¿Cuál es la fórmula general de la secuencia de Fibonacci y el proceso de derivación?

Método 2: Construir una secuencia geométrica 1 usando el método de coeficientes indeterminados (solución de álgebra elemental)

Supongamos constantes r, s

De modo que F(n )-r* F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)].

Entonces r+s=1, -rs=1.

Cuando n≥3, sí.

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)].

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)].

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)].

……

F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴].

Al combinar las n-2 fórmulas anteriores, obtenemos:

F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]* [F⑵-r*F⑴].

∵s=1-r, F⑴=F⑵=1.

La fórmula anterior se puede simplificar a:

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1).

Entonces:

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1).

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2).

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3).

……

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴.

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1).

(Esta es la suma de los términos de una secuencia geométrica con s^(n-1) como primer término, r^(n-1) como último término y r/s como proporción común).

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s).

=(s^n - r^n)/(s-r).

La primera solución de r+s=1, -rs=1 es s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2.

Entonces F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.

Método 3: Construir la secuencia geométrica 2 usando el método de coeficientes indeterminados (solución de álgebra elemental)

Se sabe que a1=1, a2=1, an=a(n- 1)+a (n-2)(n>=3), encuentre la fórmula general de la secuencia {an}.

Solución: Supongamos que an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2)).

Obtener α+β=1.

αβ=-1.

Construye la ecuación x^2-x-1=0 y resuélvela para obtener α=(1-√5)/2, β=(1+√5)/2 o α=( 1+√5 )/2, β=(1-√5)/2.

Entonces.

an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2 *a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1 .

an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2 *a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2 .

A partir de la fórmula 1 y la fórmula 2 se puede obtener.

an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````` ````3.

an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````` ````4.

Simplifica la ecuación 3*(1+√5)/2- ecuación 4*(1-√5)/2 para obtener an=(1/√5)*{[(1+√ 5) /2]^n - [(1-√5)/2]^n}.

Método 4: Método de generación de función.

Para la secuencia de Fibonacci {a(n)}, hay a(1)=a(2)=1, a(n)=a(n-1)+a(n-2 ) (n>2)

Sea S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+…….

Entonces existe S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n ) -a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x

Por lo tanto S(x)=x/(1-x-x^2).

No es difícil demostrar que 1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5) /2*x] [1-(1+√5)/2*x].

Por lo tanto S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√) 5)/2* x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.

Reutiliza la expansión 1/(1-x)=1+x+x^ 2+x^ 3+……+x^n+……

Entonces podemos obtener S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n )x^n+ ......

Donde b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5) )/2]^n}.

Entonces podemos obtener a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n. - [(1-√5)/ 2]^n}