Algoritmo de modelado matemático, utilizando el método de Newton para resolver

Al utilizar el método de Newton para encontrar el valor mínimo de la función f(x) = x1^2 + 4x2^2, puedes seguir los siguientes pasos:

Calcular el vector gradiente de la función f(x) g(x) y la matriz de Hesse H(x) son las siguientes:

g(x) = [2x1, 8x2]T

H( x) = [2, 0; 0 . 8]

donde T representa la transpuesta del vector.

Seleccione el punto inicial x0 y calcule los valores de la función f(x) y el vector gradiente g(x) en x0:

f(x0) = x1^2 + 4x2^2 = 1 + 16 = 17

g(x0) = [2, 8]T

Según la fórmula de iteración del método de Newton, calcule el siguiente punto de iteración x1 :

x1 = x0 - [H(x0)]^-1 g(x0)

donde ^-1 representa la inversa de la matriz.

Sustituyendo H(x0) y g(x0) en la fórmula anterior, podemos obtener

x1 = x0 - [2, 0, 1/2] [2, 8] T

= x0 - [4, 4]T

= [1, 2]T - [4, 4]T

= [- 3, -2]T

Calcular el valor de la función f(x) en x1:

Calcular el valor de la función f(x) en x1:

Calcular el valor de la función f(x) en x1:

Calcular el valor de la función f(x) en x1:

f(x1) = (-3)^2 + 4 (-2)^2 = 13

Si se cumple la condición de terminación, detenga la iteración; de lo contrario, regrese al paso 2 y continúe la iteración, tomando x1 como nuevo punto de partida.

La condición de terminación puede ser que se alcance el número máximo de iteraciones, que el cambio en el valor de la función sea menor que un cierto umbral o que la longitud del vector de gradiente sea menor que un cierto umbral. En este ejemplo, puede establecer un número fijo de iteraciones o un umbral y detener las iteraciones una vez que se alcance el umbral.

De acuerdo con los pasos anteriores, puedes usar el método de Newton para encontrar el valor mínimo de la función f(x) = x1^2 + 4x2^2. En este ejemplo, el punto de partida es x0 = [1, 2]T, después de una iteración obtenemos x1 = [-3,-2]T y el valor de la función es f(x1) = 13. Puede continuar iterando según sea necesario hasta que se cumpla la condición de terminación.