Los expertos en matemáticas pueden ayudarme a encontrar algunas buenas preguntas, primer año de secundaria, funciones o geometría sólida.
El problema de explorar las reglas cambiantes de las figuras geométricas en una vista en movimiento se llama problema de geometría dinámica. Las preguntas del examen de geometría dinámica resultantes son para estudiar el movimiento de figuras geométricas acompañadas de ciertas posiciones de las figuras. naturaleza "cambiante" y "sin cambios" de las relaciones cuantitativas, así como preguntas sobre la naturaleza "cambiante" y "sin cambios".
Las preguntas de la prueba de tipo geometría dinámica son flexibles y cambiantes. Hay quietud en el movimiento, movimiento en la quietud y la combinación de movimiento y quietud puede cultivar la imaginación espacial y la capacidad de análisis integral de los estudiantes en los cambios. movimiento Es la pregunta más popular en el examen de ingreso a la escuela secundaria en los últimos años. Tome las siguientes preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria de varios lugares en 2006 y 2007 como ejemplo para clasificar y analizar problemas de geometría dinámica.
Pregunta tipo 1: Dinámica de puntos
La dinámica de puntos consiste en diseñar uno o varios puntos móviles en figuras geométricas como triángulos, rectángulos, trapecios, etc., y controlar Se estudia el movimiento de estos puntos, la relación de equilibrio, la relación variable, el estado especial de los gráficos, la relación especial de los gráficos, etc. en el proceso de cambios de movimiento.
1. Tipo de punto móvil único
Ejemplo 1 (doce ciudades en la provincia de Liaoning en 2007), como se muestra en la figura, en el conocido triángulo equilátero ABC, los puntos D, E, F Son lados AB, AC, BC respectivamente, M es la recta BC, encuentra el punto en movimiento, △DMN es un triángulo equilátero (la posición del punto M cambia, △DMN se mueve con el todo) △DMN△DMN es el todo movimiento) △DMN es un triángulo, el punto M es un punto en movimiento, el punto M es un punto en movimiento.
(1) Como se muestra en la Figura 1, cuando el punto M está a la izquierda del punto B, ¿qué relación cuantitativa se puede determinar entre EN y MF? ¿Está el punto F en la recta NE? Escriba la conclusión directamente sin pruebas ni argumentos.
(2) Como se muestra en la Figura ②, cuando el punto M está en el punto BC, otras condiciones permanecen sin cambios y la relación cuantitativa entre EN y MF en ① es ¿Sigue siendo válida la conclusión? Si es cierto, utilice la figura ② para demostrarlo; si no es cierto, explique el motivo.
(3) Si el punto M está a la derecha del punto C, dibuje el gráfico correspondiente; en la figura ③ y juzgue ① ¿Sigue siendo válida la conclusión sobre la relación cuantitativa entre EN y MF? ¿Si está establecido? Por favor escriba su conclusión directamente sin pruebas ni argumentos.
Ejercicio 1 (Ciudad de Fuzhou, 2007) Como se muestra en la figura, la recta AC‖BD conecta AB. La recta AC, BD y la recta AB dividen el plano en cuatro partes: ①, ②, ③ y ④ Se especifica que el punto no pertenece a ninguna parte. Cuando el punto en movimiento P cae en una determinada parte, conecta PA y PB para formar tres ángulos: ∠PAC, ∠APB y ∠PBD. (Pista: El ángulo formado por dos rayos coincidentes con un extremo común es 0°).
(1) Cuando el punto en movimiento P cae en la parte ①, demuestre que ∠APB = ∠PAC + ∠PBD
(2) Cuando el punto en movimiento P cae en la parte ②; , ∠ ¿APB=∠PAC＋∠PBD es verdadero (responda directamente si es cierto o no)?
(3) Cuando el punto en movimiento P cae en la parte ③, explore completamente la relación entre ∠PAC, ∠APB y ∠PBD, y escriba la posición exacta del punto en movimiento y la conclusión correspondiente. Elija una de las conclusiones para probar.
Ejercicio 2 (Ciudad de Mianyang, 2006) En el cuadrado ABCD, el punto P es un punto en movimiento en CD. Conecte PA y pase los puntos B y D respectivamente para formar BE⊥PA, DF⊥PA y dibujar. el pie vertical son E y F, como se muestra en la Figura ①.
(1) Explora la relación cuantitativa entre las longitudes de los tres segmentos de línea BE, DF y EF. Si el punto P está en la línea de extensión de DC (como se muestra en la Figura 2), ¿cuál es la relación cuantitativa entre las longitudes de estos tres segmentos de línea? ¿Qué pasa si el punto P está en la línea de extensión de CD (como se muestra en la Figura 3)? Escriba la conclusión directamente;
(2) Elija cualquiera de las tres conclusiones en (1) para probarla.
El "método de descubrimiento de analogías" se utiliza a menudo para resolver este tipo de problemas de geometría de puntos en movimiento, es decir, observando y comparando las similitudes y diferencias de dos o más objetos de investigación matemática similares, desde una perspectiva fácil de entender. explorar el objeto de investigación Comience con las propiedades y adivine las propiedades similares de otra o varias figuras similares para obtener conclusiones relevantes. De esta manera se pueden sacar conclusiones relevantes.
El método de descubrimiento de analogías generalmente se puede llevar a cabo de acuerdo con los siguientes pasos: (1) Con base en las condiciones conocidas, primero analice y observe las posibles situaciones desde una perspectiva dinámica. (2) Combine los gráficos correspondientes, use frenado estático y use el conocimiento que ha aprendido (los triángulos comunes son congruentes, los triángulos son similares, etc.) para sacar conclusiones relevantes. (3) Utilice analogías para adivinar las propiedades de los gráficos en otras situaciones.
2. Tipo de punto de doble movimiento
Ejemplo 2 (Escuche la ciudad de Harbin en 2007) Como se muestra en la Figura 1, en el cuadrado ABCD, las diagonales AC y BD se cruzan en los puntos E, AF Biseca ∠BAC y cruza BD en el punto F.
(1) Verificar:
(2) El punto C1 comienza desde el punto C y se mueve hacia el punto B a lo largo del segmento de línea CB (no coincide con el punto B). Al mismo tiempo, el punto A1 comienza desde el punto A y se extiende a lo largo del segmento de línea BA. El punto se mueve a la misma velocidad. Cuando el punto en movimiento deja de moverse, el otro punto en movimiento A1 también deja de moverse. Como se muestra en la Figura 2, A1F1 biseca ∠BA1C1 e intersecta a BD en el punto F1. El punto F1 es el pie vertical E1 de F1E1⊥A1C1. Adivine la relación cuantitativa entre E1F1 y AB y pruebe su suposición;
(3) Bajo la condición de (2), cuando A1E1=3, C1E1=2, ¿cuál es la longitud de BD?
3. Tipo de punto de movimiento múltiple
Ejemplo 3 (Ciudad de Meishan, 2006) Como se muestra en la figura, ∠MON=90°, hay un cuadrado AOCD dentro de ∠MON, puntos A y C Sobre los rayos OM y ON respectivamente, el punto B1 es cualquier punto de ON, y el interior de ∠MON es el cuadrado AB1C1D1.
(1) Conecta D1D y demuestra: ∠ADD1=90°;
(2) Conecta CC1 y adivina cuál es el grado de ∠C1CN. Y prueba tu conclusión;
(3) Toma otro punto B2 en ON, haz un cuadrado AB2C2D2 en ∠MON con AB2 como lado, observa la gráfica y combina las conclusiones de (1) y (2). ), Vuelva a hacer un juicio razonable.
Ejercicio (2007 Ciudad de Yichang) Figura 1, en △ABC, AB = BC = 5, AC = 6. △ECD se obtiene mediante la dirección de traslación de △ABC a lo largo de BC, conectando AE, AC y BE se cruza en el punto O.
(1) Determine qué tipo de cuadrilátero es el cuadrilátero ABCE y explique las razones;
(2) Como se muestra en la Figura 2, P es un objeto en movimiento en el punto BC del segmento de línea (como se muestra en la Figura 2), (que no coincide con los puntos B y C), que conecta PO y el segmento de línea extendido AE se cruza en el punto Q, QR⊥BD, y el pie vertical es el punto R.
(1) ¿Cambia el área del cuadrilátero PQED a medida que se mueve el punto P? Si cambia, explica la razón; si no cambia, encuentra el área del cuadrilátero PQED;
②Cuando la longitud del segmento de línea BP toma ¿qué valor, △PQR es similar a △BOC?
A través del ejemplo anterior, podemos encontrar que los problemas de puntos móviles dobles se pueden transformar en problemas de puntos móviles únicos. La clave es captar los puntos móviles clave que determinan todo el problema, logrando así la transformación. problema.
Tipo 2: Tipo de traducción de segmento de línea
1. Tipo de traducción de segmento de línea
Ejemplo 4 (Ciudad de Leshan, 2007) Como se muestra en la figura, en el rectángulo ABCD, AB= 4,AD=10. El vértice P en ángulo recto del cuadrado se desliza sobre AD (el punto P no coincide con A y D), un lado del ángulo recto se cruza en el punto C y el otro lado rectángulo se cruza con el punto E en AB. Conclusión conocida Sabemos que se cumple la conclusión "Rt△AEP∽Rt△DPC".
(1) Encuentre la longitud de AE cuando ∠CPD=30°;
(2) ¿Existe un punto P tal que el perímetro de △DPC sea igual a 2 del? perímetro de △AEP veces? Si existe, encuentre la longitud de DP; si no existe, explique el motivo.
2. Tipo de rotación de segmento de línea
Ejemplo 5 (ciudad de Hengyang, 2006) Conocido: como se muestra en la figura, en el paralelogramo ABCD, AB⊥AC, AB=1, las diagonales AC y BD se cruzan en el punto O , y el segmento de línea AC gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto O y corta a BC y AD en los puntos E y F respectivamente.
(1) Demuestre: Cuando el ángulo de rotación es de 90°, el cuadrilátero ABEF es un paralelogramo
(2) Demuestre que los segmentos AF y EC siempre permanecen iguales durante la rotación; ;
(3) ¿Es posible que el cuadrilátero BEDF se convierta en un rombo durante la rotación? Si no es así, explique por qué; de ser así, explique por qué y encuentre el grado de rotación en el sentido de las agujas del reloj de AC con respecto al punto O en este momento.
La acción de una línea es esencialmente la acción de un punto, es decir, la acción de un punto impulsa la acción de una línea, y la acción de una línea a su vez produce la acción de una superficie. Por lo tanto, los problemas geométricos del tipo de acción lineal se pueden transformar en problemas de tipo de acción puntual para resolver. La clave para resolver este tipo de problemas es comprender todo el proceso de cambios de movimiento gráfico y comprender la equivalencia y las relaciones variables. Desde los cambios de movimiento hasta las posiciones especiales de los gráficos, y luego explorar conclusiones generales o inspirarnos en la resolución de problemas, esta idea de resolución de problemas de especial a general es muy importante para que podamos resolver el problema de los cambios de movimiento.
Tipo de pregunta 3: Tipo de movimiento gráfico Los cambios de movimiento gráfico incluyen principalmente tres transformaciones básicas: traslación, rotación y volteo. El objetivo principal es implementar algún tipo de cambio de posición en una figura determinada (o parte de ella), y luego analizar la relación entre figuras relacionadas en la nueva figura. Este tipo de preguntas a menudo se combinan con preguntas exploratorias, existenciales, etc. Examinar la experiencia práctica de los estudiantes, la capacidad de observación, la capacidad de exploración y la capacidad de práctica.
1. Tipo de traducción gráfica
Ejemplo 6 (provincia de Hebei en 2007) ABC, AB=AC, CG⊥BA cruza la línea de extensión de BA en el punto G. La posición del lado rectángulo de un triángulo rectángulo isósceles se muestra en la Figura 1. El vértice rectángulo del triángulo es F, un lado rectángulo está en línea recta con el lado AC y el otro lado rectángulo está en línea recta con el lado AC y el otro lado rectángulo está en línea recta con el lado AC. El lado pasa por el punto B. ) Observe y mida las longitudes de BF y CG en la Figura 1, adivine y escriba la relación cuantitativa entre BF y CG, y luego pruebe su suposición;
(2) Cuando la regla está en la dirección AC Cuando se mueve a la posición que se muestra en la Figura 2, un lado en ángulo recto todavía está en la misma línea recta que el lado AC, el otro lado en ángulo recto cruza el lado BC en el punto D y pasa por el punto D para dibujar DE⊥BA en punto e. En este momento, observe y mida las longitudes de DE, DF y CG, adivine y escriba la relación cuantitativa entre DE + DF y CG, y luego pruebe su suposición;
(3) Cuando el triángulo La regla está sobre la base de (2), cuando continuamos trasladando a lo largo de la dirección AC a la posición que se muestra en la Figura 3 (el punto F está en la línea recta AC, y el punto F y el punto C no coinciden), ¿la regla está sobre la base de (2)? ¿Aún se mantiene la conjetura en (2)? (No es necesario explicar el motivo)
La traducción gráfica es esencialmente la traducción de segmentos de línea. La traducción de segmentos de línea producirá gráficos similares, por lo que la idea clave para resolver este tipo de problemas es utilizar la similitud. obtener la relación entre las cantidades a determinar. Esta pregunta es una pregunta diseñada utilizando una placa triangular como fondo. Al resolver el problema, se deben comprender las características de la placa triangular, para que la dificultad de resolver el problema también se reduzca. La placa triangular se puede transformar en muchas formas mediante operaciones apropiadas. Maravilloso problema matemático. Este tipo de problema aparece a menudo en el examen de ingreso a la escuela secundaria en los últimos dos años.
2. Tipo de rotación gráfica
Ejemplo 7 (Ciudad de Linyi, 2007)
Como se muestra en la Figura 1, se sabe que en △ABC, AB=BC=1, ∠ABC=90° , y uno contiene 30 El vértice rectángulo DEF del triángulo con un ángulo de ° se coloca en el punto medio de AC (el lado rectángulo corto de la placa del triángulo rectángulo es DE y el lado rectángulo largo DF ). Gire la placa triangular DEF en sentido antihorario alrededor del punto D.
(1) Como se muestra en la Figura 1, DE y AB se cruzan en M, y DF y BC se cruzan en N.
(1) Verifique: DM=DN;
(2) Durante este proceso, la placa del triángulo rectángulo DEF y △ABC coinciden entre sí para formar un cuadrilátero DMBN. Señale si el área del cuadrilátero DMBN ha cambiado. Si ha cambiado, ¿cómo? Si no cambia, encuentre su área;
(2) Continúe girando hasta la posición que se muestra en la Figura 2, extienda AB a M para ser DE, extienda BC a N para ser DF, es DM = ¿DN sigue siendo cierto? Si es cierto, proporcione pruebas; de lo contrario, explique el motivo;
(3) Continúe girando hasta la posición que se muestra en la Figura 3, extienda FD para cruzar BC con N, extienda ED hasta intersecta AB con M, DM= ¿Aún se mantiene DN? Si es cierto, escriba la conclusión sin pruebas.
Ejercicio 1 (Ciudad de Changde, 2006) Apila dos triángulos rectángulos congruentes ABC y DEF de modo que el vértice agudo D del triángulo DEF coincida con el punto medio O de la hipotenusa del triángulo ABC, donde ∠ABC=∠DEF =90°, ∠C=∠F=45°, AB=DE=4. Mantenga estacionario el triángulo ABC, gire el triángulo DEF alrededor del punto O, suponga que el rayo DE intersecta al rayo O, el rayo DE girado intersecta al rayo AB en el punto P y el rayo DF intersecta a la línea recta BC en el punto Q.
(1) Como se muestra en la Figura 1, cuando el rayo DF pasa por el punto B, es decir, el punto Q coincide con el punto B, es fácil demostrar △APD∽△CDQ. En este momento, AP-CQ = ;
(2) Gire la placa triangular DEF en sentido antihorario alrededor del punto O desde la posición que se muestra en la Figura 9. Sea el ángulo de rotación α, donde 0° - 0°, rotación El ángulo es α y el ángulo de rotación es 0°, donde 0°<α<90° ¿Cambia el valor de AP-CQ? Explique la razón;
(3) Bajo la condición de (2), suponiendo CQ = x, el área de superposición de las dos placas triangulares es y, y encuentre la relación funcional entre y y x. (La Figura 2 y la Figura 3 muestran las ideas para resolver el problema)
Ejercicio 2 (2007 ciudad de Ziyang) Como se muestra en la Figura 1, se sabe que P es un punto en la diagonal AC del cuadrado ABCD (no coincide con A y C), PE⊥BC está en el punto E, PF⊥CD está en el punto F.
(1) Demuestre: BP=DP;
(2 ) Como se muestra en la Figura 2, si el cuadrilátero PECF gira alrededor del punto C gira en sentido contrario a las agujas del reloj, ¿BP = DP siempre es cierto durante la rotación? Si es así, proporcione pruebas. Si no, proporcione un contraejemplo.
(3) Intente seleccionar los dos vértices del cuadrado ABCD y conéctelos a los dos vértices del cuadrilátero PECF respectivamente, de modo que los dos segmentos de línea obtenidos durante la rotación en sentido antihorario del cuadrilátero PECF alrededor del punto C son siempre de la misma longitud y justifica tu conclusión.
Ejercicio 3 (Ciudad de Yangzhou, 2007) Como se muestra en la figura, el cuadrado ABCD se gira en sentido contrario a las agujas del reloj n° alrededor del punto A para obtener los lados EF y CD del cuadrado que se cruzan en el punto O.
(1) Conecte dos segmentos de línea (excepto la diagonal de un cuadrado) con los puntos con letras en la figura como puntos finales. Se requiere que los puntos de intersección de los dos segmentos de línea conectados sean perpendiculares entre sí. y explique la razón (2) Si la longitud del lado del cuadrado es de 2 cm, el área de la parte superpuesta (cuadrilátero AEOD) es, encuentre el ángulo de rotación n.
Solución: (1) Los dos segmentos de línea perpendiculares y que se cruzan que conecté son ______ y ______.
Las razones son las siguientes:
La rotación de un gráfico es esencialmente la rotación de un segmento de línea. La intersección del gráfico giratorio y el gráfico sin cambios también se pueden captar y transformar. en un problema de punto en movimiento que primero se mueve y luego se vuelve estático para resolver.
3. Plegado gráfico
Ejemplo 8 (Jining City, 2007) Como se muestra en la figura, primero doble el papel ABCD rectangular por la mitad, establezca el pliegue como MN y luego doble punto B en el pliegue En la línea trazada, obtenemos △ABE. ) ¿Crees que △PBE y △BAE son similares? Si es similar, proporcione pruebas; si no es similar, explique el motivo;
(3) Si el papel se dobla a lo largo de la línea EB, ¿se puede doblar el punto A a lo largo de la línea EC? ¿Por qué?
Paso 2: Doble el papel nuevamente para que el punto A caiga sobre EF, el pliegue pase el punto B, se obtenga el pliegue BM y se obtenga el segmento de línea BN (como se muestra en la Figura 2).
Figura 1 Figura 2
Por favor responda las siguientes preguntas:
(1) Como se muestra en la Figura 1, extendiendo MN e intersectando a BC en P, ¿qué triángulo Qué es △BMP? Demuestre su conclusión;
(2) Como se muestra en la Figura 2, si AB=a, BC=b, ¿qué se puede cortar en la hoja de papel rectangular ABCD que satisface la relación entre a y b para ¿Satisfacer (1) Conclusión para el papel BMP rectangular mediano?
(3) Suponga los lados AB=2 y BC=4 del rectángulo ABCD y establezca un sistema de coordenadas rectangular como se muestra en la Figura 3. Suponga que la línea recta BM′ es y=kx y encuentre el valor de k cuando ∠M′BC=60°. En este momento, dobla △ABM′ a lo largo de BM′. ¿El punto A cae sobre EF (E y F son los puntos medios de AB y CD respectivamente)? ¿Por qué?
Figura 3
Ejercicio 2 (Ciudad de Taizhou, 2007) Como se muestra en la figura, el cuadrilátero OABC es una hoja de papel rectangular colocada en el plano del sistema de coordenadas cartesianas, y el punto A está en el eje x, el punto C está en el eje y, dobla el borde BC de modo que el punto B caiga en el punto D en el borde OA, se conoce el pliegue, y.
(1) Determinar si △OCD y △ADE son similares. Explique el motivo;
(2) Encuentre las coordenadas del punto de intersección P de la línea recta CE y el eje x
(3) ¿Hay una línea recta l que pasa? que pasa por el punto D tal que la recta l y la recta CE ¿Es el triángulo formado por el eje x semejante al triángulo formado por la recta l, la recta CE y el eje y? Si existe, escriba directamente su fórmula analítica y dibuje la línea recta correspondiente; si no existe, explique el motivo.
El plegado en la figura es en realidad una transformación de simetría axial. Los segmentos de línea correspondientes antes y después de la transformación son iguales y los ángulos correspondientes son iguales. A menudo con bisectrices de ángulos, bisectrices perpendiculares de segmentos de recta y la altura de un triángulo isósceles. La clave para resolver problemas de geometría dinámica como rotación, traslación y plegado es combinar el conocimiento de triángulos rectángulos, triángulos congruentes o triángulos similares para encontrar de manera integral las invariantes en el proceso de movimiento gráfico.
Ejemplo 9 (Yiwu, 2007) Como se muestra en la Figura 1, Xiao Ming cortó una hoja de papel rectangular en diagonal para obtener dos hojas de papel triangulares (Figura 2) y midió sus hipotenusas. La longitud es de 10 cm. el ángulo agudo más pequeño es de 30°, y luego los dos trozos de papel triangulares se juntan en la forma que se muestra en la Figura 3, pero en el punto B. C, F y D están en la misma línea recta y el punto C coincide con el punto F (indicado por F en las Figuras 3 a 6)
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Xiao Ming encontró tres problemas en la siguiente operación de las dos hojas de papel triangulares. Ayúdenos a resolverlos.
(1) Traslade △ABF en la Figura 3 hacia la derecha a lo largo de BD a la posición en la Figura 4, de modo que el punto B y el punto F coincidan entre sí, y encuentre la distancia después de la traslación
(2) Gire △ABF en la Figura 3 alrededor del punto F para que el punto B coincida con el punto F y encuentre la distancia después de la traslación. 3 Gire 30° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto F, hasta la posición donde A1F intersecta a DE en el punto G en la Figura 5, y encuentre la longitud del segmento de línea FG;
(3) Mueva △ABF en la Figura 3 a lo largo de una Giro AF en línea recta. ABF se pliega a lo largo de la línea recta AF hasta la posición en la Figura 6. AB1 cruza a DE en el punto H. Pruébelo. AH=DH.
Figura 4 Figura 5 Figura 6
Esta pregunta es una pregunta integral diseñada en torno al plegado, traslación y rotación de gráficos. No solo evalúa la comprensión de los estudiantes. plegado, traslación y rotación después La determinación de las propiedades congruentes de los triángulos y su dominio de las propiedades también se evalúan en el dominio de los conocimientos básicos de los estudiantes, como las propiedades y las propiedades de los triángulos congruentes después del plegado, la traslación y la rotación. Evalúa las habilidades de aplicación integral de los estudiantes.
Para resolver problemas de movimiento, necesitamos observar y estudiar gráficos desde la perspectiva del movimiento y el cambio, comprender todo el proceso de movimiento y cambio gráfico, comprender la relación de equivalencia y la relación variable, y prestar especial atención a Algunas invariantes e invariantes de relación o relación especial.