¿Cómo derivar la fórmula de la prueba de la aguja?

En 1777, el científico francés Buffon propuso un método para calcular pi: el método de lanzamiento aleatorio de agujas, que es el famoso problema de lanzamiento de agujas de Buffon. Los pasos de este método son:

1) Tome una hoja de papel blanco y dibuje muchas líneas paralelas con una distancia de d.

2) Tome una aguja de longitud l (l

2) p>

3) Calcula la probabilidad de que la aguja cruce la línea recta.

El "problema de las agujas" planteado por los matemáticos franceses Buffon y Leclerc en el siglo XVIII quedó registrado en el libro de Buffon publicado en 1777: "En el plano se dibujan un grupo de agujas con una distancia de d. Líneas paralelas , si se lanza arbitrariamente una aguja de longitud l (l

p=2l/(πd) π es pi