¿Qué es la topología?

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Descripción del problema:

Vi un artículo que comenzaba con "Topu descubrió un fenómeno extraño", ¿qué es Topu?

Análisis:

El nombre en inglés de topología es Topology, y su traducción literal es topografía, que es una disciplina relacionada similar al estudio de la topografía y los accidentes geográficos. En los primeros días de nuestro país, se traducía como "geometría situacional", "geometría continua" y "geometría bajo el grupo de transformación continua uno a uno". Sin embargo, estas traducciones no eran fáciles de entender. la "Terminología Matemática" unificada Defínala como topología, que se translitera.

La topología es una rama de la geometría, pero esta geometría es diferente de la geometría plana habitual y la geometría sólida. Los objetos de investigación habituales de la geometría plana o de la geometría sólida son las relaciones posicionales entre puntos, líneas y superficies y sus propiedades métricas. La topología no tiene nada que ver con la longitud, el tamaño, el área, el volumen y otras propiedades métricas y relaciones cuantitativas de los objetos estudiados.

Por ejemplo, en geometría plana ordinaria, si una figura en el plano se mueve a otra figura, si se superponen completamente, entonces las dos figuras se llaman formas congruentes. Sin embargo, las figuras estudiadas en topología cambian independientemente de su tamaño o forma durante el movimiento. No hay elementos que no se puedan doblar en topología y el tamaño y la forma de cada figura se pueden cambiar. Por ejemplo, cuando Euler mencionó anteriormente resolvió el problema de los Siete Puentes de Königsberg, los gráficos que dibujó no consideraron su tamaño y forma, sino solo el número de puntos y líneas. Estos son los puntos de partida del pensamiento topológico.

¿Cuáles son las propiedades topológicas? Primero, introducimos la equivalencia topológica, que es una propiedad topológica relativamente fácil de entender.

En topología no se discute el concepto de congruencia de dos figuras, pero sí el concepto de equivalencia topológica. Por ejemplo, aunque los círculos, los cuadrados y los triángulos tienen diferentes formas y tamaños, todos son figuras equivalentes bajo transformación topológica. Las tres cosas en la imagen de la izquierda son topológicamente equivalentes. En otras palabras, desde un punto de vista topológico, son exactamente iguales.

Selecciona cualquier punto de una esfera y conéctalos con líneas que no se crucen, de modo que la esfera quede dividida en muchos pedazos por estas líneas. Bajo transformación topológica, el número de puntos, líneas y bloques sigue siendo el mismo que el número original. Esto es equivalencia topológica. En términos generales, para una superficie cerrada de cualquier forma, siempre que la superficie no se rasgue ni corte, su transformación es un cambio topológico y existe una equivalencia topológica.

Cabe señalar que el toroide no tiene esta propiedad. Por ejemplo, si cortas el toro como se muestra en la imagen de la izquierda, no se dividirá en muchas partes, sino que simplemente adquirirá una forma de barril curvo. En este caso, decimos que la esfera topológicamente no puede convertirse en un toro. Entonces la esfera y el toro son superficies diferentes en topología.

La relación de combinación y la relación de secuencia entre puntos y líneas en una línea recta permanecen sin cambios bajo la transformación topológica. Esta es una propiedad topológica. En topología, las propiedades de cierre de curvas y superficies también son propiedades topológicas.

Los planos y superficies curvas de los que solemos hablar suelen tener dos caras, al igual que un trozo de papel tiene dos caras. Pero el matemático alemán Möbius (1790-1868) descubrió la superficie de Möbius en 1858. Este tipo de superficie no se puede pintar con colores diferentes por ambas caras.

Hay muchas invariantes e invariantes de transformación topológica, que no se presentarán aquí.

Después del establecimiento de la topología, también se desarrolló rápidamente debido a las necesidades de desarrollo de otras disciplinas matemáticas. Especialmente después de que Riemann fundó la geometría riemanniana, utilizó el concepto de topología como base de la teoría analítica de funciones, lo que promovió aún más el progreso de la topología.

Desde el siglo XX, la teoría *** se ha introducido en la topología, abriendo una nueva mirada a la topología. El estudio de la topología se centra en el concepto correspondiente de cualquier conjunto de puntos. Algunos problemas de topología que requieren una descripción precisa se pueden analizar utilizando ***.

Debido a que una gran cantidad de fenómenos naturales tienen continuidad, la topología tiene la posibilidad de conectar ampliamente varias cosas prácticas. A través del estudio de la topología, se puede aclarar la estructura sexual del espacio para comprender la relación funcional entre los espacios. Después de la década de 1930, los matemáticos llevaron a cabo investigaciones más profundas sobre topología y propusieron muchos conceptos completamente nuevos. Por ejemplo, el concepto de estructura consistente, el concepto de distancia abstracta, el concepto de espacio aproximado, etc.

Existe una rama de las matemáticas llamada geometría diferencial, que utiliza herramientas diferenciales para estudiar la curvatura de líneas y superficies cerca de un punto, mientras que la topología estudia las conexiones globales de superficies. Por lo tanto, debe existir alguna conexión esencial entre las dos disciplinas. En 1945, el matemático chino-estadounidense Chen Shengshen estableció la conexión entre la topología algebraica y la geometría diferencial y promovió el desarrollo de la geometría general.

Con el desarrollo de la topología hasta el día de hoy, en teoría se ha dividido muy claramente en dos ramas. Una rama se centra en el uso de métodos analíticos para estudiar, lo que se denomina topología de conjuntos de puntos o topología analítica. Otra rama se centra en utilizar métodos algebraicos para estudiar, llamada topología algebraica. Ahora, las dos ramas tienen una tendencia unificada.

La topología originalmente se llamaba análisis de situación, que es G. w. Término propuesto por Leibniz en 1679. La palabra topología (transliteración china) es J. B. Fue propuesto por Listin en 1847 y se deriva de las palabras griegas posición, situación y conocimiento.

Desde 1851, B. Riemann propuso en el estudio de funciones complejas que para estudiar funciones e integrales es necesario estudiar el análisis de situaciones. A partir de entonces se inició el estudio sistemático de la topología.

El fundador de la topología combinatoria es H. Poincaré. Su trabajo en análisis y mecánica, especialmente en la singularización de funciones complejas y en curvas determinadas por ecuaciones diferenciales, lo llevó a los problemas topológicos. Discutió la clasificación topológica de variedades tridimensionales y propuso la famosa conjetura de Poincaré.

Otra fuente de topología es el rigor del análisis. La definición estricta de números reales impulsa a G. Cantor realizó sistemáticamente investigaciones sobre conjuntos de puntos en el espacio euclidiano a partir de 1873 y derivó muchos conceptos topológicos. Tales como: puntos de reunión, conjuntos abiertos, conectividad, etc. Bajo la influencia de la idea de la teoría de conjuntos de puntos, apareció en el análisis el concepto de función universal (es decir, función de funciones). Tratar el conjunto de funciones como un objeto geométrico y discutir sus límites finalmente condujo a la idea de espacio abstracto.

Algunos ejemplos elementales de problemas topológicos:

Problema de los siete puentes de Königsberg (problema de un trazo). ¿Cómo puede un caminante cruzar los siete puentes sin cruzar cada puente sólo una vez? Este rompecabezas del siglo XVIII fue popularizado por L. Euler lo redujo a la cuestión de si una red dibujada con líneas finas se podía dibujar de un solo trazo, y demostró que esto era imposible. Si una red se puede dibujar de un solo trazo no tiene nada que ver con la longitud de las líneas, solo depende de la conexión entre los puntos y las líneas. Imagine una red hecha de un material suave y elástico. Una vez doblada y estirada, las propiedades de si se puede dibujar de un solo trazo no cambiarán.

Fórmula poliédrica de Euler y clasificación de superficies. Euler descubrió que no importa la forma que tenga un poliedro convexo, siempre existe esta relación entre el número de vértices, el número de aristas y el número de caras. De esto se puede demostrar que sólo existen cinco tipos de poliedros regulares. Si el poliedro no es convexo sino que tiene forma de caja (Fig. 33), entonces, independientemente de la forma de la caja, siempre hay . Esto muestra que hay una diferencia más esencial entre la forma convexa y la forma del marco que la longitud. En términos simples, hay un agujero en la forma del marco.

Bajo deformación continua, la superficie del cuerpo convexo puede convertirse en una superficie esférica y la superficie del marco puede convertirse en un toroide (superficie del neumático). Ninguno de estos dos puede transformarse entre sí mediante una deformación continua (Fig. 34). ¿Cuántos tipos diferentes de superficies de sellado de puertas existen bajo deformación continua? ¿Cómo identificarlos? Este fue un tema importante en la investigación topológica en la segunda mitad del siglo XIX.

Problema de nudos. Una curva cerrada en el espacio que no se corta a sí misma se anudará. Es necesario preguntarse si un nudo se puede desatar (es decir, si se puede transformar en un círculo plano), o si dos nudos se pueden transformar entre sí (si los dos nudos tréboles de la Figura 35 se pueden transformar entre sí). No es nada fácil presentar al mismo tiempo una prueba estricta.

Problemas de cableado (problemas integrados). ¿Se puede colocar una red compleja sobre una superficie plana sin cruzarse? Naturalmente, encontrará este problema al realizar circuitos impresos. Como se muestra en el lado izquierdo de la Figura 36, ​​mueva una línea diagonal fuera del cuadrado para colocarlo sobre una superficie plana. Sin embargo, las dos imágenes de la Figura 37 no se pueden colocar en el avión sin importar cómo se muevan. En 1930, K. Kuratowski demostró que la posibilidad de incrustar una red en un plano depende de si éste no contiene uno de estos dos gráficos.

Los ejemplos anteriores muestran que las figuras geométricas también tienen algunas propiedades que no se pueden estudiar utilizando métodos geométricos tradicionales. Estas propiedades no tienen nada que ver con la longitud y el ángulo. Representan las características de la estructura general de la figura. Esta propiedad es la llamada propiedad topológica de los gráficos.