¿Qué son exactamente las matemáticas?
Matemáticas, cuyo inglés es matemáticas, es un sustantivo plural. "Las matemáticas solían estar formadas por cuatro disciplinas: aritmética, geometría, astronomía y música. Está en una posición más amplia que las tres disciplinas de gramática y retórica. y dialéctica. "Alto estatus".
Desde la antigüedad, la mayoría de la gente ha considerado las matemáticas como un sistema de conocimiento, una suma sistemática de conocimientos teóricos formados a través de un razonamiento lógico riguroso. La comprensión de "las formas espaciales y las relaciones cuantitativas del mundo real (Engels)" refleja la comprensión que tiene la gente de "posibles relaciones y formas cuantitativas". Las matemáticas pueden surgir de la abstracción directa del mundo real o pueden surgir de la creación laboral de la mente humana.
Desde la perspectiva de la historia del desarrollo de la sociedad humana, la comprensión de las personas sobre las características esenciales de las matemáticas cambia y se profundiza constantemente. "Las raíces de las matemáticas se encuentran en el sentido común. El ejemplo más obvio son los números enteros no negativos". La aritmética de Euclides se originó a partir de números enteros no negativos en el sentido común, y hasta mediados del siglo XIX, la exploración científica de los números continuó. permaneció en el nivel del sentido común ordinario", otro ejemplo es la semejanza en geometría, "la geometría precede incluso a la aritmética en el desarrollo individual", y cuyo "uno de los primeros síntomas es el conocimiento de las semejanzas", siendo el conocimiento de las semejanzas. Lo descubrí tan temprano: “Es como un gran estudiante. "Por lo tanto, antes del siglo XIX, la gente generalmente creía que las matemáticas eran una ciencia natural y una ciencia empírica, porque la conexión entre las matemáticas y la realidad en ese momento era muy estrecha. Con la continua profundización de la investigación matemática, desde mediados del siglo XIX siglo, las matemáticas fueron La visión de una ciencia deductiva gradualmente se volvió dominante. Esta visión se desarrolló en la investigación de la escuela Bourbaki. Creían que las matemáticas son la ciencia del estudio de estructuras. Todas las matemáticas se basan en tres tipos: estructura algebraica, estructura ordinal. y estructura topológica Además de la estructura principal, a partir de Platón en la antigua Grecia, muchas personas creen que las matemáticas son el estudio de patrones. La característica esencial de las matemáticas es el estudio de patrones en el proceso de abstracción de individuos modelados", dijo en 1931, "Las matemáticas son la técnica más poderosa para comprender patrones y analizar las relaciones entre patrones. La prueba de Gödel (K, G0de1, 1978). El teorema de incompletitud anunció las deficiencias del sistema de deducción lógica axiomática. De esta manera, la gente pensó que las matemáticas son una ciencia empírica. El famoso matemático von Neumann cree que las matemáticas tienen las características tanto de la ciencia deductiva como de la ciencia empírica.
Deberíamos analizar las opiniones antes mencionadas sobre las características esenciales de las matemáticas desde una perspectiva histórica. De hecho, la comprensión de las características esenciales de las matemáticas se desarrolla con el desarrollo de las matemáticas. Dado que las matemáticas se originaron a partir de prácticas como la asignación de bienes, el cálculo del tiempo, la medición de la tierra y el volumen, los objetos matemáticos en este momento (como producto del pensamiento abstracto) están muy cerca de la realidad objetiva, y las personas pueden encontrar fácilmente prototipos realistas de conceptos matemáticos. De esta manera, la gente naturalmente piensa que las matemáticas son una ciencia empírica; con la profundización de la investigación matemática, el surgimiento de la geometría no euclidiana, el álgebra abstracta y la teoría de conjuntos, especialmente el desarrollo de las matemáticas modernas hacia la abstracción, la multivariación y la alta dimensionalidad. , la atención de la gente Al centrarse en estos objetos abstractos, la distancia entre las matemáticas y la realidad creció cada vez más, y la prueba matemática (como una especie de razonamiento deductivo) ocupó un lugar importante en el estudio de las matemáticas, por lo que la visión de que las matemáticas son la creación libre de la mente humana surgió La física es una ciencia que estudia la relación entre cantidades, una teoría que estudia las estructuras abstractas, el conocimiento de patrones, etc. Estos conocimientos no sólo reflejan la comprensión cada vez más profunda de las matemáticas por parte de las personas, sino que también son el resultado de la comprensión de las matemáticas por parte de las personas desde diferentes aspectos. Como alguien dijo: "La afirmación de Engels de que las matemáticas son el estudio de relaciones cuantitativas y formas espaciales en el mundo real no es incompatible con las opiniones estructurales de Bourbaki. La primera refleja el origen de las matemáticas y la segunda refleja el desarrollo de las matemáticas modernas. Horizontalmente, Las matemáticas modernas son un edificio construido a partir de una serie de estructuras abstractas.
El riguroso razonamiento deductivo del matemático puede compararse aquí con una atención dedicada a la técnica. Así como no se puede ser pintor sin poseer cierta habilidad, no se puede ser matemático sin poseer un cierto nivel de razonamiento preciso. Estas cualidades son fundamentales y se diferencian de otras que son mucho más sutiles. Para encontrar un buen artista o un buen matemático, la principal en ambos casos es la imaginación. "Las matemáticas son la música del razonamiento" y "la música es la matemática de las imágenes". Se analiza la naturaleza de las matemáticas desde la perspectiva del proceso de investigación matemática y las cualidades que deben poseer los matemáticos. Tratar las cosas con actitudes y métodos básicos, un espíritu y un concepto, es decir, el espíritu de las matemáticas, conceptos y actitudes matemáticas. En el artículo "Las matemáticas en la sociedad", Mogens Niss y otros creen que las matemáticas son una disciplina, "en un sentido epistemológico". sentido es una ciencia cuyo objetivo es establecer, describir y comprender objetos, fenómenos, relaciones y mecanismos en determinados campos. Las matemáticas desempeñan el papel de una ciencia pura si el campo está formado por lo que normalmente consideramos entidades matemáticas. En este caso, las matemáticas apuntan al autodesarrollo interno y la autocomprensión, independientemente del mundo externo. Por otro lado, las matemáticas desempeñan el papel de ciencia si el campo en consideración existe fuera de las matemáticas. Estos dos aspectos de las matemáticas. Los dos aspectos no es un problema del contenido matemático en sí, sino un foco diferente de atención de las personas. Ya sean puras o aplicadas, las matemáticas como ciencia ayudan a generar conocimiento y percepción. Las matemáticas también son un sistema de herramientas, productos y procesos que nos ayudan a tomar decisiones y acciones relacionadas con el dominio de áreas prácticas distintas a las matemáticas. Las matemáticas son un área de la estética que puede proporcionar un interés a muchas personas que están fascinadas con ella. sentido de belleza, placer y experiencias emocionantes. Como materia, la difusión y el desarrollo de las matemáticas requieren que sean dominadas por una nueva generación de personas. El aprendizaje de las matemáticas no se produce de forma simultánea y automática, sino que debe ser enseñado por personas. Por lo tanto, las matemáticas también son una materia de enseñanza en el sistema educativo de nuestra sociedad. ”
De lo anterior se puede ver que la gente piensa desde dentro de las matemáticas (y desde varias perspectivas, como el contenido, la forma de expresión y el proceso de investigación de las matemáticas. La relación entre las matemáticas y la sociedad, la relación entre). matemáticas y otras disciplinas La naturaleza de las matemáticas se analiza desde varios aspectos, como la relación entre las matemáticas y el desarrollo humano. Todos reflejan las características esenciales de las matemáticas desde un aspecto y nos brindan una perspectiva para comprender de manera integral la naturaleza de las matemáticas. p>
Con base en la comprensión anterior de las características esenciales de las matemáticas, la gente también ha discutido las características específicas de las matemáticas desde diferentes aspectos. La opinión más común es que las matemáticas tienen las características de abstracción, precisión y amplia aplicación, entre las cuales. la característica más esencial es la abstracción. Alexander Love dijo: "Incluso con un conocimiento muy superficial de las matemáticas uno puede percibir fácilmente estas características de las matemáticas: la primera es su abstracción, y la segunda es su precisión, o mejor dicho, la abstracción. "El rigor de la lógica y la certeza de sus conclusiones, y finalmente la extrema amplitud de sus aplicaciones", dijo Wang Zikun, "Las características de las matemáticas son: la abstracción del contenido, la amplitud de las aplicaciones, el rigor del razonamiento y la claridad de las conclusiones. "Este punto de vista comprende principalmente las características de las matemáticas desde los aspectos del contenido matemático, la forma de expresión y el papel de las matemáticas, que es un aspecto de las características de las matemáticas. Además, proviene del proceso de investigación matemática y la relación entre las matemáticas. y otras disciplinas, las matemáticas también tienen las características de imaginabilidad, plausibilidad y cuasi-empiricalidad. La comprensión de las características de las matemáticas también tiene las características de la época. Por ejemplo, el rigor de las matemáticas tiene diferentes características en diversos desarrollos históricos. Los diferentes períodos de las matemáticas, desde la geometría euclidiana hasta la geometría de Lobachevsky y el sistema de axiomas de Hilbert, tienen estándares de evaluación de rigor muy diferentes, especialmente desde que Gödel propuso y demostró el "Teorema de la incompletitud... Más tarde, la gente descubrió que incluso el axiomático es un científico riguroso. El método que alguna vez fue muy respetado, era defectuoso. Por tanto, el rigor de las matemáticas se manifiesta en la historia del desarrollo de las matemáticas y es relativo. Respecto a la verosimilitud de las matemáticas, Polya señaló en su "Matemáticas y conjeturas" que "las matemáticas se consideran una ciencia de demostración.
Sin embargo, este es sólo un aspecto. Las matemáticas estereotipadas en su forma final parecen ser material puramente argumentativo que contiene sólo pruebas. Sin embargo, el proceso de creación de las matemáticas es el mismo que el proceso de creación de cualquier otro conocimiento. Teorema matemático, primero debes adivinar el contenido del teorema. Antes de hacer una demostración detallada, primero debes adivinar la idea de la demostración. Primero debes sintetizar los resultados observados y luego hacer analogías. Tienes que intentarlo una y otra vez. El producto del trabajo creativo de los matemáticos es el razonamiento demostrativo, es decir, la prueba, pero esta prueba se descubre mediante razonamientos y conjeturas razonables. Mientras el proceso de aprendizaje de las matemáticas refleje, aunque sea remotamente, el proceso de invención matemática, las conjeturas y el razonamiento deberían tener el lugar que les corresponde. "Es desde esta perspectiva que decimos que la certeza de las matemáticas es relativa y condicional. El énfasis en la capacidad de imagen, la semejanza de la verdad y la naturaleza cuasi empírica de las matemáticas. La característica de "falsabilidad" en realidad resalta la importancia de la observación, experimentación, análisis, comparación, analogía, inducción, asociación y otros procesos de pensamiento en la investigación
El ser humano ha estado lidiando con números naturales desde que aprendió a contar. Posteriormente, por necesidades de la práctica, surgió el concepto de. números Para ampliar aún más, los números naturales se llaman enteros positivos, y sus opuestos se llaman enteros negativos, y el número neutro entre enteros positivos y negativos se llama 0. Su suma se llama entero
Para los números enteros. Las cuatro operaciones de suma, resta, multiplicación y división se denominan cuatro operaciones aritméticas. Entre ellas, las tres operaciones de suma, resta y multiplicación se pueden realizar sin ningún obstáculo dentro del rango de números enteros. se pueden realizar más operaciones cuando se suman, restan y multiplican números enteros, su suma, diferencia y producto siguen siendo un número entero, pero la división entre números enteros no necesariamente ocurre sin obstáculos
En la aplicación y. En la investigación de los números enteros, la gente se ha ido familiarizando gradualmente con las características de los números enteros. Por ejemplo, los números enteros se pueden dividir en dos categorías: números impares y números pares (a menudo llamados números impares y números pares), etc., utilizando algunas propiedades básicas de los números enteros. , se pueden explorar más a fondo muchas leyes matemáticas interesantes y complejas. Es el encanto de estas características lo que ha atraído a muchos matemáticos a lo largo de los siglos a continuar estudiando y explorando.