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Vectores matemáticos y vectores de programación

Si a≠0, entonces la condición necesaria y suficiente para el vector b y la recta a*** es que exista un número real único λ tal que b = λ a.

Demostración:

1). Para los vectores a (a≠0) y B, si existe un número real λ, tal que b = λa, entonces a partir de la definición del producto del número real y el vector, Vector A y b*** líneas.

2) Necesidad. Se sabe que la conexión entre los vectores a y b***, a≠0, la longitud del vector b es m veces la longitud del vector a, es decir, ∣b∣. =m∣a∣. Entonces, cuando los vectores A y B tienen la misma dirección, sea λ=m, donde b =λa. Cuando los vectores A y B tengan direcciones opuestas, sea λ=-m, donde B =-λ A.. Si b=0, entonces λ=0.

3) Unicidad, si b=λa=μa, entonces (λ-μ)a=0. Pero como a≠0, λ = μ.

Certificado de finalización.

[Editar este párrafo] Corolario

Corolario 1

La condición necesaria y suficiente para que exista una recta entre dos vectores A y B es que existan números reales λ y que no son todos cero μ, haciendo λa+μb=0.

Prueba:

1), establezcamos μ≠0, entonces podemos obtener b=(λ/μ)a de λa+μb=0. Según el teorema fundamental de ** vectores lineales, los vectores A y b*** son rectas.

2) Necesidad. Los vectores A y b*** son conocidos. Si a≠0, se puede saber por el teorema básico de los vectores lineales *** que b=λa, entonces λa-b. =0, tome μ =-1≠0, entonces hay λa+μb=0, números reales λ y λ. Si a=0, entonces μ=0, y λ es cualquier número real distinto de cero, es decir, λa+μb=0.

Certificado de finalización.

Corolario 2

Las condiciones necesarias y suficientes para la línea recta de dos vectores distintos de cero A y B ** son: λ y μ ambos tienen números reales distintos de cero, tales que λa+μb=0.

Prueba:

1) La suficiencia, ∫≠0, ∴ b=(λ/μ)a se puede obtener a partir de λa+μb=0. Según el teorema básico de ** vectores lineales, los vectores A y b*** son rectas.

2) Necesidad, ∵ vector A y b*** línea, y a≠0, entonces del teorema básico del *** vector línea, B =λA; 0 si μ=-1≠0, λa+μb=0, ambos números reales λ y μ no son cero.

Certificado de finalización.

Corolario 3

Si a y b no son * * *, y hay un par de números reales λ y μ tales que λa+μb=0, entonces λ=μ= 0.

Prueba: (reductio ad absurdum)

Supongamos μ≠0, del Corolario 1, podemos saber que los vectores A y B son * * * rectas, esto es consistente con lo conocido; los vectores A y B son inconsistentes, por lo que la suposición es incorrecta, por lo que λ=μ=0.

Certificado de finalización.

Corolario 4

Si los tres puntos P, A y B no son * * * rectas, entonces la condición necesaria y suficiente para que el punto C esté en la recta AB es que existe un número real único λ, entonces,

Vector PC=(1-λ)vector PA+λvector PB. (donde vector AC=λ vector AB).

Demostración:

∵Tres puntos p, recta a, b, ∴vector AB≠0

A partir del * * * teorema básico de los vectores lineales,

p>

El punto c está en la recta AB

∵Tres puntos p, a, b no son * * * líneas, ∴ el vector PA, el vector PB no son * * * líneas

∴Vector AC = λ vector AB

Certificado de finalización.

Corolario 5

Si los tres puntos P, A y B no son rectas * * *, entonces la condición necesaria y suficiente para que el punto C esté en la recta AB es que sólo existe un par de números reales λ y μ, de esta manera,

Vector PC=λ vector PA+μ vector PB. (donde λ+μ=1)

Prueba:

En el Corolario 4, suponiendo 1-λ=μ, entonces λ+μ=1, conocido:

Recta de tres puntos P, recta A y recta B < = >La condición necesaria y suficiente para el punto C de la recta AB es que existan números reales λ y μ, por lo que vector PC = λ vector PA + μ vector PB.

(donde λ+μ=1)

La unicidad se demuestra de la siguiente manera: Si vector PC=m vector PA+n vector PB, entonces m vector PA+n vector PB=λ vector PA+μ vector PB ,

Es decir, (m-λ) vector PA + (n-μ) vector PB=0,

∵ Tres puntos p, a, b no son líneas * * * , ∴ vector PA, vector PB no es una línea * *

El corolario 3 muestra que m=λ, n=μ.

Certificado de finalización.

Corolario 6

Si los tres puntos P, A y B no son * * * rectas, entonces la condición necesaria y suficiente para que el punto C esté en la recta AB es que existe un número real λ que no es todo cero, μ, ν, entonces,

λ vector PA+μ vector PB+ν vector PC=0, λ+μ+ν=0.

Demostración:

1) Suficiencia, según el Corolario 5, si los tres puntos P, A y B no son * * * rectas, entonces el punto C está en la recta línea AB < = >; Hay números reales λ y μ, por lo que vector PC=λ vector PA+μ vector PB (donde λ+μ=1).

Supongamos que ν=-1, hay: λ vector PA+μ vector PB+ν vector PC=0, λ+μ+ν=0, los números reales λ, μ y ν no son todos cero.

2) Necesidad, asumimos ν≠0, hay: λ vector PA+μ vector PB+ν vector PC=0, λ+μ+ν=0, entonces vector PC = (λ/ν ) vector PA+(μ/ν) vector PB,. El corolario 5 muestra que el punto C está sobre la recta AB.

Certificado de finalización.

Corolario 7

El punto P es cualquier punto fuera de la recta AB, por lo que la condición necesaria y suficiente para que sean rectas en tres puntos diferentes A, B, C** es que todas tener números reales distintos de cero λ, μ, ν, de esta manera, λ vector PA+μ vector PB+ν vector PC=0, λ+μ+ν=0.

Demostración: (Reductio ad absurdum)

∵Punto p es cualquier punto fuera de la recta AB, ∴vector PA≠0, vector PB≠0, vector PC≠0, vector PA , el vector PB y el vector PC no son * * líneas.

El corolario 6 muestra que los números reales λ, μ y ν no son todos cero.

1) Supongamos que dos números reales λ, μ, ν son cero, sean λ≠0, μ=0, ν=0. Entonces λ vector PA=0, ∴ vector PA=0. Esto es lo mismo que el vector PA≠0.

2) Supongamos que uno de los números reales λ, μ, ν es cero, sea λ≠0, μ≠0, ν=0. Entonces λ vector PA + μ vector PB = 0, ∴ vector PA = (μ/λ) ∴ vector PB, ∴ vector PA y vector PB*** las líneas son inconsistentes con las líneas del vector PA y del vector PB, no ***.

Certificado de finalización.

[Editar este párrafo] * * *Teorema del vector lineal

Teorema 1

⊿ABC, condición necesaria y suficiente para que el punto d esté en línea recta BC es

Teorema 1

⊿ABC p>

En...

es el número de sus vectores correspondientes.

Demostración: Se puede demostrar con el Corolario 5.

Teorema 2

⊿ABC, las condiciones necesarias y suficientes para que el punto d esté en la recta BC son

En...

Ambas áreas de orientación. En términos generales, el área de un triángulo con vértices dispuestos en el sentido contrario a las agujas del reloj es positiva y el área de un triángulo con vértices dispuestos en el sentido de las agujas del reloj es negativa.

Demostración: Se puede demostrar mediante el Teorema 1.