La Belleza de las Matemáticas (13) - De la insistencia en la "integridad" a la confusión de Galileo

Poincaré dijo una vez: Quienes pueden hacer descubrimientos matemáticos son aquellos que pueden sentir el orden, la armonía, la simetría, la pulcritud y la belleza de las matemáticas.

En el océano de números, siempre hay algunos patrones fascinantes.

Persistencia en la "integridad"

Jacob Bernoulli es un famoso matemático suizo Su principal descubrimiento es la espiral logarítmica.

Una espiral logarítmica es una espiral sin fin que siempre gira hacia el polo, acercándose cada vez más al polo, pero sin llegar nunca al polo. Se dice que ni siquiera los instrumentos más sofisticados pueden ver una espiral logarítmica completa. Este tipo de figura sólo existe en la imaginación de los matemáticos. Quizás fue esta forma mágica la que hizo que el naturalista y matemático escocés Thompson hiciera una declaración sorprendente: ¡Todos los animales y plantas de la Tierra sólo pueden entenderse a través de las matemáticas!

Las espirales logarítmicas son las más comunes en la naturaleza. Si en el futuro vas al zoológico, podrás observarlas más de cerca: también tienen forma de trompas de elefante, cuernos de oveja, patas de loro, etc. espirales equiangulares. Las arañas de telaraña pueden tejer estas curvas, que se encuentran en muchos mariscos. Las águilas se acercan a sus presas en una espiral logarítmica; los insectos se acercan a las fuentes de luz en una espiral logarítmica; ¡las nebulosas observadas con telescopios astronómicos también tienen formas espirales!

No es de extrañar que Fabre exclamara: "La geometría y la armonía del espacio lo dominan todo. La geometría existe en la disposición de las escamas de las piñas, y también en los hilos pegajosos de las arañas de telaraña; en las del caracol". Hay geometría en la pendiente ascendente de la espiral, hay geometría en el rosario de la telaraña, y hay geometría en las órbitas de los planetas, la geometría existe en todas partes, ya sea en el mundo atómico o en el universo infinito, la geometría; ¡Es muy inteligente!"

Bernoulli quedó tan asombrado por estas interesantes propiedades que dejó un testamento para dibujar una espiral logarítmica en su lápida, con las palabras "Incluso si cambia, sigue siendo el mismo" (eadem mutata resurgo). Desafortunadamente, el grabador talló por error la espiral de Arquímedes.

Además de estas invariantes, Bernoulli también descubrió una ley de invariantes. Bernoulli se sentía muy cómodo aplicando la fórmula para la suma de potencias de números naturales. Durante el proceso de investigación, una vez descubrió el siguiente problema:

No importa que n sea un número natural, la fórmula

¡es siempre un número entero!

En nuestra impresión, los matemáticos son omnipotentes. Son sabios, tranquilos y lógicos, y parecen no tener defectos.

Pero todo el mundo tiene problemas, y Galileo es uno de ellos.

Sabemos que los números cuadrados perfectos son solo una gota en el océano entre los números naturales. Veamos la siguiente correspondencia

1, 2, 3, 4, 5...n.

1, 4, 9, 16, 25, n^2

La correspondencia anterior también significa que existe una correspondencia uno a uno entre los números naturales y los números cuadrados perfectos, y son el mismo numero. Esta fue la confusión de Galileo. Planteó la cuestión de comparar tamaños infinitos que nunca antes se había planteado, lo que abrió la puerta para que la gente entendiera el "infinito".