Emperador de las Matemáticas, por favor ayúdame. . . El proceso necesita ser detallado, gracias.

La respuesta es pi^4/90. pi es pi.

Considere la expansión en serie de Fourier de la función f(x)=x^4-2*pi*pi*x^2 en el intervalo (-pi, pi).

Para ser específico, es necesario calcular el componente DC y el coeficiente de cada cos(nx). (Debido a que f(x) es una función par, no existe un término de sin(nx))

El valor del coeficiente del primer término (componente DC) es igual a la integral (-pi,pi) {1/2/pi*f (x)cos(nx)dx}=-7/15*pi^4.

El valor de cada uno de los coeficientes cos(nx) es igual a la integral (-pi,pi) {1/pi*f(x)cos(nx)dx}. Calcúlelo específicamente. Encontrarás que el coeficiente de cada elemento de cos(nx) contiene exactamente la cantidad 1/n^4 (he olvidado el valor específico).

Luego, tome x como pi, y las columnas izquierda y derecha son iguales (la f(x) original y su valor de expansión de la serie de Fourier en x=pi deben ser iguales), y podrá obtener la conclusión .

-pi^4=-7/15*pi^4+48*suma(1/n^4).

Entonces suma(1/n^4)=pi ^4/90.

La famosa conclusión suma(1/n^2)=pi^2/6 también se puede obtener usando un método similar (tomando f(x)=x^2).

Espero que pueda inspirarte.