Modelado matemático

Pato cruzando el río

Supongamos que la orilla directamente opuesta al punto del río O es el punto A, el ancho del río OA = h (Figura 1.1), la velocidad del agua es a, y a El pato nada desde el punto A hacia el punto O, sea la velocidad de nado del pato (en agua tranquila) b(bgt;a), y la dirección de nado del pato es siempre hacia el punto O. ①Supongamos h = 10 m, a = 1 m/s, b = 2 m/s, y utilice métodos numéricos para encontrar el tiempo necesario para cruzar el río, la posición del pato y la curva de nado en cualquier momento. ② Establecer un modelo matemático de la posición del pato y la natación del pato en cualquier momento, y encontrar su solución analítica.

1. Supuestos del modelo

Para determinar y simplificar el problema, en realidad se han hecho los siguientes supuestos:

① Suponga que el ancho del río es fijo, establecido en h, y las dos orillas son líneas rectas paralelas

②La velocidad de natación del pato es b y la velocidad del agua a es constante

③La dirección del; La natación del pato siempre apunta a O.

2. Establecimiento y solución del modelo

Establezca O como origen de las coordenadas, la orilla del río que mira al río es el eje x y el eje y apunta a la orilla opuesta, como se muestra en la Figura 1.1.

Supongamos que el pato está ubicado en el punto P (x, y) en el tiempo t, sea la coordenada del punto inicial (x, y) = (0, h), la coordenada del punto final (0, 0) , sea θ la dirección de la velocidad del pato y el ángulo entre las direcciones positivas del eje x,

,

, por lo que la traza de natación del pato satisface:

x(0)=0, y( 0)=h

(1) Solución numérica del modelo

De hecho, las fórmulas analíticas de x(t) y y (t) no se puede obtener a partir de las ecuaciones anteriores, pero en los parámetros. Bajo ciertas condiciones, la posición del pato en cualquier momento se puede obtener mediante solución numérica. Supongamos que x=(x(1), x(2))T, x(1)=x, x(2)=y, escriba la siguiente función en el archivo M:

Pato cruzando el río, cruzando la función río

dx=duhe(t,x) crea un archivo de función M llamado duhe

a=1;

s=sqrt; (x (1)^2 x(2)^2);

dx=; valores iniciales de x, y

[t, x]=ode45(@duhe ,ts,x0 ); Llame a ode45 para calcular

[t, x] Salida t, x(t), y(t)

plot(t, x), salida de cuadrícula según el valor numérico como x(t), gráficos de y(t)

gtext('x(t)'), gtext('y(t)'), pausa Use el mouse para determinar la posición de la cadena

plot(x(:, 1), x(:, 2)), grid, haz la gráfica de y(t)

gtext('x') , gtext('y')

Los resultados numéricos obtenidos x(t) e y(t) se enumeran en la Tabla 1.1 para la posición del pato. Las gráficas de x(t), y(t) e y(x) se muestran en las Figuras 1.2(a) y 1.2(b).

Tabla 1.1 Solución numérica cuando h=10, a=1, b=2

t x(t) y(t) t x(t) y(t)

0,0000 0,0000 10,0000 4,0000 1,8663 2,4336

0,5000 0,4741 9,0004 4,5000 1,7062 1,6834

1,0000 0,8929 8,0039 5 000 1,4436 1,0381

1,5000 1,2503 7,0143 5,5000 1,0860 0,5257

2,0000 1,5396 6,0370 6,0000 0,6507 0,1759

2,5000 1,7535 5,0791 6,5000 0,1660 0,0111

3,0000 1,8843 4,1501 0000 0,0000 0,0000

3,5000 1,9242 3,2628

3.5000 1.9242 3.2628

Figura 1.2(a) y Figura 1.2(b)

(2) Solución analítica del modelo

Para obtener una trayectoria de movimiento más precisa, el modelo también debe realizarse un análisis adicional para obtener su solución analítica. La velocidad del pato es:

Por lo tanto:

La ecuación diferencial se obtiene así:

, x(h)=0

Resolver La ecuación de la trayectoria del pato nadando obtenida de esta ecuación diferencial homogénea es:

, 0≤y≤h (ver apéndice (1) para una solución específica)

Usando el siguiente Matlab programa, podemos dibujar la trayectoria del movimiento del pato (Figura 1.3).

h=10; a=1; b=2; y=h:-0.5:0; x=h/2*((y./h).^(1-a/b) -(y./h).^(1 a/b));

plot(x, y, 'bO-')

leyenda('pato') p>

xlabel('X'); ylabel('Y');

Figura 1.3 La trayectoria del movimiento del pato

La longitud del arco de natación del pato La trayectoria de la curva se puede expresar mediante la fórmula. También se puede resolver utilizando métodos numéricos.

3. Discusión adicional de la solución y el problema

① La solución se puede analizar más a fondo: si b＜a, cuando y→0 de la ecuación de trayectoria anterior, x→∞ se obtiene. Por lo tanto, en este caso es imposible que el pato llegue a la otra orilla, lo que concuerda con los resultados del análisis mecánico del movimiento del pato.

syms y;limit(10/2*(((y/10)^(1-2))-((y/10)^(1 2))),y,0,' izquierda')

syms y; límite(10/2*(((y/10)^(1-2))-((y/10)^(1 2))), y, 0, 'derecha')

Los resultados son -Inf e Inf respectivamente.

②Naturalmente, también podemos explorar las siguientes preguntas: si el lugar donde aterriza el pato no excede una determinada posición aguas abajo de la orilla opuesta (por ejemplo, la distancia desde la orilla opuesta es l), y la velocidad y la dirección del pato permanecen sin cambios, pregunte ¿En qué dirección puede el pato llegar al lugar de aterrizaje en el menor tiempo posible? ¿Qué condiciones deben cumplirse para que un pato llegue a la orilla opuesta a la velocidad requerida? Si la velocidad del flujo de agua cambia, podemos estudiar más a fondo la pregunta D del Concurso Nacional de Modelado Matemático de 2003: Cruzar por la fuerza el río Yangtze.

4. Resumen del proceso de modelado

Este es un problema de aplicación de ecuaciones diferenciales. Todo el proceso de resolución del problema ya incluye el contenido básico de establecer un modelo matemático, es decir

①Haga las suposiciones simplificadoras necesarias basadas en los antecedentes del problema y los problemas de modelado: la velocidad del pato y la velocidad del flujo de agua son constantes

②Utilice letras y símbolos para representar variables relevantes (como la velocidad del pato, la velocidad del agua); , coordenadas de tiempo y posición, etc.);

③Utilice las leyes físicas (u otras) correspondientes: las leyes de la mecánica newtoniana para enumerar las ecuaciones diferenciales

④Resuelva las ecuaciones diferenciales para obtener la curva de trayectoria de nado del pato Solución analítica, aquí también utilizamos el método de solución numérica para obtener la posición (coordenadas) del pato en cualquier momento;

⑤ Discusión y promoción de la solución, etc.

Referencias

[1] Li Zhilin, Ou Yigui, Modelado matemático y análisis de casos típicos, Beijing: Chemical Industry Press, 2006.12

[2] Departamento de Tongji de Matemáticas Aplicadas Universitarias, Matemáticas Avanzadas (tipo Licenciatura con Menos Horas) Volumen 1 (Segunda Edición), Beijing: Higher Education Press, 2001

Apéndice:

(1) Duck Swimming Resolviendo el ecuación de trayectoria

Convierta la ecuación diferencial obtenida a la forma de una ecuación homogénea y obtenga

(1-1)

Sea, entonces x=yu, , sustituimos en la ecuación anterior, obtenemos

(1-2)

Simplificamos y separamos las variables, obtenemos

(1-3)

Integrando ambos extremos, obtenemos

(donde C1 es una constante) (1-4)

Es decir,

(1- 5)

Sustituyendo en la fórmula anterior, obtenemos

(1-6)

Sustituyendo y=h,

Sustituyendo en la ecuación (1-5), obtenemos

(1-7)

Al elevar al cuadrado la ecuación anterior y simplificándola, obtenemos

(1-8)

Obtener

(1-9)

Sustituyendo en la fórmula anterior, obtenemos

, 0 ≤y≤h（1-10）

Número de acceso a la biblioteca de referencia y número de página de referencia

[1] O141.4/L.Z.L Página2-4

[2] Ecuaciones homogéneas Páginas 339-344

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