¿Qué es una derivada en matemáticas? ¿Cómo entender la derivada?

La derivada es un concepto básico importante en el cálculo. Cuando el incremento de la variable independiente se acerca a cero, el límite del cociente del incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable independiente. Cuando una función tiene derivadas se dice que es diferenciable o diferenciable. Una función diferenciable debe ser continua. Una función discontinua no debe ser diferenciable. La derivada es esencialmente un proceso de encontrar límites. Las cuatro reglas aritméticas de las derivadas se derivan de las cuatro reglas aritméticas del límite.

La imagen superior derecha es la imagen de la función y=(x) La derivada de la función en x_0′(x_0) = lim{Δx→0} [(x_0 +Δx) -(x_0). )] /Δx. Si una función es diferenciable en un intervalo continuo, entonces la función tiene una función derivada en este intervalo, denotada como '(x) o dy/dx.

Definición de derivada

1. Primera definición de derivada

Supongamos que la función y = f(x) se define como una variable independiente en una vecindad del punto x0 Cuando x tiene un incremento △x en x0 (x0 + △x también está en esta vecindad), la función correspondiente obtiene el incremento △y = f(x0 + △x) - f(x0) Si la relación de △y a △ x Cuando △x→0, el límite existe, entonces se dice que la función y = f(x) es derivable en el punto x0 y este valor límite se llama función y = f(x) en el punto x0. y = f(x) en el punto x0 se denota como f'(x0), es decir, la primera definición de la derivada

Segunda definición de la derivada

Supongamos que la función y = f(x) se define en una vecindad del punto x0 cuando la variable independiente x está en x0. Cuando hay un cambio en △x (x - x0 también está en esta vecindad), la función cambia en consecuencia △y = f( x) - f(x0) Si la relación de △y a △x tiene un límite cuando △x→0, se llama función y = f(x) es diferenciable en el punto x0 y este valor límite se llama función. La derivada de y = f(x) en el punto x0 se registra como f'(x0), que es la segunda definición de derivada

3 Funciones derivadas y derivadas

Si la la función y = f(x) es diferenciable en cada punto del intervalo abierto I, se dice que la función f(x) es diferenciable en el intervalo I. En este momento, la función y = f(x) corresponde a una determinada derivada para cada cierto valor de x en el intervalo I. Esto forma una nueva función. Esta función se llama función derivada de la función original y = f(x). . Como y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx. La función derivada se llama simplemente derivada.

Colapse y edite este párrafo El origen de las derivadas

1. Concepto temprano de derivadas: formas especiales

Hacia 1629, el matemático francés Fermat estudió Hacia 1637, escribió un manuscrito "Métodos para encontrar valores máximos y mínimos". Al hacer la recta tangente, construyó la diferencia f(A+E)-f(A), y el factor E encontrado es lo que llamamos la derivada f'(A).

II. El siglo XVII: la "fluidez" ampliamente utilizada

El desarrollo de la productividad en el siglo XVII impulsó el desarrollo de las ciencias naturales y la tecnología basadas en la investigación creativa de las generaciones anteriores. Matemáticos como Newton y Leibniz comenzaron a estudiar sistemáticamente el cálculo desde diferentes ángulos. La teoría del cálculo de Newton se llama "fluidez"; él llamó flujos de variables y llamó flujos a la tasa de cambio de las variables, lo que equivale a lo que llamamos derivadas. Los principales trabajos de Newton sobre "Teoría del flujo" son "Encontrar el área de los lados curvos", "Método de cálculo utilizando ecuaciones polinómicas infinitas" y "Teoría del flujo y series infinitas". El resumen esencial de la teoría del flujo es su enfoque. la función de una variable en lugar de la ecuación de múltiples variables radica en la composición de la relación entre el cambio de la variable independiente y el cambio de la función. Lo más importante es determinar el límite de esta relación cuando el cambio tiende a. cero.

3. Las derivadas en el siglo XIX: una teoría gradualmente madura

En 1750, D'Alembert escribió "Cálculo diferencial" para la quinta edición de la "Enciclopedia" publicada por los franceses. Academia de Ciencias "La entrada propone una visión de que las derivadas pueden expresarse simplemente en notación moderna como {dy/dx)=lim(oy/ox).

En 1823 Cauchy definió la derivada en su "Introducción al Análisis de Infinitesimales" si la función y=f(x) permanece continua entre dos límites dados de la variable. Los valores entre diferentes límites entonces hacen que la variable gane un incremento infinitesimal. Después de la década de 1860, Weierstrass creó el lenguaje ε-δ para definir las derivadas de varios tipos de expresiones de lectura límite que aparecen en cálculo, y así obtuvo la forma común en la actualidad.

4. El infinito real puede hacer posible la segunda ronda de cálculo elemental. La base teórica del cálculo se puede dividir aproximadamente en dos partes. Una es la teoría del infinito real, es decir, el infinito es una cosa concreta, una existencia real, y la otra es el infinito potencial, que se refiere a un proceso ideológico como la proximidad infinita.

Desde una perspectiva histórica, ambas teorías tienen algo de verdad. Entre ellas, después de 150 años de uso práctico, la teoría de límites es la que se utiliza ahora.

Si la luz es una onda electromagnética o una partícula es un debate de larga data en física y luego fue unificado por la dualidad onda-partícula. El cálculo, ya sea que utilice la teoría de límites moderna o la teoría de hace 150 años, no es el mejor método.

Contraer y editar este párrafo Función derivada

Generalmente, se supone que la función unaria y=f(x) está definida en una determinada vecindad N(x0δ) del punto x0. Cuando la variable independiente es Cuando el incremento de Δx=x-x0, el incremento correspondiente de la función es Δy=f(xΔx)-f(x0). Si la relación entre el incremento de la función △y y el incremento de la variable independiente △x cuando △x→0 existe y es finita, se dice que la función f(x) es diferenciable en el punto x0, y este límite se llama f en el punto x0. Derivada o tasa de cambio.

"Punto para formar una recta" Si la función f se puede diferenciar en cada punto del intervalo I, se obtendrá una nueva función con I como dominio, la cual se registra como f'(x) o y' se llama f La función derivada de no puede llamarse simplemente derivada.

Contraer y editar este párrafo para conocer el significado geométrico

El significado geométrico de la derivada f'x0 de la función y=f(x) en el punto x0 indica que la curva de función está en P0[Significado geométrico de la derivada de x 0fx0] La pendiente tangente del punto

El significado geométrico de la derivada es la pendiente tangente de la curva de función en este punto.

Contraer y editar este párrafo para aplicación científica

Las derivadas están estrechamente relacionadas con el álgebra geométrica física. Las tangentes se pueden encontrar en geometría, las tasas de cambio instantáneas se pueden encontrar. se encuentra en álgebra, y la aceleración de velocidad se puede encontrar en física.

Las derivadas también se conocen como álgebra y diferencial. El concepto de cociente diferencial es un concepto matemático abstraído del problema del cambio de velocidad y del problema de la tangente de la curva. También se le llama tasa de cambio.

Por ejemplo, un automóvil recorre 600 kilómetros en 10 horas. Su velocidad promedio es de 60 kilómetros/hora, sin embargo, la velocidad cambia durante la conducción real. no siempre 60 kilómetros/hora Para reflejar mejor los cambios de velocidad del automóvil durante la conducción, el ajuste del intervalo de tiempo se puede acortar. La relación entre la posición del automóvil sy el tiempo t es: s=ft