Teorías y fórmulas importantes de vectores matemáticos, así como respuestas a preguntas
Demostración:
1) Condición suficiente, para el vector a (a≠0), b, si existe un número real λ tal que b = λa, entonces según el producto del número real y el vector La definición de , los vectores a y b**** están en línea recta.
2) Necesidad. Se sabe que los vectores a y b**** son rectas, a≠0, y la longitud del vector b es m veces la longitud del vector a, es decir, ∣. b∣=m∣a∣. Entonces, cuando los vectores a y b están en la misma dirección, sea λ=m, entonces b=λa; cuando los vectores a y b estén en direcciones opuestas, sea λ=-m, entonces b=-λa; λ =0.
3) Unicidad, si b=λa=μa, entonces (λ-μ)a=0, pero como a≠0, entonces λ=μ.
probar.
[Editar este párrafo] Corolario
Corolario 1
La condición suficiente para que los dos vectores a y b sean lineales es que existan números reales que sean no todos cero λ y μ, tales que λa μb = 0.
Prueba:
1) Condición suficiente, también podríamos establecer μ≠0, luego de λa μb =. 0, obtenemos b= (λ /μ) a Según el teorema fundamental de los vectores lineales, los vectores a y b son lineales.
2) Inevitabilidad, se sabe que los vectores a y b son lineales. Si a≠0, entonces, de acuerdo con el teorema básico de los vectores lineales, b=λa, entonces λa-b=0, tome μ. =-1≠0, entonces λa μb=0, pero en realidad λ y μ no son todos cero. Si a = 0, entonces tome μ = 0 y tome λ como cualquier número real que no sea cero, es decir, λa μb = 0.
Prueba.
Corolario 2
La condición suficiente para dos vectores distintos de cero a y b *** es: existen todos los números reales distintos de cero λ y μ tales que λa μb = 0 .
Demostración:
1) Condiciones suficientes, ∵μ≠0, ∴λa μb = 0. De λa μb = 0, podemos obtener b = (λ / μ)a. Del vector * El teorema básico de la línea ** muestra que el vector a y b*** línea...
2) Inevitabilidad, ∵ vector a y b*** línea, y a≠0, entonces el vector de línea básico del teorema de línea ***, b=λa y ∵b≠0, ∴λ≠0; suponiendo μ=-1≠0, entonces λa+μb=0, los números reales λ y μ no son cero.
Prueba.
Corolario 3
Si a y b son dos vectores de rectas diferentes, y existe un par de números reales λ, μ, tales que λa + μb = 0, entonces λ = µ = 0.
Demostración: (inversa)
Supongamos que μ ≠ 0, entonces del Corolario 1 podemos saber que los vectores a y b son rectas, esto no es lo mismo que el conocido; vectores a y b *La línea recta es contradictoria, por lo que la suposición es incorrecta, por lo que λ=μ=0.
Prueba: (inversa)
Prueba: (inversa
Corolario 4
Si los tres puntos P, A y B no son rectas, entonces el punto C está sobre la recta AB: existe un único número real λ, tal que
Vector PC = (1 - λ) vector PA λ vector PB (donde vector AC = λ vector AB).
Demostración:
∵ Tres puntos P, A, B no son líneas rectas, ∴ vector AB≠0,
Por el teorema básico del vector de línea recta,
El punto C está en la recta AB lt;=gt; Vector AC y vector AB*** recta lt;=gt Existe un número real único λ, tal que el vector AC=λ-vector; AB
∵ Los tres puntos P, A y B no son lineales, ∴El vector PA y el vector PB no son lineales,
∴Vector AC=λ-vector AB lt;=gt; Vector PC- Vector PA = λ - (Vector PB - Vector PA) lt = gt Vector PC = (1 - λ) Vector PA λ - Vector PB.
Prueba.
Corolario 5
Si los tres puntos P, A y B no están en la recta ****, entonces es condición suficiente para que el punto C esté en la recta AB es que existe un par de números reales únicos λ , μ, de modo que
vector PC=λ- vector PA μ- vector PB. (Entre ellos, λ μ = 1)
Prueba:
En el Corolario 4, sea 1-λ = μ , entonces λ μ = 1, conocido:
Los tres puntos P, A y B no son ****, la recta lt = gt la condición necesaria y suficiente para el punto C de la recta AB es: existen números reales λ y μ, de modo que el vector PC =λ vector PA μ vector PB. (Entre ellos, λ μ = 1)
La siguiente es la prueba de unicidad Si vector PC = m vector PA n vector PB, entonces m vector PA n vector PB = λ- vector PA μ- vector PB. ,
Es decir: (m-λ) vector PA (n-μ) vector PB = 0,
∵ Los tres puntos P, A y B no son **** -lineal, ∴ El vector PA y el vector PB no son ****-lineales,
Según el Corolario 3, m = λ, n = μ.
Prueba.
Corolario 6
Si los tres puntos P, A y B no son ****, entonces la condición necesaria y suficiente para el punto C de la recta AB es que haya son números reales λ que no son todos cero, μ, ν, de modo que
λ vector PA μ vector PB ν vector PC = 0, y λ μ ν = 0.
Prueba :
1) Por el Corolario 5, condiciones suficientes. Si los tres puntos P, A y B no son rectas, entonces el punto C está sobre la recta AB lt;=gt hay números reales λ, μ, tales que vector PC = λ vector PA μ vector PB (donde λ μ = 1).
Tomando ν =-1, existen: λ vector PA μ vector PB ν vector PC =0, λ μ ν =0, y los números reales λ, μ, ν no son todos cero.
2) Necesidad, suponiendo ν≠0, y existen: λ vector PA μ vector PB ν vector PC = 0, λ μ ν = 0, entonces vector PC = (λ / ν) - vector PA ( μ / ν) - vector PB, (- λ / ν) (- μ / ν) = 1. Según el Corolario 5, el punto C está sobre la recta AB.
Prueba.
Corolario 7
Si el punto P es cualquier punto fuera de la recta AB, entonces tres puntos diferentes A, B, C **** son suficientes: todos son distintos de cero números reales λ, μ, ν, tales que
λ vector PA μ vector PB ν vector PC = 0, λ μ ν = 0.
Demostración: (método inverso)
∵ El punto P es cualquier punto fuera de la recta AB, ∴ el vector PA≠0, el vector PB≠0, el vector PC≠0 y el vector PA , el vector PB y el vector PC no son líneas rectas en pares.
Según el Corolario 6, los números reales λ, μ, ν no son todos cero,
1) Supongamos que dos de los números reales λ, μ, ν son cero, sea λ ≠ 0, μ =0, ν=0, entonces λ-vector PA=0, ∴ vector PA=0.
2) Supongamos que uno de los números reales λ, μ, ν es cero, suponiendo λ≠0, μ≠0, ν=0, entonces λ-vector PA 0, ∴ vector PA 0. Entonces λ vector PA μ vector PB =0, ∴ vector PA = (μ/λ)-vector PB, ∴ vector PA y vector PB son lineales, lo cual es contradictorio con el hecho de que el vector PA y el vector PB no son lineales.
Prueba.
[editar]***Teorema del vector lineal
Teorema 1
La condición necesaria y suficiente para que el punto D esté en la recta BC en ⊿ABC es
Entre ellos
están las cantidades de sus vectores correspondientes.
Demostración: Combinado con el Corolario 5, se puede demostrar.
Teorema 2
Las condiciones necesarias y suficientes para el punto D de la recta BC en NoABC son
donde
están todas dirigidas áreas. En general, el área de un triángulo con sus vértices en el sentido contrario a las agujas del reloj es positiva y el área de un triángulo con sus vértices en el sentido de las agujas del reloj es negativa.
Demostración: El teorema 1 demuestra esto.