Habilidades de resolución de problemas de plegado Problemas de plegado gráfico

Las preguntas plegables gráficas son uno de los contenidos obligatorios en el examen de ingreso a la escuela secundaria en varios lugares en los últimos años y se han convertido en un tema candente en el examen de ingreso a la escuela secundaria. Las preguntas plegables son novedosas en concepto y. Transformado inteligentemente, lo cual es muy útil para cultivar la capacidad de los estudiantes para leer imágenes y usar de manera flexible el conocimiento matemático para resolver problemas. La clave para resolver este tipo de problemas es aclarar la correspondencia entre los gráficos. antes y después del plegado.

Figura 1

Ejemplo 1 (2011 Bijie, Guizhou) Por ejemplo, Figura 1, después de doblar una hoja de papel circular con un radio de 2 cm, el arco pasa exactamente por el centro O, entonces la longitud del pliegue AB es

( )

A? 2 cm B 3 cm C 23 cm D? >

Análisis: Construya un triángulo rectángulo en la figura conectando el radio y la línea vertical de la cuerda Según el teorema de Pitágoras, se obtiene la longitud de AD, y luego según el diámetro perpendicular Se utiliza el teorema. obtenga la longitud de AB.

Analíticamente, OD⊥AB está conectado a D y conectado a OA. Del origami, podemos obtener OD=12OA=1 cm. En Rt△OAD, obtenemos AD=3. cm del teorema de Pitágoras, ∵ OD⊥AB, ∴ AB=2AD=23 cm. Por lo tanto, elige C.

Comentarios: OD=12OA=1 obtenido al plegar es la clave para resolver el problema.

Figura 2

Ejemplo 2 (2011 Sanming, Fujian) Como se muestra en la Figura 2, en la hoja de papel cuadrada ABCD, E y F son los puntos medios de AD y BC respectivamente. Dobla la figura a lo largo de la línea recta pasando el punto B para hacer que el punto C caiga en EF, el punto de aterrizaje es N, el pliegue se cruza con el lado CD en el punto M, BM y EF se cruzan en el punto P, y luego se expande. Se sacan conclusiones: ① CM=DM; ② ∠ABN=30°; ③ AB2= 3CM2; ④ △PMN es un triángulo equilátero.

（ )

A. ? 1 B? 2 C? 3 D? 4

Análisis ∵ E, F son los puntos medios de AD y BC respectivamente, ∴ EF∥AB, de los cuales podemos obtener EF⊥BC.∵ BF=12BC =12BN, ∴ En el triángulo rectángulo BFN, sin∠BNF=BFBN=12, ∠BNF=30°, ∠NBF=60°, ∠ABN=30°, la respuesta ② también es correcta ∠CBM=∠NBM=30°. , ∴ BCCM=3, es decir, BC2=3CM2, la respuesta ③ es correcta También CM= 32BC=32DC, DM=1-32DC, ∴ la respuesta ①CM=DM también es incorrecta ∠CMB=∠NMB=60°, ∠. PNM=90°-30°=60°, ∴ respuesta ④△PMN es un triángulo equilátero correcto. La respuesta correcta es C.

Comentario: preste atención a los segmentos de recta iguales y a los ángulos iguales antes y después plegado, que es la clave para resolver esta pregunta.

Figura 3

Ejemplo 3 (2011 Neijiang, Sichuan) Como se muestra en la Figura 3, en el sistema de coordenadas cartesiano, el lado OA del rectángulo ABCO está en el eje x, el lado OC está en el eje y y las coordenadas del punto B son (1, 3). Voltee el rectángulo a lo largo de la diagonal AC. Doble, el punto B cae en la posición de. punto D, y AD intersecta el eje y en el punto E. Entonces las coordenadas del punto D son

( )

¿A? ? -12, 135 D? -35, 125

Analizando las propiedades del plegamiento, se determina que △AEC es un triángulo isósceles, y la longitud de AE ​​se encuentra a partir del teorema de Pitágoras, y luego La longitud de EC, y luego encuentre las coordenadas del punto D basándose en funciones trigonométricas o de similitud.

El análisis es DM⊥eje x, el pie vertical es M. Del plegado, podemos obtener ∠CAB= ∠CAD, y AB∥OC , ∠CAB=∠ACO, sabemos ∠ACO=∠CAD, ∴ EA=EC Supongamos EC=AE=a, entonces OE=3-a, en el triángulo rectángulo OAE, obtenemos (. 3-a)2 del teorema de Pitágoras 12=a2, la solución es a=53, es decir, EC=AE=53, entonces, OE=3-53=43 asumiendo D (x, y), sin∠EAO; =OEAE=DMAD, es decir, 4353=y3, y= 125, y tan∠EAO=OEOA=DMAM, es decir, 431=125-x 1, ∴ x

=-45, elige A.

Comentar las condiciones de bisectrices angulares y rectas paralelas para obtener un triángulo isósceles al encontrar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas rectangulares, la definición de funciones trigonométricas o las La similitud de triángulos se usa comúnmente. Enumere las fórmulas proporcionales para resolver.

Ejemplo 4 (2011 Zunyi, Guizhou) Doble el papel ABCD rectangular como se muestra en la Figura 4, de modo que el punto A y el punto E se superpongan, y el punto C y el punto F se superponen (E, ambos puntos F están en BD), y los pliegues son BH y DG respectivamente.

Figura 4

(1) Verificación: △BHE≌△ DGF;

(2) Si AB=6 cm, BC=8 cm, encuentre la longitud del segmento de línea FG.

Análisis (1) ∵ El cuadrilátero ABCD es un rectángulo, ∴ AB=CD, ∠A=∠C=90 °, ∠ABD=∠BDC, al plegar obtenemos ∠1=∠2, ∠A=∠HEB=90°, AB=BE, ∠3=∠4, ∠ C=∠DFG=90°, CD=DF, ∴ ∠HEB=∠DFG, BE=DF, ∠2=∠4, ∴ △BEH≌△DFG.

(2) ∵ Cuadrilátero ABCD es un rectángulo, AB=6 cm, BC=8 cm, Del teorema de Pitágoras, obtenemos BD=10 cm, ∴ BF=10-6=4 cm Supongamos FG=x, luego BG=8-x, en Rt△. BGF, (8-x)2=42 x2, solución Obtenemos x=3, es decir, FG=3 cm.

Comentarios: Si captas la forma y el tamaño de la figura antes y después de doblarla , la posición cambia y los lados correspondientes y los ángulos correspondientes son iguales, puedes resolver el problema sin problemas.

Ejemplo 5 (2011 Shenzhen, Guangdong) Como se muestra en la Figura 5, una hoja de papel rectangular ABCD, donde AD=8 cm, AB=6 cm, primero se dobla por la mitad a lo largo de la diagonal BD, y el punto C cae en la posición C′, BC′ cruza a AD en el punto G.

(1 ) Verificar: AG=C′G;

(2) Como se muestra en la Figura 6, doblarlo nuevamente para que el punto D y Cuando los puntos A coincidan, obtenemos el pliegue EN cruza a AD en el punto M. . Encuentra la longitud de EM.

Análisis (1) Del hecho de que BD es la bisectriz del ángulo de ∠CBC′ y de las propiedades de un rectángulo, podemos obtener AD= BC=BC′, ∠1. =∠2=∠3, de las propiedades de un triángulo isósceles, obtenemos GB=GD, entonces AG=C′G (2) En Rt△C′DG, use el teorema de Pitágoras para calcular primero la longitud de C′; G, y luego encuentre la longitud de EM.

Análisis (1) Como se muestra en la Figura 5, se puede ver en la simetría de la figura que BC=BC′, ∠1=∠2.

∵ El cuadrilátero ABCD es un rectángulo, ∴ AD=BC, AD∥BC, ∴ ∠2=∠3, entonces ∠1=∠3, GB=GD.

Y AD= BC′, ∴ AG =C′G.

Figura 5

Figura 6

Figura 7

(2) Como se muestra en Figura 6, sea AG=x, entonces tenemos C′G=x, DG=8-x, DM=12AD=4 cm En Rt△C′DG, ∠DC′G=90°, C′D=CD. =6 cm, ∴ C′ G2 C′D2=DG2, es decir, x2 62=(8-x)2, la solución es x=74 En Rt△DME y Rt△DC′G, tan∠EDM=EMMD. =C′GC′D, es decir, EM4= 746, EM=76.