Prueba de pares de transformadas de Fourier comúnmente utilizados

Resumen

El llamado procesamiento de señales se refiere al proceso de filtrado, transformación, análisis, procesamiento y extracción de parámetros característicos de las señales. En instrumentos y mediciones electrónicos, el método más típico es utilizar un analizador de espectro para realizar análisis de espectro en señales para comprender y obtener las características de frecuencia (o espectro) de la señal. Antes del desarrollo de las computadoras modernas y las tecnologías relacionadas, este proceso sólo podía lograrse mediante analizadores de espectro que consistieran en tecnología tradicional cableada. Como todos sabemos, este analizador de espectro tradicional es muy exigente en cuanto a diseño, fabricación y componentes. Especialmente aquellos con un amplio rango de frecuencia y un índice alto son más difíciles de diseñar y fabricar, y el precio también es muy caro. Sin embargo, con la creciente madurez y desarrollo de las computadoras y la posterior tecnología de procesamiento de señales digitales (DSP), el método de resolución del análisis del espectro de señales es reemplazado gradualmente por DSP.

Transformada Discreta de Fourier y Filtrado Digital

Como procesamiento de señales, la más directamente relacionada con el análisis del espectro es la transformada de Fourier, es decir, FT. Como todos sabemos, la transformada discreta de Fourier y el filtrado digital son los contenidos básicos del DSP. Actualmente existen muchos algoritmos DFT rápidos prácticos y efectivos, a saber, algoritmos y software FFT, cuyo rendimiento depende principalmente de la frecuencia de muestreo (que en realidad incluye la conversión de analógico a digital) y la velocidad de procesamiento de la CPU. El proceso de convertir cualquier señal (que refleja principalmente diversos cambios en el mundo físico objetivo, en su mayoría simulaciones de cambio continuo) en datos digitales que pueden ser procesados ​​por la CPU se denomina "digitalización", que incluye dos pasos de muestreo y cuantificación, comúnmente conocidos. como conversión de analógico a digital. La frecuencia de muestreo está relacionada con la señal que se procesa. Para garantizar que los datos de la señal digitalizada no pierdan las características de la señal original, la frecuencia de muestreo debe ser mayor o al menos igual al doble de la frecuencia de corte de la señal. Este es el famoso teorema de muestreo de Nyquist, o tasa de muestreo de Nyquist. El teorema de muestreo de Nyquist es fácil de demostrar. En cuanto a la velocidad de cálculo de la CPU, como todos sabemos, las microcomputadoras actuales han alcanzado el nivel de cientos o incluso gigahercios. Para mejorar o realizar operaciones de alta velocidad como FFT, Texas Instruments (IT) lleva mucho tiempo comprometida con el desarrollo y la producción de chips DSP dedicados. La famosa serie de chips TMS320 es bien conocida en la comunidad tecnológica. Según informes recientes, el nuevo TMS320C64x ha alcanzado una velocidad operativa de 600 MHz y las ocho unidades funcionales de su núcleo pueden realizar simultáneamente cuatro grupos de operaciones MAC de 16 bits u ocho grupos de operaciones MAC de 8 bits en cada ciclo. Un único chip DSP C64x puede completar simultáneamente un canal de codificación de vídeo MPEG-4, un canal de decodificación de vídeo MPEG-4 y un canal de decodificación de vídeo MPEG-2, manteniendo al mismo tiempo un margen del 50 % para la codificación de voz y datos multicanal. Naturalmente, otros fabricantes también han desarrollado y producido una variedad de chips DSP dedicados o de uso general.

En el último siglo, el desarrollo de los filtros de potencia ha pasado por dos procesos: de pasivo a activo, y de analógico a digital. Los filtros pasivos de alta precisión son una tecnología muy difícil desde el diseño hasta la fabricación. Aunque los filtros activos han mejorado enormemente el rendimiento de los filtros y han reducido la dificultad de algunos procesos de fabricación, los filtros digitales todavía están rezagados en términos de mejoras sustanciales en el rendimiento y la combinación con otras tecnologías de procesamiento de señales. Por supuesto, esto también está relacionado con el desarrollo de la tecnología EDA.

Un filtro digital es un sistema discreto cuyas características o función de transferencia se describen mediante ecuaciones en diferencias basadas en la transformada z. Los filtros digitales se dividen en dos categorías, a saber, filtros de respuesta de impulso finita IIR y filtros de respuesta de impulso infinita FIR. El primero también se denomina filtro "recursivo" y el segundo también se denomina filtro "no recursivo". Se puede determinar la ecuación diferencial que describe el sistema de acuerdo con los requisitos de procesamiento de la señal y luego diseñar el filtro basándose en la ecuación diferencial. También hay dos formas de implementar filtros: una es software puro, que se convierte en software de algoritmo o paquete de software, la otra es hardware, que se diseña en un circuito cableado específico, o incluso se convierte en un circuito dedicado o de uso general; chip. No es difícil obtener métodos de diseño de filtros digitales y productos de software y hardware maduros. No entraré en detalles aquí.

Otras transformaciones ortogonales de señales

Como todos sabemos, la transformada de Fourier o análisis de Fourier contiene los siguientes significados:

La señal de EP se obtiene por su FT en el espectro Cada componente de representa una señal positiva.

Síntesis de ondas corales. En este sentido, llamamos al conjunto de funciones sinusoidales ortogonales que representan estas ondas sinusoidales funciones de base ortogonales de la transformada de Fourier (que también se pueden expresar en forma de funciones variables complejas).

Las investigaciones muestran que no solo la función seno se puede usar como función base de la transformación ortogonal, sino que siempre que satisfaga el sistema de funciones ortogonal completo, se puede usar como función base para descomponer la señal (la función seno es naturalmente una sistema de funciones completo ortogonal). Por lo tanto, generalmente llamamos a estas transformaciones "transformaciones ortogonales". Las funciones ortogonales no sinusoidales más interesantes en la práctica son la función de Rademacher, la función de Haar y la función de Walsh. Durante un período de tiempo, la función de Walsh fue la función más utilizada, completada por Walsh en 1923. La función de Walsh es un conjunto de ondas rectangulares con valores 1 y -1, lo cual es muy conveniente para las operaciones con computadora. Hay tres formas de permutar o numerar las funciones de Walsh, a saber, permutación de velocidad de columna o permutación de Walsh, permutación de Palley y permutación de Hadamard. Cada una de estas tres disposiciones tiene sus propias características y la disposición de Hadamard es la más conveniente para realizar cálculos rápidos. La transformación de la función de Walsh utilizando la permutación de Hadamard se denomina transformada de Walsh-Hadamard, o WHT o transformada de Hadamard para abreviar. Dado que la operación de transformación ortogonal discreta a menudo se completa mediante la multiplicación de matrices, y la forma matricial del grupo de funciones de Walsh-Adama solo tiene 1 y -1 elementos, esta matriz corta de Adama es muy regular y se puede generar con un simple algoritmo, entonces WHT El algoritmo rápido es fácil de implementar. Este rápido algoritmo y su software son ahora un producto muy maduro. Eso sí, a la hora de utilizar esta transformada debemos recordar que su espectro se basa en onda corta.

Otra transformada ortogonal comúnmente utilizada es la transformada discreta del coseno. Se sabe que la función básica de la transformada de Fourier es la función seno, es decir, la frecuencia de la onda sinusoidal está determinada por el número de veces que cada componente es una onda sinusoidal (o vector complejo), y la fase de cada componente constituye el espectro de fase de la señal. Es decir, el espectro de Fourier de la señal incluye dos partes, una es la característica de amplitud y la otra es la característica de fase o es la componente coseno de la parte real y la componente seno de la parte imaginaria del vector complejo; . En otras palabras, solo el espectro característico de amplitud no puede representar completamente la señal, y las características de fase deben complementarse para que estén completas. Por supuesto, esto no sólo complica el procesamiento de representaciones y operaciones, sino que también aumenta la cantidad de datos que representan la señal. Las investigaciones muestran que si el origen de las coordenadas de la señal se mueve adecuadamente, en el resultado de la transformación solo puede existir una componente sinusoidal o una componente coseno de la onda sinusoidal. Esta es la transformada del seno o la transformada del coseno. La transformada discreta del coseno (DCT) en el procesamiento de señales se obtiene moviendo el origen de las coordenadas de la señal hacia la izquierda medio intervalo de muestreo. DCT tiene excelentes características de información y algoritmos rápidos y efectivos, por lo que se consideró una transformación estándar para la codificación de compresión de imágenes cuando se formuló el estándar MPEG.

Al final de esta sección, permítanme mencionar la transformación discreta K-L (Karhunenlove). KLT a menudo se denomina la mejor transformación porque los filtros y la codificación de compresión de información que utilizan KLT tienen una distorsión mínima. Sin embargo, dado que la función de base de transformación de KLT es incierta, hasta el momento no existe un algoritmo rápido, por lo que solo se usa en ocasiones especiales.

Una breve discusión sobre el análisis wavelet

Notamos que todas estas transformaciones o análisis son para señales estacionarias o incluso señales periódicas. En lo que respecta al análisis de Fourier, el punto de partida inicial es la serie de Fourier, cuya definición matemática establece que cualquier función periódica no sinusoidal (señal) puede descomponerse en la suma de un número finito de ondas sinusoidales (y componentes DC) de múltiples frecuencias de su frecuencia fundamental. Para la integración de la transformada de Fourier, el período de integración se extiende hasta el infinito. De hecho, el concepto de frecuencia fue propuesto por Fourier en este trabajo. Además, este método analítico de convertir un objeto de un "dominio" a otro "dominio" y analizarlo o expresarlo desde un nuevo ángulo o escala es una creación que hace época en la historia de la ciencia y fue propuesto por Fourier. Sin embargo, la gente ha descubierto desde hace mucho tiempo que las herramientas de transformación o análisis como la transformada de Fourier solo se pueden usar para procesar señales estacionarias deterministas, pero no pueden completar un análisis satisfactorio de señales repentinas no estacionarias y el análisis de Fourier obtiene el espectro general de la señal, pero el; No se pueden obtener las características locales de la señal. Por lo tanto, la transformada de Fourier en ventana apareció en la década de 1980. La transformada de Fourier en ventana es un método de análisis de tiempo-frecuencia localizado, es decir, a través de ventanas combinadas con el análisis de mapeo del dominio de tiempo (o dominio espacial) al dominio de frecuencia de la transformada de Fourier tradicional, el período de tiempo local (o intervalo de espacio) . La transformada de Fourier en ventana resuelve parcialmente el problema del análisis de señales de corto plazo. Sin embargo, tiene muchos defectos inherentes. Por ejemplo, para señales de alta frecuencia de corta duración, aunque el ancho de la ventana y el intervalo de muestreo se pueden reducir para adaptarse al aumento de la frecuencia, la ventana estrecha reducirá la resolución de frecuencia y no es adecuada para componentes de baja frecuencia. Por lo tanto, esto conduce a la exploración de nuevos métodos de transformación (análisis).

El análisis wavelet surgió en este contexto y se ha aplicado y desarrollado rápidamente.

Ahora introduzcamos brevemente el concepto de análisis wavelet.

Supongamos una señal continua f(t). Teniendo en cuenta que la resolución de las señales reales siempre es limitada, f(t) se puede expresar como la siguiente función escalonada.

Donde n es un número entero que representa el punto de muestreo, Cn0=f(n) es el valor de la muestra y

es su función base o función de escala. En este momento, si se duplica el intervalo de muestreo, el número de muestras se reduce a la mitad y la señal se expresa como

De esta manera, el volumen de datos de la señal se comprime a la mitad. A esto se le llama dicotomía. Examine la desviación de las dos señales antes y después de la dicotomía.

Es una función wavelet.

Algunas personas explican que "wavelet" es una forma de onda pequeña. Pero "pequeña" significa que tiene atenuación y "onda" significa fluctuación, es decir, su amplitud está en forma de oscilación con la misma amplitud positiva y negativa.

La función wavelet ψ(t) puede generar un conjunto de bases ortogonales en L2(R) mediante traslación y expansión

{(ψ(2-kt-n), k; , n es un número entero}

Por lo tanto, la señal dada f(t) se puede descomponer en:

Generalmente, ψ(t) también se denomina función de base wavelet. La función puede tener diferentes expresiones, la función Hal mencionada anteriormente es una función base de uso común. Por supuesto, lo que se puede usar como función base wavelet debe expandirse a un conjunto completo de sistemas de funciones ortogonales. El análisis de wavelets se está desarrollando muy rápidamente, aunque se remonta a la discusión de Hilbert en 1900 y a la base ortogonal canónica propuesta por Haar en 1910, el trabajo principal real debería ser la introducción del concepto de wavelets por parte de Morlet en Francia en 1984 al analizar. Debido a que la transformada de Fourier es difícil de cumplir con los requisitos, Grossman estudió más tarde el sistema de expansión y traducción de las señales de Morlet de acuerdo con una determinada función, siendo pionero en la formación del análisis de ondas. Científicos que han hecho grandes contribuciones al análisis de wavelets. Entre ellos, el algoritmo Mallat publicado por malat en 1987 sin duda jugó un papel muy importante en la promoción del desarrollo del análisis de wavelets. Naturalmente, muchos trabajadores científicos y tecnológicos de nuestro país también han hecho grandes contribuciones.

Al igual que otras transformaciones analíticas mencionadas anteriormente, las transformadas wavelet se presentan en dos formas: continua y discreta, pero debido a que las funciones wavelet suelen ser ondas de pulso corto, el procesamiento discreto es relativamente fácil, por lo que la gente. a veces se ignoran sus diferencias.

La transformada wavelet no solo es adecuada para procesar señales no estacionarias repentinas (o que varían en el tiempo), sino que también tiene una característica muy útil, es decir, la característica de resolución múltiple. -La llamada resolución múltiple se refiere al uso de análisis de wavelets. Diferentes funciones de escala pueden obtener fácilmente resultados de diferentes resoluciones.

Hasta ahora, el análisis de wavelets ha logrado muchos resultados maduros, incluidos algunos algoritmos generales y solidificados. Por ejemplo, el chip ADV611 lanzado por AD Company se utiliza para codificar, decodificar y comprimir imágenes de video. Contiene un filtro wavelet y puede alcanzar una relación de compresión de 7500: 1. También tiene buena calidad de imagen en términos de instrumento y. Aplicaciones de medición. Muchos logros. Por ejemplo, si se usa para el análisis de señales espectrales de rayos X, la calidad de las señales espectrales procesadas por la transformada wavelet se ha mejorado enormemente.