¿Qué es la computabilidad en la base de la topología y qué es la separabilidad? Si lo sabes por favor dímelo, ¡gracias!

¡Afortunadamente me conociste!

Sin embargo, ¡es un poco doha!

Si la conectividad y el rigor pueden encontrar su motivación en el análisis, entonces los axiomas de contabilidad y divisibilidad que se analizarán a continuación provienen más del estudio de la topología misma. Por ejemplo, problemas como cómo anidar espacios topológicos en espacios métricos o espacios compactos de Hausdorff.

Comience con los axiomas contables, siendo el primer y segundo axiomas contables los más utilizados. El primer axioma contable establece que cada punto tiene una base de vecindad contable; el segundo axioma contable establece que el espacio tiene una base topológica contable. El primero es más débil que el segundo. Según el primer axioma contable, algunos problemas topológicos pueden describirse mediante la convergencia de series de puntos, porque la convergencia neta en este momento es la convergencia de series de puntos habitual. Por ejemplo, la inscripción de un conjunto cerrado se puede escribir así: en cualquiera de sus puntos hay una secuencia de puntos que converge a ese punto; el mapeo desde el primer espacio contable al espacio topológico es continuo en un punto determinado; y para cualquier punto que converge a ese punto Secuencia cuya imagen también converge a la imagen de este punto. Esto es válido para la gran mayoría de los espacios considerados en el análisis. Sin embargo, el primer axioma contable proporciona la información local del espacio, mientras que el segundo axioma contable proporciona la información general del espacio. Según el segundo axioma contable, podemos obtener las relaciones de equivalencia de alguna compacidad básica (compacidad, compacidad de secuencia, compacidad contable, compacidad de punto límite, etc.), lo cual es muy importante para el análisis. Además, existen algunas propiedades "cuasi" contables, como la separabilidad (la existencia de subconjuntos contablemente densos) y la propiedad de Lindelof (la existencia de subcoberturas contables de cualquier cobertura abierta).

Los axiomas de separación a veces pueden resultar molestos porque sus distinciones son muy detalladas. He visto los axiomas de separación de T0 a T6 (también axiomas T3 y 1/2), pero el realmente útil es el axioma T2 que separa puntos de puntos (es decir: axioma de Hausdorff, axioma de Hausdorff), el axioma T3 que separa puntos de conjuntos cerrados (regularidad), el axioma T4 que separa conjuntos cerrados de conjuntos cerrados (regularidad) y los axiomas T3 y 1/2 (regularidad completa). En mi opinión, el sexo de Hausdorff es el más útil. Estos axiomas se refuerzan mediante subíndices bajo la condición de que el conjunto singular sea un conjunto cerrado. Vale la pena pensar más aquí en el axioma completamente regular que dice que un punto se puede separar de un conjunto cerrado mediante una función continua. Por lo tanto, la pregunta natural es cómo separar dos espacios diferentes en lo regular. >espacio a través de una función continua Los conjuntos cerrados que se cruzan se separan, que es el famoso Lema de Urysohn. La prueba del Lema de Urysohn, probablemente la primera prueba desafiante hasta la fecha, se presenta en detalle en este libro. La idea principal es explotar la separabilidad regular introduciendo un orden que llene toda la región de separación posible, construyendo así una función continua que satisfaga las condiciones. Un corolario directo del Lema de Urysohn es el importante teorema de expansión de Tietze, que establece que para un subconjunto cerrado de un espacio regular, una aplicación continua a un intervalo cerrado siempre se puede expandir a una aplicación continua en ese espacio, por lo que desde el subconjunto cerrado hasta los números reales Cualquier mapa continuo de conjuntos se puede expandir en este espacio. Curiosamente, el lema de Tietze y el lema de Urysohn son en realidad equivalentes. Otra aplicación importante del lema de Urysohn es el llamado teorema de descomposición unitaria de espacios regulares. Cabe señalar que lo utilizamos con mayor frecuencia. el teorema de descomposición unitaria en tensores afines porque requiere finitud local de cobertura. Finalmente, está el teorema de metamatización de Urithorne, que establece que los espacios regulares con bases contables son metamatizables. Urithorne fue un brillante matemático ruso que lamentablemente murió joven (creo que tenía 20 años). El valor de su teorema de la metamorfosis es que proporciona las condiciones necesarias para la metamorfosis, lo cual es muy inspirador para la solución final del problema, pero tomó cuarenta o cincuenta años.