Notas sobre modelado matemático: modelo de evaluación (3)
Como no había leído las noticias en los últimos días, un compañero de clase me pidió que buscara un libro en el fondo de WeChat y no pude responder después de más de 48 horas. QQQ le pidió perdón a este amigo. Si lo ve, puede agregarme directamente como amigo. Otros estudiantes que quieran encontrar libros también pueden agregarme directamente en WeChat... Después de todo, si no es un libro electrónico gratuito. que se puede encontrar en línea, los libros de la Asociación Nacional de Bibliotecas cuestan básicamente tres yuanes, y usted mismo los paga hhh... Taobao generalmente cobra cinco yuanes por un libro, que es el costo de mano de obra.
Bien, sin más preámbulos, hablemos hoy de un modelo de evaluación: el modelo de evaluación integral difusa.
Permítanme decirles de antemano que esta es la primera vez que entro en contacto con este conocimiento, por lo que es posible que no pueda explicar bien los principios. Anotaré el proceso de solicitud.
(En cuanto al método de ponderación de entropía mencionado en el artículo anterior, así como el análisis de correlación de grises mencionado anteriormente, agregaré más más adelante).
Primero explique lo siguiente "difuso". matemáticas". La matemática difusa es una teoría y un método matemático para estudiar y procesar fenómenos difusos. En la vida real, muchos conceptos son difíciles de describir utilizando conjuntos deterministas. Por ejemplo, el concepto de “joven”, ¿tiene entre 15 y 30 años, o entre 18 y 25 años? Cada uno puede tener opiniones diferentes sobre este tema y es difícil dar un rango preciso. Podemos entenderlo como un concepto vago.
Conceptos como grande y pequeño, largo y corto, belleza y fealdad que se mencionan a menudo en la vida son todos conceptos vagos. En realidad, es bastante fácil de identificar. Puedes preguntarte ¿cuántos años tienes? ¿Qué tan pequeño? ¿Cuánto dura? Este tipo de preguntas se parecen un poco al Wrangler, pero es precisamente porque no hay un rango preciso que solo puedo hacer este tipo de preguntas. Correspondiente a este concepto vago, existe un concepto determinado, como el género, que generalmente es masculino o femenino, y básicamente tiene una base precisa para la clasificación; otro ejemplo es la altura, que es 180 y 190 respectivamente; También es muy preciso y no habrá demasiada ambigüedad. Tenga en cuenta que "altura" es un concepto definido, mientras que "altura" es un concepto vago. Piénsalo por ti mismo hhh.
La matemática difusa se utiliza para abordar problemas que involucran conceptos difusos. Intente utilizar algún método para cuantificar conceptos difusos para facilitar el procesamiento y el cálculo. La evaluación integral difusa es naturalmente una aplicación importante de las matemáticas difusas en problemas de evaluación, es decir, se ocupa de problemas de evaluación que involucran conceptos difusos.
De hecho, también se puede encontrar que uno de los núcleos del problema de evaluación es cuantificar varios indicadores de evaluación, y luego ponderarlos y sumarlos, etc. Básicamente, la diferencia no es demasiado grande, al igual que el modelo de evaluación integral difuso, que no es demasiado difícil de entender y practicar. (Esto solo se refiere al modelo de evaluación al que he estado expuesto. No sé si es demasiado avanzado).
Para explicar mejor el siguiente modelo, es necesario introducir algunos conceptos relacionados. en matemáticas difusas.
Primero repasamos la serie clásica. En la escuela secundaria, nos expusieron al concepto de conjuntos: colecciones de cosas con las mismas propiedades. Este conjunto de escrituras tiene algunas propiedades básicas, como la certeza. Dado un conjunto y cualquier elemento, este elemento pertenece al conjunto o no pertenece al conjunto. No existe un tercer escenario.
En el modelo de evaluación integral difusa, no usamos este conjunto clásico porque tenemos que lidiar con conceptos difusos, por lo que necesitamos usar conjuntos difusos. Un conjunto difuso es un conjunto que se utiliza para describir conceptos difusos. Una de las diferencias entre los conjuntos difusos y los conjuntos clásicos es que los conjuntos difusos no tienen certeza. Por ejemplo, si tenemos 35 años, podemos considerarlo "joven" o "de mediana edad". No existe una definición precisa.
Así, a diferencia de los conjuntos tradicionales, un elemento o pertenece a un conjunto o no. Usamos "grado de membresía" para representar la relación entre un elemento y un conjunto difuso, es decir, el grado en que un elemento pertenece a un conjunto difuso. Cuando se trata de membresía, debemos mencionar la función de membresía, que es un concepto muy importante. En pocas palabras, la función de membresía es la función del grado de membresía de cada elemento, el dominio es el elemento que estudiamos y el valor de la función es el grado de membresía. El rango de membresía es que cuanto mayor sea su valor, más pertenece a este conjunto.
(De hecho, la función de membresía no se describe mediante valores de dominio, solo es conveniente para comprender qwq).
Da un ejemplo simple. Queremos medir el concepto de "juventud", por lo que no es bueno trazar directamente una línea entre 0 y 150 años para distinguir a los jóvenes de los no jóvenes. Por lo tanto, para cada edad entera entre 0 y 150, damos un valor correspondiente, es decir, el grado de membresía, para determinar su relación con el conjunto "joven". Para dar dicho valor de manera más conveniente, diseñamos una función y una función de membresía usando el elemento a estudiar, aquí un número entero entre 0 y 150. La función de membresía se define de la siguiente manera.
Donde A representa el conjunto difuso, que aquí es el conjunto "joven", y X representa los elementos del conjunto, que tiene una edad entre 0 y 150 años. Podemos dibujar una imagen de función.
Se puede encontrar que cuando la edad es menor de 20 años, el grado de pertenencia correspondiente es 1, es decir, creemos que quienes tienen menos de 20 años deben pertenecer a la categoría joven. ; cuando la edad está entre 20 y 40 años, el grado de afiliación aumenta con la edad y el crecimiento disminuye gradualmente cuando la edad supera los 40 años, creemos que está básicamente fuera de la categoría de jóvenes, y los grados de afiliación son; todo cero. Si una persona tiene 30 años, no podemos determinar si es joven, pero usamos un grado de membresía de 0,5 para creer que el 50% de una persona de 30 años pertenece a la categoría joven y el 50% no pertenece a la categoría joven. 0,5 mide el grado de pertenencia de las personas de 30 años al grupo juvenil y expresa la relación entre los 30 y los "jóvenes".
También podemos entender el grado de membresía desde la perspectiva de la probabilidad. En la vida real, la determinación del grado de membresía a menudo se logra mediante encuestas. Por ejemplo, se pregunta a 100 personas si 30 años es joven, y si 40 personas responden que sí, entonces su grado de membresía se puede determinar como: cuanto mayor sea el número total de encuestas, más cerca estará este valor del verdadero grado de membresía. . ¿Es como "probabilidad de aproximación de frecuencia"? En cuanto a la función de membresía anterior, se construye arbitrariamente para facilitar la comprensión y no es equivalente a los resultados reales de la encuesta, pero aún refleja los pensamientos subjetivos del constructor. De hecho, la función de membresía no es única. Diferentes personas y muestras de diferentes tamaños pueden obtener diferentes funciones de membresía.
Bien, aquí se generalizan los conceptos básicos, a saber, conjuntos difusos, funciones de membresía y grados de membresía. Debido a que el tiempo de contacto no es largo, es posible que no sea muy claro y preciso. En pocas palabras, el grado de membresía que entiendo es el grado en que un elemento pertenece a un conjunto difuso, y la función de membresía es la función utilizada para determinar el grado de membresía, nada más. No es necesario enredarse demasiado y no afecta la aplicación específica detrás de esto.
En general, existen tres tipos principales de conjuntos difusos: pequeños, medianos y grandes. De hecho, es similar a los indicadores máximo, mínimo, medio e intervalo del método TOPSIS, y no tiene nada de especial. Por ejemplo, "joven" es un conjunto borroso pequeño, porque cuanto más joven es la edad, mayor es el grado de membresía, y "viejo" es un conjunto borroso grande; Cuanto mayor seas, más miembros tendrás y mayor serás. "De mediana edad" es un conjunto intermedio Sólo cuando la edad esté dentro de un determinado rango intermedio, el grado de pertenencia será mayor. En resumen, es considerar la relación entre "elemento" y "grado de membresía" y, por analogía, es considerar la monotonicidad de la función de membresía. La siguiente figura puede representar las imágenes de la función de membresía de tres conjuntos difusos: "joven", "de mediana edad" y "viejo". Échale un vistazo y verás a qué me refiero.
¿Por qué necesitamos conocer la clasificación de conjuntos difusos? Porque en el modelo de evaluación integral difusa, es necesario determinar si el concepto difuso correspondiente pertenece a gran escala, pequeña escala o tipo intermedio, y luego usar la función de membresía correspondiente para encontrar el grado de membresía apropiado. Nótese nuevamente que no importa qué tipo de conjunto difuso sea, cuanto mayor sea el grado de membresía, mayor será el grado de pertenencia a este conjunto.
Los anteriores son sólo tres tipos comunes. De hecho, si lo piensas bien, sabrás que debería haber muchas formas, siempre que un elemento corresponda a un grado de membresía y el rango esté en el medio. Los tres anteriores son sólo los tres tipos comunes, y también son los tipos de conjuntos difusos que a menudo están involucrados en problemas de evaluación.
Por supuesto, pueden surgir algunas dudas. Por ejemplo, para los conjuntos de "jóvenes" y "viejos", utilizamos la edad como elemento de nuestro estudio, y la edad se puede cuantificar en números. De manera similar, los conceptos vagos de rápido y lento pueden cuantificarse mediante la velocidad, profundo y superficial pueden cuantificarse mediante la profundidad, y así sucesivamente.
Entonces, ¿qué debería utilizarse para cuantificar la belleza y la fealdad? No sé sobre esto... No creo que exista una variable común que pueda usarse para cuantificar la belleza y la fealdad. El modelo de evaluación general no debería implicar tales errores (no, no). Si está interesado, compruébelo...
Determinar la función de membresía es en realidad dar un conjunto difuso y luego usar algunos métodos para dar el grado de membresía del elemento que necesitamos estudiar en relación con el conjunto difuso. Por ejemplo, para el conjunto difuso "joven", intente determinar el grado de membresía de cada edad entre 0 y 150 años y dibuje una imagen. Esta imagen es la imagen de la función de membresía.
Existen tres formas de determinar las funciones de membresía.
1. Método estadístico difuso
El principio de las estadísticas difusas es encontrar varias personas para describir el mismo concepto difuso y utilizar el grado de membresía para definir el grado de membresía. De manera similar a encontrar la probabilidad, podemos usar la frecuencia para aproximar la probabilidad. Por ejemplo, como mencionamos anteriormente, si quieres saber el grado de pertenencia de los 30 años a la "juventud", pregúntale a alguien. Si uno de ellos cree que los 30 años pertenecen a la categoría de "jóvenes", se puede utilizar como el grado de afiliación de los 30 años a la categoría de "jóvenes". Cuanto más grande es, más real y precisa es. Si preguntas a otras edades de esta manera, puedes dibujar una imagen funcional.
Bueno, este método se ajusta más a la situación real, pero las encuestas a menudo se realizan mediante la emisión de cuestionarios u otros métodos. En la competencia de modelado matemático, es posible que no tenga suficiente tiempo, por lo que es solo una introducción y básicamente no es necesario. (Pero completar cuestionarios en Taobao ahora es muy rápido, siempre y cuando tengas dinero).
2. Con la ayuda de las escalas objetivas existentes
Para algunos conjuntos difusos, podemos. utilizar indicadores existentes que sirvan como grados de membresía de los elementos. Por ejemplo, para el conjunto difuso de "familias acomodadas", si queremos determinar los grados de membresía de 100 familias, podemos usar el coeficiente de Engel para medir los grados de membresía correspondientes. Coeficiente de Engel = gasto total en alimentos/gasto total del hogar. Obviamente, cuanto más cerca esté una familia del nivel acomodado, menor debería ser su coeficiente de Engel y mayor el "coeficiente 1-Engel", por lo que podemos considerar el "coeficiente 1-Engel" como el grado de pertenencia a una familia relativa a una familia acomodada. Sin embargo, esto es sólo una analogía. Después de todo, para las familias ricas, el coeficiente de Engel es muy pequeño y el grado de membresía es muy grande. Sin embargo, aún está por discutirse si las familias ricas son "familias acomodadas".
De manera similar, para el conjunto difuso de "equipos en buenas condiciones", el grado de membresía se puede medir mediante la tasa de integridad del equipo. Para el conjunto difuso de "calidad estable", el grado de membresía puede ser. Medido por la tasa de productos genuinos. Si encuentra un problema, puede buscar en Baidu primero. Quizás algún día pueda encontrar un buen indicador.
Sin embargo, cabe señalar que el grado de membresía es intermedio, por lo que a la hora de buscar indicadores también se debe prestar atención al intermedio. Si no, se puede normalizar, como se mencionó anteriormente.
Este método se puede utilizar en modelado, dependiendo del tema específico.
3. Método de asignación
Este es un método subjetivo, es decir, de acuerdo con los deseos subjetivos, después de determinar la clasificación de los conjuntos difusos, les asigna una función de membresía para obtener la membresía. grado de los elementos. Suena subjetivo, pero es uno de los métodos más utilizados en las competiciones. Puede obtener fácilmente funciones de membresía mediante selección.
A continuación pego los formularios de funciones más utilizados.
Puede que la imagen no sea muy clara, pero básicamente se puede ver que para un conjunto difuso pequeño, la función de pertenencia es decreciente en su conjunto, es decir, cuanto mayor es una determinada característica de un determinado elemento , cuanto menor es el grado de membresía, para conjuntos grandes, la función de membresía generalmente aumenta, es decir, cuanto mayor es una determinada característica de un elemento, mayor es el grado de membresía para conjuntos intermedios, la función de membresía generalmente aumenta primero y; luego disminuye, con la parte media o un punto determinado tomando el valor máximo.
En los concursos de modelado reales, para facilitar el cálculo, la función de membresía de distribución trapezoidal es la más utilizada (lo dije en clase). Por supuesto, aún es necesario analizar en detalle cuestiones específicas. La función de membresía debería ser más suave y pronunciada, y el valor extremo de la parte media o un cierto punto debería seleccionarse de acuerdo con la situación específica, pero en general ese es el caso.
Echemos un vistazo a la imagen de la función de pertenencia de la distribución trapezoidal.
A continuación se muestran varias formas de determinar las funciones de membresía. Existen otros métodos, como el método Delphi, el método de clasificación de comparación binaria, el método de ponderación integral, etc. Si estás interesado puedes consultarlos tú mismo.
Después de un período tan largo de preparación, finalmente podemos utilizar este método para resolver el problema.
Primero debemos introducir algunos conceptos.
Por ejemplo, si queremos evaluar el desempeño de un estudiante, de acuerdo con el proceso de jerarquía analítica o método TOPSIS mencionado anteriormente, encontraremos indicadores y realizaremos una puntuación integral. A menudo se utiliza para comparar el desempeño de. varios estudiantes y dar una clasificación. Los indicadores de evaluación anteriores corresponden en realidad a los factores establecidos aquí. Podemos utilizar los cuatro indicadores de agrupación de factores para evaluar el desempeño general de un estudiante.
El conjunto de comentarios es el resultado de la evaluación del objeto correspondiente, similar al "resultado de puntuación" mencionado anteriormente. La diferencia es que el conjunto de reseñas no es una colección de puntuaciones, sino reseñas compuestas de conceptos confusos. Por ejemplo, para evaluar el desempeño de un estudiante, podemos establecer la anotación en . Estos tres comentarios en el conjunto de comentarios son conceptos relativamente vagos, pero cuando tratamos problemas específicos, también podemos poner la solución en el conjunto de comentarios para elegir la mejor solución.
La configuración de peso es el peso que deseas. Asigne a cada indicador una ponderación para una evaluación integral, de modo que no entraré en detalles. Aquí, podemos tomar el peso establecido como el peso de los cuatro indicadores en el conjunto de factores.
¿Qué problemas resuelve el modelo de evaluación integral difusa? Bueno, de hecho, dado un objeto, después de evaluarlo utilizando los indicadores del conjunto de factores, encuentre el comentario más adecuado para él en el conjunto de comentarios. Si la revisión se centra en las opciones, entonces se trata de elegir la opción más adecuada. Entonces, ¿cuál es esta medida de “adecuación”? Obviamente, es el grado de pertenencia, el grado de pertenencia de un conjunto difuso.
Bien, para resumir, por ejemplo, ahora tenemos un estudiante, un conjunto de factores, un conjunto de ponderaciones y un conjunto de comentarios. Nuestro objetivo es dar a los estudiantes un comentario apropiado después de algunas operaciones. ¿Entiendes ~
El modelo de evaluación integral difusa de primer nivel, es decir, solo hay una capa de indicadores de evaluación para la concentración de factores y ninguna capa de anidamiento. Esta es también la situación más básica.
Existen varios pasos principales para solucionar este problema.
Bien, hasta ahora hemos aprendido los pasos de resolución de problemas de la evaluación integral difusa de primer nivel. Esto también debería reconocerse. Lo más importante es definir claramente la matriz de juicio y el vector de peso. Multiplicado por dos, resulta el vector de membresía integral. Elige el más grande. Al igual que el vector de peso mencionado anteriormente, ¿cómo encontrar el grado de membresía de la matriz de juicio o la matriz de juicio? El método para determinar la función de membresía también se menciona anteriormente. Utilizando la función de membresía, se puede obtener el grado de membresía. En el modelado real, a menudo utilizamos el "método de asignación" para especificar una función de pertenencia que se ajuste al problema real, pero también se pueden utilizar otros métodos. Siempre que se conozcan la matriz de juicio y el vector de peso, el problema de evaluación básicamente está resuelto.
De hecho, los pasos para resolver el problema son bastante simples, pero hay demasiada preparación al frente, así que tengo que escribir más y no es muy complicado de hacer. Encontraré un ejemplo de un curso en línea abierto a gran escala de una universidad china para mostrar el proceso de resolución de problemas. Bien, es una pérdida de tiempo hacerlo todo a mano, así que usaré el mapa.
Este es el título, que da la concentración de contaminantes y el peso de cada contaminante en el grado de calidad del aire. Determinemos el nivel de calidad del aire para este día.
La siguiente figura muestra los criterios de evaluación.
La concentración de contaminantes es el conjunto de factores de esta pregunta, y los cuatro niveles de calidad del aire son el conjunto de comentarios, que también es un concepto confuso. Por ejemplo, cuando la concentración de TSP es 0,20, no podemos determinar si el nivel de calidad del aire es Nivel 1 o Nivel 2 únicamente desde la perspectiva de TSP, pero podemos determinar el grado de membresía en relación con cada nivel.
¿Cómo confirmar la membresía? Aquí puede usar el método de asignación para especificar las funciones de membresía de los cuatro conjuntos difusos y usar la función de membresía de distribución trapezoidal más comúnmente utilizada, que está más en línea con el significado de la pregunta. Se puede encontrar que el "nivel uno" debería ser un concepto pequeño y confuso, es decir, cuanto menor sea la concentración de contaminantes, mayor será el grado de "nivel uno" y "nivel dos" y "nivel tres" deberían ser conceptos intermedios; . Cuando la concentración de contaminantes se encuentra en un cierto rango intermedio, el grado de pertenencia correspondiente es mayor; el "Nivel 4" es un concepto amplio. Cuanto mayor es la concentración del contaminante, mayor es el grado de pertenencia al "Nivel 4". Después de determinar el tipo de conceptos difusos en el conjunto de revisión, podemos dar la función de membresía de distribución trapezoidal correspondiente. Como se muestra a continuación.
Esto corresponde a los valores de la tabla anterior cuando la concentración de cada contaminante está exactamente en los cuatro niveles de 1234. Desde la perspectiva de la función de membresía, cuando la concentración de contaminantes es igual al valor de esta tabla, el grado de membresía relativo al nivel de calidad del aire correspondiente es exactamente 1. No debería ser difícil de entender, sólo piénselo.
Determine la función de membresía e introduzca directamente la concentración de cada contaminante en este día en la función de membresía para obtener el grado de membresía y obtener la matriz de juicio.
Utilizando la matriz de juicio y el vector de peso, el vector de membresía integral se puede calcular directamente.
Obviamente, la calidad del aire en este día pertenece en mayor medida al Nivel 2, por lo que creemos que el nivel de calidad del aire en este día es el Nivel 2.
Pues las preguntas de muestra también están listas. Puede ir a los grandes cursos abiertos en línea de la Universidad de China para buscar el curso de modelado matemático de la Universidad Agrícola de Huazhong para obtener una explicación más detallada de la evaluación integral difusa. Este ejemplo también es de esta clase. Bueno, hay otras formas de modelar.
La evaluación integral difusa de múltiples niveles en realidad equivale a agregar varias capas de conjuntos de factores. Por ejemplo, si tenemos que trabajar con 20 indicadores de evaluación al mismo tiempo, será complicado determinar el peso. Luego podemos dividir estos 20 indicadores en cuatro categorías principales, determinar el peso del indicador dentro de cada categoría y luego determinar el peso de las cuatro categorías principales. Esto será más conveniente. Si hay muchos indicadores, se pueden incorporar varias capas, es decir, una evaluación integral difusa de varios niveles.
El modelo de evaluación de estudiantes que se muestra en la figura anterior es un modelo de evaluación integral de dos niveles. Los números después de los indicadores representan el peso del nivel correspondiente. ¿Cómo determinamos la matriz de juicio en este momento? Definitivamente es imposible determinar la matriz de juicio en el primer nivel tan pronto como aparece. Es necesario avanzar paso a paso desde el último nivel.
Por ejemplo, cuando examinamos el vector de membresía correspondiente al rendimiento académico, necesitamos examinar sus indicadores del siguiente nivel, es decir, puntuaciones de cursos profesionales y puntuaciones de cursos no profesionales. Por ejemplo, la puntuación del curso profesional del Estudiante Z es de 90 puntos. Según este indicador, el vector de membresía del Estudiante Z es, y el conjunto de comentarios sigue siendo "excelente, bueno o deficiente". Luego mire las puntuaciones de cursos no principales para obtener un vector de membresía. Usando estos dos vectores, podemos construir una matriz que represente la matriz de juicio compuesta por dos indicadores secundarios bajo el indicador de desempeño del aprendizaje. Entonces, ¿cómo se obtiene el vector de membresía del indicador de primer nivel del rendimiento del aprendizaje en relación con el conjunto de revisión? Muy sencillo. Pensé que había un vector de peso. Si usamos , podemos obtener un nuevo vector, que es naturalmente el vector de membresía del estudiante Z en relación con el conjunto de comentarios del indicador de rendimiento del aprendizaje. Bueno, además de eso, es la suma ponderada de los grados de membresía de los dos indicadores secundarios, que no debería ser difícil de entender.
De manera similar, los vectores de membresía de otros indicadores de primer nivel se obtienen para formar la matriz de juicio de los indicadores de primer nivel y luego se ponderan para obtener el vector de membresía integral.
Bueno, de hecho, es obtener la matriz de juicio del indicador de primer nivel, obtener el vector de membresía del indicador de primer nivel y luego formar una matriz de juicio con el vector de membresía del primer nivel. Indicador de nivel para obtener el vector de membresía del indicador de primer nivel. Este es el vector de membresía utilizado para una evaluación integral.
Bueno, eso es todo~
No hablaré de las limitaciones, solo conozco las condiciones de uso y no sé qué decir, así que dejémoslo así. Nos vemos en el próximo número~
Por cierto, un último recordatorio, si desea encontrar distribución de PDF, es similar al negocio en Taobao. Puedes dejar un mensaje directamente en el subprograma de mensajes de la cuenta oficial de WeChat en Twitter, o puedes agregarme a WeChat. Si respondes en segundo plano, si no lo ves a tiempo, no podrás responder después de 48 horas. Bueno, no hay tarifa laboral. Tienes que pagar tú mismo los tres yuanes por el sitio web.
Arriba.