Cómo probar la fórmula recursiva de la secuencia An=x^n y^n z^n. . . . An 3=(x y z)An 2-(xy yz xz)An 1 xyzAn. Suma puntos después de dar la respuesta.

No proporcionó el valor inicial de A1A2A3 en esta pregunta, por lo que asumiré A1=x y z A2=x^2 y^2 z^2 según el término general que proporcionó.

An 3=(x y z)An 2 -(xy yz xz)An 1 xyzAn

An 3-yAn 2=(x z)An 2-y(x z)An 1-xzAn 1 xyzAn

(An 3-yAn 2)=(x z)(An 2-yAn 1)-xz(An 1-yAn)

Supongamos que An 1-yAn=bn b1=x^ 2 z^2 -xy-yz b2=x^3 z^3-x^2y-z^2y

Entonces bn 2=(x z)bn 1-xzbn

Nosotros puede obtener bn 2 -xbn 1=z(bn 1-xbn), entonces bn 1-xbn=(b2-xb1)*z^(n-1)=(z-x)(z-y)z^n (1)

También podemos obtener bn 2-zbn 1=x(bn 1-zbn), luego bn 1-zbn=(b2-zb1)*x^(n-1)=(z-x)(y-x)x ^n (2)

z*(1)-x*(2) obtiene: bn 1=(z-y)*z^(n 1)-(y-x)*x^(n 1)

Eso es An 1-yAn=(z-y)*z^n-(y-x)*x^n=z^(n 1) x^(n 1)-y(z^n x^n)

Entonces An 1-[z^(n 1) x^(n 1)]=y[An-(z^n x^n)]

Supongamos que An-(z ^n x^n) =Cn, entonces Cn 1=yCn, entonces Cn es igual

Cn=C1*y^n-1=y^n

Entonces An-(x ^n z^n) =y^n

Entonces An=x^n y^n z^n