Tipos de cristales de semillas

Según los tipos de elementos de simetría macroscópicos que pueden aparecer en los cristales, es fácil deducir aplicando la teoría de grupos: en todos los cristales, sólo puede haber 32 formas diferentes de reunir elementos de simetría, es decir, 32 Un tipo cristal. Esto fue concluido por primera vez por el erudito alemán J.F.Ch.Hessel en 1830.

Aquí se utilizará un método más vívido e intuitivo, es decir, basado en ciertos elementos de simetría, y luego combinado con otros posibles elementos de simetría a su vez, de acuerdo con las ecuaciones (3.5), (3.7) Fórmula ~ (3.17) y el teorema de Euler se utilizan para derivar 32 clases de cristales. Se pueden resumir como se enumera en la Tabla 3.1.

Tabla 3.1 32 tipos de cristales

① Solo aplicable cuando n es un número impar; ② Solo aplicable cuando n es un número par. (Luo Gufeng, 1961, 2008)

Consideremos primero el caso en el que no hay más de un eje de orden superior.

Ln es el método más primitivo. Se llama fórmula primitiva según el nombre del Instituto Fedorov (la misma a continuación). Si es Lni, se llama primitiva invertida. Luego agregue elementos de simetría apropiados sobre la base de Ln o Lni para combinarlos y derivar nuevos métodos de combinación. Al añadir elementos de simetría se debe tener en cuenta que no se genere más de un eje de orden superior. Por lo tanto, los elementos de simetría agregados estarán limitados a C, P y/y L2, y deben estar en una relación paralela o perpendicular con Ln o Lni. De esta manera, se derivan nuevas combinaciones de tipo de centro, tipo axial, tipo de superficie y tipo de eje de superficie sobre la base de la forma original y se derivan nuevas combinaciones de tipo de superficie invertida sobre la base de invertir la forma original. Según la relación entre las ecuaciones (3.7) a (3.17), las ecuaciones más idénticas para el conjunto de elementos simétricos generados por estas combinaciones se enumeran en la Tabla 3.1. Por lo tanto, n en la misma fórmula se reemplaza por cada posible orden de eje específico (solo se considera n=4, 6 para Lni), y se eliminan las repeticiones (equivalentes a las posiciones en blanco en la tabla, como L3i≡L3C, etc. ), podemos obtener 27 conjuntos diferentes de elementos de simetría, es decir, 27 tipos de cristales con no más de un eje de orden superior.

Por supuesto, también existen otras combinaciones como Ln×P(⊥), Lni×L2(⊥), etc., pero sus resultados no superan los 27 tipos de cristales enumerados en el alcance de la Tabla 3.1.

A continuación se analiza la situación cuando hay más de un eje de orden superior. Según el razonamiento del teorema de Euler, la posibilidad de combinar múltiples ejes de orden superior se puede transformar en la cuestión de cuántos tipos de poliedros regulares existen. En un poliedro regular, el centro de cada poliedro regular de n lados y el vértice de cada ángulo de m lados (el ángulo poliédrico formado por m lados) son las ubicaciones de Ln y Lm respectivamente. Dado que en un poliedro convexo, la suma de los ángulos de las caras del poliedro convexo debe ser menor que 360°, por lo tanto, sólo puede haber cinco tipos de poliedros regulares en todos los poliedros convexos, a saber: tetraedro regular, cubo, octaedro regular y dodecaedro regular e icosaedro regular (Figura 3.8), las combinaciones de ejes de orden superior que existen en ellos son 4L3, 3L44L3, 3L44L3, 6L510L3 y 6L510L3. Sin embargo, en estas combinaciones, la forma en que existen los ejes de orden superior no constituye un conjunto completo de elementos de simetría, porque según el teorema de Euler, también debería existir L2. Por lo tanto, sólo hay tres conjuntos de ejes de simetría pura con más de un eje de orden superior: 3L24L3, 3L44L36L2 y 6L510L315L2. Este último sólo aparece en cuasicristales porque involucra a L5 (ver Secciones 3.6.1 y 10.3).

Figura 3.8 Conjuntos de cinco poliedros regulares y sus correspondientes ejes de simetría pura

Entre los dos conjuntos anteriores que contienen múltiples ejes de orden superior que pueden existir en los cristales, 3L24L3 La orientación espacial de cada uno El eje de simetría es equivalente a: el 3L2 mutuamente perpendicular es paralelo a los tres conjuntos de aristas del cubo, y 4L3 es paralelo a las cuatro diagonales del cubo (Figura 3.9A), mientras que 3L4 de 3L44L36L2 es paralelo a las aristas de; el cubo, y 4L3 sigue siendo Paralelo a las líneas diagonales del cuerpo, 6L2 es paralelo a los 6 conjuntos de líneas diagonales del cubo (Figura 3.9B). Entre ellos, el conjunto 3L44L36L2 puede verse como el resultado de sumar L2 paralelo a la dirección diagonal del plano sobre la base de 3L24L3. Por lo tanto, el conjunto 3L24L3 se considerará la expresión primitiva bajo la condición de que haya más de un eje de orden superior. Al agregar posibles elementos de simetría y combinarlos, se pueden derivar cuatro nuevos tipos de simetría, como se enumera en la última fila de la Tabla 3.1.

Figura 3.9 La relación de orientación espacial de cada eje de simetría en la combinación 3L24L3 (A) y la combinación 3L44L36L2 (B) (Luo Gufeng, 2008)

En lo anterior {3L24L3} ×L?→ En la combinación axial de 23L44L36L2, el L2 agregado es perpendicular a uno de los 3L2 originales e intersecta a los otros dos a 45°. En primer lugar, según el razonamiento del teorema de Euler, debería haber 6 nuevos L2, lo que equivale a la distribución de las 6 direcciones diagonales de cubos paralelos, en segundo lugar, ya que L2 (original) ∧ L2 (nuevo) = 45°, entonces, según la ecuación (3.13), el 3L2 original se convierte completamente en 3L4, lo que da como resultado 3L44L36L2. Para la combinación de superficies, la situación es completamente similar excepto por las seis P que aparecen en ***, la normal de la nueva P se cruza en un ángulo de 45° con la L2 original. Según la ecuación (3.15), la original. 3L2 se transforma en 3L4i en consecuencia, formando así un conjunto de 3L4i4L36P.

De esta manera finalmente se obtuvieron los 32 tipos de cristales diferentes posibles en cristales. Se enumeran en la Tabla 3.1. La Figura 3.10 en la página 38 muestra varios ejemplos de cristales que pertenecen a clases de cristales comunes y la relación de configuración espacial de sus elementos de simetría.