio de la función inversa, primero debemos encontrar el rango de la función original. Entonces, ¿cómo debería ajustarse el proceso de solución del Ejemplo 2? Salud: Se deduce que x≥1, entonces. Debido a que el rango de valores de es, entonces (x≥2). Maestro: A través de la discusión de ahora, descubrimos y resolvimos el problema de la existencia de la función inversa en el Ejemplo 2. Al mismo tiempo, también notamos que el dominio de la función inversa debe señalarse claramente para garantizar la exactitud de la conclusión. Aparte de eso, ¿hay alguna pregunta? Estudiante: ¿Por qué no encontraste el rango de valores de la función dada en el Ejemplo 1? Maestro: Por favor discutan este tema, estudiantes. Estudiante: Debido a que el dominio de la función dada es y≠0, esto es consistente con la conclusión de que el dominio de la función inversa es x≠0, por lo que no hay error. Maestro: Se debe decir que la coherencia de las conclusiones de esta pregunta es accidental, no inevitable. Por lo tanto, en el proceso de encontrar la función inversa, se debe encontrar el rango de valores de la función dada originalmente y se debe anotar el dominio de la función inversa en el resultado final. Entonces, ¿cómo debería ajustarse el proceso de redacción de especificaciones del Ejemplo 1? Estudiante: (escribiendo en el pizarrón) Solución: Por lo tanto, la función inversa que se debe encontrar es Profesor: A través de la discusión de los dos ejemplos específicos de ahora, ¿puede resumir los pasos básicos para encontrar la función inversa de una función expresada en una forma analítica? ¿expresión? (Escriba en la pizarra: 2. Pasos para encontrar la función inversa) Estudiantes: Primero resuelvan x a partir de la expresión analítica, luego encuentren el rango de valores de la función dada y finalmente reescribanlo en una expresión habitual. Maestro: Resuma estos pasos en unas pocas palabras simples: 1. Solución inversa: es decir, considere la expresión analítica como la ecuación de x y encuentre la expresión analítica de la función inversa 2; Intercambio: encuentre el dominio de valor de la función dada y cámbielo al dominio de la función inversa 3. Reescribir: escriba la función en forma de. (Escriba en la pizarra: 1. Interpretación inversa 2. Intercambio 3. Reescribir.) Maestro: Hagamos algunos ejercicios para ver si los estudiantes realmente entienden estos tres pasos básicos. 3. Ejercicios de consolidación y práctica: Encuentra la función inversa de las siguientes funciones 1. (Completado por un estudiante en la pizarra). La solución es x=3 2y-2 Y f(x)=23x+3, el rango de valores de x∈(-∞,3) es f(x)∈(-. ∞, 4), entonces f-1(x)=32x-2,x∈(-∞,4).2.y=x2-x+1(x≥12) (completado por un estudiante en el pizarrón, dos preguntas al mismo tiempo Continúe, los otros estudiantes terminan en sus cuadernos y el maestro inspecciona.) Resolviendo y=x2-x+1, obtenemos x2-x+1-y=0, entonces x=1±4y- 32, y y=x2-x+ El rango de valores de 1(x≥12) es {y|y≥34}, entonces, f-1(x)1±4x-32(x≥34) (Después de todos los estudiantes). Cuando haya terminado, combine las expresiones de los estudiantes en la pizarra. Comente los problemas que surgen en las respuestas de otros estudiantes.) Maestro: Primero mire las expresiones de los estudiantes en la pizarra para ver si hay algún problema. (Un alumno lo corrige en la pizarra) De y=x2-x+1, obtenemos

x2-x+1-y=0, entonces x=1±4y-32 y x≥12, entonces x=1+4y-32 y y=x2-x+1(x≥12). y |y≥34}, por lo que la función inversa buscada es y=1+4x-32 (x≥34). Profesor: Después de la corrección, no hay problema en la expresión de las dos preguntas. Hablemos de algunos puntos a los que prestar atención en función de algunos problemas que otros estudiantes han encontrado al resolver problemas. (1) Un paso en el proceso de encontrar la función inversa es encontrar el rango de valores de la función dada original. Hay muchas formas de evaluar el dominio. Si la función dada es una función común, como una función lineal, una función cuadrática, etc., puede resultar más conveniente e intuitivo evaluar el dominio desde la perspectiva de la "forma". 2) Resuelva la ecuación cuadrática de una variable sobre x. Hay dos raíces y x debe elegirse de acuerdo con las condiciones dadas en la pregunta para conservar la única solución que cumpla las condiciones (3) Hay una diferencia entre las dos preguntas. en el uso de símbolos de función inversa. La pregunta proporciona el símbolo f (x), la función inversa se puede representar mediante f-1 (x); de lo contrario, solo se puede expresar en forma de descripción de texto 4. Resumen 1. El. La función inversa es un concepto importante en las funciones. Es desde la perspectiva del estudio de la relación entre dos funciones. Por lo tanto, su comprensión debe estudiarse desde la perspectiva de tres elementos. 2. Si una función tiene una función inversa está determinada por las propiedades. de la función dada originalmente, y las propiedades de la función inversa también están determinadas por las propiedades de la función dada originalmente 3. Encontrar la función inversa en realidad significa hacer dos cosas, una es resolver una ecuación sobre la variable independiente x, y el otro es encontrar el rango de valores de una función.